Curso de Análise Matricial de Estruturas 1

Transcrição

1 Crso de Análise Matricial de Estrtras IV MÉODO DA IIDEZ IV. Solção eral A modelagem de m sistema estrtral para sa resolção através do método da rigidez deve preferencialmente apretar m número de coordenadas globais igal ao gra de indeterminação cinemática da estrtra, a partir de ma análise qe deve levar em conta os tipos de deformações consideradas significativas. Em princípio haverá coordenadas globais onde hover cargas externas aplicadas, deslocamentos nodais impostos (recalqes), deslocamentos de interesse e reações a calclar. No método da rigidez, não há necessidade em se redzir o número de coordenadas locais, como existe no método da flexibilidade. Como os esforços finais são obtidos em termos das coordenadas locais, deve-se tilizar ma discretização da estrtra em elementos qe possam tantos qantos sejam necessários para se definir as linhas de estado do sistema estrtral. Para qe a Matriz de Incidência Cinemática seja de obtenção direta, torna-se ainda indispensável a existência de s no referencia local qe correspondam às coordenadas (s) globais daqele segmento. Classificando-se os deslocamentos segndo as coordenadas globais em impostos (prescritos, restringidos, o de índice ) e desconhecidos (incógnitos o de índice ), o vetor dos deslocamentos locais (deformações) pode ser escrito da seginte forma: {} [[ A ][ A ]] {} r " {}, onde x s {} r {} x onde a matriz de incidência cinemática [ A ] foi decomposta em das sbmatrizes: [ A ] qe transforma os deslocamentos globais impostos ({} r o ) em deformações locais {} s ; [ A ] qe transforma os deslocamentos globais livres ({ x } o ) em deformações locais {} s. A partir da eqação de eqilíbrio, podem-se separar os globais em prescritos e indeterminados, obtendo-se: {} [ K ] " [ K ] {} r {} {} X K " K x A matriz de rigidez da estrtra integrada pode ser repretada através das sbmatrizes:

2 Notas de Ala - iz A. C. Moniz de Aragão Filho [ K ] o [ ] da estrtra, qe fornece as reações { } associadas aos deslocamentos globais; [ K ] o [ K ] e [ K ] o [ ] K é a matriz de rigidez (qadrada e simétrica), referente aos s prescritos K são sbmatrizes de rigidez crzadas qe relacionam as forças externas com deslocamentos prescritos e as reações nodais com a configração deformada; [ K ] o [ ] estrtra, qe relaciona as ações externas { X } aos deslocamentos globais. K é a matriz de rigidez (qadrada e simétrica), referente aos s livres da As sbmatrizes podem ser obtidas algebricamente pela aplicação da eqação da matriz de rigidez da estrtra integrada: [ K] [ A] [ A] [ A ] [ A ] " [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] " [ A ] [ A ] [ K ] " [ K ] K " K Se forem conhecidos os deslocamentos impostos {} r e as ações aplicadas { X }, podem-se obter os valores dos deslocamentos globais através da eqação: {} r + [ K ] {} x { X} K {} [ K ] ({} X [ K ] {} r ) x Para o caso dos deslocamentos prescritos serem nlos (estrtra plana fixada em apoios do º, º o º gênero), tem-se: {} x [ K ] {} X Conhecidos os deslocamentos globais, pode-se então achar os valores das reações: Os esforços são: {} [ K ] {} r + [ K ] {} x {} S { S} + []{} s {} { S } + [] [ [ A ]" [ A ]] {} r {} s S Mais ma vez, para o caso dos deslocamentos prescritos serem nlos (estrtra plana fixada em apoios do º, º o º gênero), tem-se: {} S { S } + [][ A ][ K ] {} X

3 Crso de Análise Matricial de Estrtras IV. Matrizes de igidezes Elementares A partir da tabela de relações ações/deslocamentos dedzida no capítlo II, pode-se facilmente, pela definição de coeficiente de rigidez, montar-se as matrizes abaixo relacionadas: 6 6

4 Notas de Ala - iz A. C. Moniz de Aragão Filho IV. eações de Fixação para Cálclo do CNE Apreta-se abaixo ma tabela referente às reações de fixação devidas a carregamentos genéri na barra biengastada, para o cálclo do carregamento nodal eqivalente (CNE), conforme explicado no capítlo III:

