Fernando Nogueira Programação Linear 1

Transcrição

1 rogramação Linear Fernando Nogeira rogramação Linear

2 Eemplo Típico Uma padaria prodz olos I e II sendo qe cada olo consome m certa qantidade de açúcar farinha e ovo para ser prodzido conforme a taela: Bolo Açúcar (kg) Farinha (kg) Ovo (n) I II O estoqe disponível dos ingredientes é: Ingrediente Açúcar Farinha Ovo Estoqe 6 kg kg 8 n O lcro otido por cada olo I é $ e por cada olo II é $. Qanto prodzir de cada olo com o estoqe de ingredientes disponível a fim de oter o maior lcro possível? Fernando Nogeira rogramação Linear

3 Eemplo Típico Uma indstria prodz prodtos I e II sendo qe cada prodto consome m certo número de horas em máqinas A B e C para ser prodzido conforme a taela: rodto Tempo Máqina A Tempo Máqina B Tempo Máqina C I II O tempo de fncionamento máimo disponível das máqinas é: Máqina Máimo tempo disponível A 6 B C 8 O lcro otido por cada prodto I é $ e por cada prodto II é $. Qanto faricar de cada prodto de modo qe seja oedecida a capacidade operativa das máqinas com o maior lcro possível? Fernando Nogeira rogramação Linear

4 Eemplo Típico Uma empresa aérea possi tipos de aeronaves I e II sendo qe cada aeronave tiliza ma certa qantidade de pilotos engenheiros de vôo e comissários para operar conforme a taela: Aeronave ilotos Engenheiros de vôo Comissários I II A empresa possi a seginte disponiilidade de fncionários: Fncionário Disponiilidade iloto 6 Engenheiro de vôo Comissário 8 O lcro otido por cada aeronave I é $ e por cada aeronave II é $. Qantas aeronaves de cada tipo devem tilizadas de modo qe seja oedecida a disponiilidade de fncionários a fim de oter o maior lcro possível? Fernando Nogeira rogramação Linear

5 Eemplos e são diferentes porém a formlação para os prolemas é eatamente a mesma! rogramação Linear modela ma enorme qantidade de prolemas. Eistem algoritmos para rogramação Linear qe garantem a otenção da solção ótima com crto tempo de processamento. Nome rogramação Linear rogramação vem da rogramação de Atividades (militares) Linear vem da formlação qe se otém (modelo é linear) Fernando Nogeira rogramação Linear

6 Modelagem Matemática a qantidade do prodto I a ser faricada a qantidade do prodto II a ser faricada Fnção Ojetivo ( ) Z. Ma lcro Restrições 6 8 Máqina A Máqina B Máqina C rod. não negativa Em notação matricial Fnção Ojetivo Z c Restrições A Z [. ] Fernando Nogeira rogramação Linear 6

7 Eemplo Atípico O sistema estrtral aaio é composto por arras rígidas e caos. Qal o máimo carregamento permitido nos pontos e considerando as resistências admissíveis nos caos e as dimensões das arras? Fernando Nogeira rogramação Linear 7

8 Fernando Nogeira rogramação Linear 8 Z Ma

9 Fernando Nogeira rogramação Linear 9 Z Ma Solção

10 Otro Eemplo (Típico) Em condições normais ma fárica pode prodzir nidades de m prodto em cada de qatro períodos com cstos qe variam de período para período de acordo com a taela aaio. Unidades adicionais podem ser prodzidas em períodos etras. A capacidade máima e os cstos de prodção em períodos etras são mostrados tamém na taela aaio jnto com a previsão de demanda para os prodtos em cada dos qatros períodos. eríodo Demanda (nidades) Csto prodção normal Capacidade máima de prodção em períodos etras Csto de prodção em períodos etras

11 É possível armazenar até 7 nidades em estoqe a partir de m período para o próimo com m csto de R$ por nidade por período. Eistem nidades em estoqe no período. Formle este prolema como m prolema de programação linear para minimizar o csto total envolvido na prodção de tal forma qe a demanda seja atendida. ( ) e e e e y y y y Z Min i i i i d y e e e e e y y y y e y e e y e e y e y e

12 Interpretação Geométrica A região fechada formada pelas restrições é sempre convea e contém todas as solções possíveis o viáveis: região das restrições. Teorema Fndamental da rogramação Linear Uma vez qe todas as eqações e/o ineqações envolvidas são lineares o valor ótimo da fnção-ojetivo Z só pode ocorrer em m dos vértices da região das restrições. Fernando Nogeira rogramação Linear

