O Método dos Deslocamentos baseia-se em Equações de Equilíbrio de Nós.

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Jerónimo Caires Amaro
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1 FORMULAÇÃO MATRICIAL DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU DA RIGIDEZ Pedro Sá O Método dos Deslocamentos baseia-se em Equações de Equilíbrio de Nós. direções de ações e deslocamentos de nós, no elemento de pórtico espacial, no SG e no SL Escrevendo-se estas equações para todas as direções de ações e deslocamentos de nós no SG Sistema Global (x, y, z), independentemente se o deslocamento é livre ou restringido em cada direção, tem-se [1] é o vetor de todas as ações aplicadas nos nós, nas direções x, y e z, incluindo as reações de apoio, é o vetor das ações de engastamento perfeito, isto é, das reações, nos nós engastados, às cargas aplicadas nos elementos, nas direções x, y e z, é a matriz de rigidez da estrutura, isto é, a matriz dos seus coeficientes de rigidez que, por sua vez, são as reações, também nos nós engastados, nas direções x, y e z, aos deslocamentos unitários impostos nestas direções, em todos os seuss nós e é o vetor dos deslocamentos de nós, nas direções x, y e z. Dividindo-se os vetores e a matriz da equação [1] em subvetores e submatrizes correspntes, respectivamente, às direções livres e restringidas dos nós da estrutura, tem-se,,, e é o subvetor de correspnte às direções livres nos nós, é o subvetor de correspnte às direções restringidas nos nós, isto é, o subvetor das reações de apoio, é o subvetor de correspnte às direções livres nos nós, é o subvetor de correspnte às direções restringidas nos nós, é o subvetor de correspnte às direções livres nos nós, isto é, o subvetor dos deslocamentos incógnitos, é o subvetor de correspnte às direções restringidas nos nós, em geral, igual a 0, quando não há deslocamento previsto nas direções apoiadas,

2 é a submatriz de que contém os coeficientes de rigidez nas direções livres, provocados por deslocamentos unitários impostos nas direções livres, é a submatriz de que contém os coeficientes de rigidez nas direções livres, provocados por deslocamentos unitários impostos nas direções restringidas, é a submatriz de que contém os coeficientes de rigidez nas direções restringidas, provocados por deslocamentos unitários impostos nas direções livres, é a submatriz de que contém os coeficientes de rigidez nas direções restringidas, provocados por deslocamentos unitários impostos nas direções restringidas. Esta divisão feita nos vetores e na matriz da equação [1] corresp a uma reordenação das equações e dos seus termos, de modo que as primeiras equações correspondam às direções livres e as seguintes às direções restringidas e, além disso, cada equação contenha os primeiros termos também correspndo às direções livres e os seguintes às restringidas. Em outras palavras, trata-se de uma reordenação das linhas dos vetores, e e das linhas e colunas da matriz. Desenvolvendo-se, assim, a equação [1], tem-se [2] [3] Resolvendo-se o sistema representado na equação [2], ou seja, são determinados os deslocamentos incógnitos., Substituindo-se na equação [3], são determinadas as reações de apoio. Desta forma, têm-se determinados todos os deslocamentos de nós e as reações de apoio no SG. Montagem dos Vetores e Matrizes do Método da Rigidez Para cada elemento i da estrutura, tem-se:, [4] no SG Sistema Global (x, y, z), e, [5] no seu SL Sistema Local (x M, y M, z M ). : é o vetor das ações aplicadas nos nós do elemento i, nas direções x, y e z, : é o vetor das ações de engastamento perfeito no SG, isto é, das reações, nos nós engastados, às cargas aplicadas no elemento i, nas direções x, y e z, : é a matriz de rigidez do elemento i no SG, isto é, a matriz dos seus coeficientes de rigidez no SG que, por sua vez, são as reações, também nos nós engastados, nas direções x, y e z, aos deslocamentos unitários impostos nestas direções, em ambos os nós j (nó inicial) e k (nó final),

3 : é o vetor dos deslocamentos de nós do elemento i, nas direções x, y e z. : é o vetor das ações aplicadas nos nós do elemento i, nas suas direções x M, y M e z M (esforços internos nos nós do elemento), : é o vetor das ações de engastamento perfeito no SL, isto é, das reações, nos nós engastados, às cargas aplicadas no elemento i, nas suas direções x M, y M e z M (ver Anexo), : é a matriz de rigidez do elemento i no SL, isto é, a matriz dos seus coeficientes de rigidez no SL que, por sua vez, são as reações, também nos nós engastados, nas suas direções x M, y M e z M, aos deslocamentos unitários impostos nestas direções, em ambos os nós j (nó inicial) e k (nó final), e : é o vetor dos deslocamentos de nós do elemento i, nas suas direções x M, y M e z M. A matriz de rigidez do elemento de pórtico espacial no SL,, é As matrizes de rigidez dos demais elementos são submatrizes da matriz do pórtico espacial. Os vetores, e podem ser escritos como, e,, e são, respectivamente, os subvetores das ações aplicadas nos nós, das ações de engastamento perfeito e dos deslocamentos no nó inicial j, e, e são, respectivamente, os subvetores das ações aplicadas nos nós, das ações de engastamento perfeito e dos deslocamentos no nó final k.

4 Os vetores correspntes no SG, isto é,, e podem ser escritos como, e, é a matriz de rotação, do SL para o SG, dos esforços ou dos deslocamentos de cada nó do elemento i. Assim, [6] [7] e, 0 0 é a matriz de rotação total do elemento, do SL para o SG. [8] Para as estruturas planas, as matrizes de rotação são: Pórtico Plano: Grelha: Treliça Plana:

5 Viga: A matriz de rigidez do elemento no SG,, pode ser obtida substituindo-se as equações [6], [7] e [8] na equação [5], o seja,. [9] Pré-multiplicando-se os termos da equação [9] por, tem-se. [10] Comparando-se a equação [10] com a equação [4], conclui-se que. [11] Cada matriz pode ser escrita como é a submatriz que contém as ações no nó j, provocadas por deslocamentos unitários impostos no próprio nó j, nas direções do SG, é a submatriz que contém as ações no nó j, provocadas por deslocamentos unitários impostos no nó k, nas direções do SG, é a submatriz que contém as ações no nó k, provocadas por deslocamentos unitários impostos no próprio nó k, nas direções do SG, e é a submatriz que contém as ações no nó k, provocadas por deslocamentos unitários impostos no nó j, nas direções do SG. Com as matrizes forma-se a matriz, justapondo-se a submatrizes correspntes ao mesmo nó. Determinação dos Esforços Internos A conclusão da análise é atingida, então, com a determinação dos esforços internos nos nós, o que é feito por meio da equação [5],. Após determinado o subvetor, o vetor torna-se conhecido e, portanto, é possível escrever-se todos os vetores como subvetores de, compostos pelos deslocamentos dos nós do elemento i. Por meio da equação [8] determina-se, então, e a equação [5] torna-se. [12]

6 ANEXO AÇÕES DE ENGASTAMENTO PERFEITO NO SISTEMA LOCAL

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