5 Crso de Análise Matricial de Estrtras 5 IV. Processo da igidez Direta Os coeficientes das matrizes de rigidez tanto no referencial local (matrizes elementares) qanto no referencial global são formlados a partir de m mesmo princípio físico: correspondem à força necessária para qe se imponha m deslocamento nitário segndo aqele determinado gra de liberdade (), enqanto todos os otros deslocamentos são nllos. Qando m sistema estrtral tem os ses s identificados por m conjnto de coordenadas globais, e está discretizado em elementos qe possem repretações locais (coordenadas) de tais s globais, evidencia-se a correspondência existente entre os deslocamentos da estrtra montada, decorrentes do eqilíbrio global, e os deslocamentos (relativos) impostos em cada m dos elementos no referencial local. O sistema estrtral passa então a se comportar como ma associação de molas em paralelo, onde cada mola consiste em m elemento da estrtra. ogo a força necessária à realização de m determinado deslocamento segndo ma coordenada global, será igal ao somatório das forças necessárias para se impor o mesmo deslocamento segndo cada m dos elementos qe incidem sobre aqele. Em termos matriciais isso pode ser entendido como o coeficiente ij da matriz de rigidez global segndo os s i e j do igal ao somatório dos coeficientes das matrizes de rigidez elementares referentes a cada m dos elementos conexos aos s i e j, respeitadas as convenções de direção e tido: nelm [ K ] ij [ E n] onde [ K ] é a matriz de rigidez da estrtra montada (global); [ ] E n é a matriz de rigidez do n-ésimo elemento no referencial global; n nelm é o número de elementos qe contém os i e j. ij Seja a estrtra plana repretada abaixo, onde se desprezam os efeitos axiais: Figra III.. Coordenadas lobais do sistema estrtral plano. Para se determinar cinematicamente a estrtra discretizada (desconsiderando-se os efeitos axiais) foram tilizadas das coordenadas globais. A estrtra foi então desmembrada em elementos de viga, conforme ilstra a figra a segir:

6 6 Notas de Ala - iz A. C. Moniz de Aragão Filho Figra III.. Elementos e Coordenadas ocais da estrtra. A matriz de rigidez de cada m dos elementos no referencial local é: E E, onde E é o comprimento do elemento. A matriz de rigidez da estrtra desmembrada fica portanto: [] E E E E A disposição das coordenadas locais, nos fornece a matriz de incidência cinemática apretada abaixo: A ogo, a matriz de rigidez global da estrtra fica: 6 A A K

7 Crso de Análise Matricial de Estrtras 7 Entretanto, percebe-se na figra III.., qe os s locais e coincidem com o global, o seja, m deslocamento segndo a coordenada global (restringindo-se todas as demais coordenadas) implica em deslocamentos de igal intensidade e direção nos elementos e, o melhor, segndo as coordenadas locais e. Da mesma forma, pode-se dizer qe a força necessária para qe o nó gire segndo o global é igal a soma das forças necessárias para se deslocar os locais e, o seja: [ K ] [ E ] + [ E ] Identificando-se nas matrizes de rigidez elementares a correspondência dos s locais (número das linhas e colnas) com os globais, teríamos: x x [ E ] [ E ] x x [ E ] [ E ] X X A partir da correspondência verificada acima, pode-se então montar diretamente a matriz de rigidez direta global da estrtra somando-se as contribições elementares: [ K] 6 A metodologia de montagem da matriz de rigidez global da estrtra por acmlação das contribições locais, descrita acima, consiste no processo da rigidez direta (assembly process). Qando as coordenadas globais e locais não apretarem direções e tidos igais, sitação bastante comm em estrtras aporticadas, deve-se realizar ma transformação de coordenadas: + + onde: i Coordenadas lobais; i Coordenadas ocais.

8 Notas de Ala - iz A. C. Moniz de Aragão Filho ogo, para o caso mais genérico no plano ( s por nó), a matriz de transformação de coordenadas consiste nma matriz de rotação de m ânglo : Os deslocamentos locais (deformações) de m elemento de pórtico plano pode então ser obtido a partir dos deslocamentos globais da estrtra, pela fórmla: { } { } e Para fins de generalização do processo, visando sa implementação comptacional, devese estabelecer sempre sistemas de coordenadas semelhantes, isto é, dispostos em posição relativa idêntica. Qando isto ocorrer, a matriz de transformação de coordenadas consistirá sempre nma matriz de rotação com a forma dada acima. Pode-se ainda mostrar ainda qe a matriz de rotação é ma matriz ortogonal, o qe fornece: {} {} A eqaçào de eqilíbrio de m elemento no referencial global pode então ser escrita como: {} {} S e {} {} S e {} {} F e

9 Crso de Análise Matricial de Estrtras 9 Percebe-se, desta forma, qe a acmlação das matrizes de rigidez elementares na matriz de rigidez global pelo processo da rigidez direta, envolverá ma prévia transformação de coordenadas para o referencial global, conforme indica a expressão abaixo: n elem [ K ] [ ][ ] e Estes conceitos poderão ser melhor compreendidos nos exemplos a segir, onde serão apretadas ainda as técnicas comptacionais mais tilizadas para facilitar sa implementação.