13 O Método Simple (Dantzig 98) Considerações Iniciais O Método Simple é m algoritmo qe sistematiza a solção de prolemas de.l. de maneira eficiente comptacionalmente (não é força-rta). Seja m o número de eqações e/o ineqações de restrição e n o número de variáveis (incógnitas) tem-se: cn n Z m An n m prolemas ocorrem na resolção de )A eistência de desigaldades < o > implica qe a solção é geralmente m conjnto e não única. )A não necessariamente possi inversa geralmente A não é qadrada m n.os: o fato de A ser qadrada não garante a eistência de inversa. ( ) m A n n ( ) George Dantzig (*9 ortland Oregon Estados Unidos ; alo Alto California Estados Unidos). m Fernando Nogeira rogramação Linear

14 Solção do rolema Transformar as desigaldades em igaldades através da introdção de variáveis de folga (slack variales). Eemplo: com Solção do rolema Tem-se então m sistema com m eqações e (n m) incógnitas: A ( n m ) ( n m ) m Anlar n variáveis. Uma vez qe (n m) é sempre maior qe m sempre tem-se mais incógnitas de qe eqações assim o sistema é sdeterminado infinitas solções. No entanto anlando n variáveis o sistema fica: m A m m m Qais n variáveis deve-se anlar para oter solção ótima??? Fernando Nogeira rogramação Linear m

15 O Método Reescrevendo a fnção-ojetivo e as ineqações como eqações: Z. 6 8 Deve-se achar ma solção inicial viável qalqer. A maneira mais simples para isto é zerar as variáveis de controle ( ). Com isso as variáveis de folga assmem valores máimos ( 6 e 8). Esta é ma solção viável (nenhma restrição foi violada) porém é a pior possível pois Z. ode-se classificar as variáveis do prolema como: Variáveis Básicas: variáveis qe compõem a solção em cada iteração. Variáveis Não-Básicas: variáveis qe foram anladas. Fernando Nogeira rogramação Linear

16 artindo de ma solção inicial qalqer o Método Simple verifica se eiste ma otra solção qe seja melhor qe a solção atal. Isto se dá através da análise da fnção-ojetivo:. Z Fazendo Z. as derivadas parciais de Z em relação as variáveis (de controle e de folga) fornecem a taa de crescimento de Z nas direções destas variáveis. Z Z Z Z Z. O fato acima permite dedzir qe enqanto hover variáveis não-ásicas com coeficientes negativos em Z. a solção poderá ser melhorada. Uma vez qe o ojetivo é maimizar Z deve-se escolher dentre as variáveis não-ásicas aqela qe possir maior taa de variação (coeficiente mais negativo) para compor as variáveis ásicas no caso. ara isso algma variável ásica terá qe deiar a ase para compor as variáveis não-ásicas. Qal variável deve deiar a ase o seja mdar do grpo das variáveis ásicas para o grpo das variáveis não-ásicas? Fernando Nogeira rogramação Linear 6

17 A medida qe (a variável qe era não-ásica e agora é variável ásica) amenta deve-se diminir cada variável ásica corrente correspondente a ma linha na qal tenha coeficiente positivo. Assim qanto pode crescer antes qe ma das variáveis ásicas corrente atinja se limite inferior (não viole nenhm restrição)? Z os: pois. é variável nãoásica ara Com isso concli-se qe qando 6 e portanto poderá ir para o grpo das variáveis não-ásicas. Antes 6 8 ara ara Agora Variáveis ásicas 8 6 Variáveis não-ásicas Fernando Nogeira rogramação Linear 7

18 Uma vez qe entro na ase e sai da ase faz-se necessário então alterar os valores dos coeficientes do sistema de eqações de maneira eqivalente. Este processo é otido através do Método de Gass-Jordan (tiliza operações elementares à matriz amentada de m sistema até alcançar a forma escalonada redzida). Eemplo de forma escalonada redzida: taela simple

19 João compro ananas e laranjas e gasto R$. Maria compro anana e laranjas e gasto R$8. Qal o preço de ma anana () e de ma laranja (y)? O sistema linear aaio modela esse prolema: João) Maria) y y 8 Operações elementares Solção y ) Mltiplicar ma linha por m escalar diferente de zero João) Maria) ( ) y ( ) 8y Solção y ) Sstitir ma linha pela sa soma com m múltiplo de otra linha João) João Maria) y y Solção y Os sistemas são diferentes mas a solção é a mesma! Fernando Nogeira rogramação Linear 9

20 Retomando o prolema ao ponto inicial pode-se montar a seginte taela (Taela Simple):. Se o vetor [.] t (correspondente a colna de ) transformar-se no vetor [ ] t (correspondente a colna de ) estará pertencendo a ase e sairá da ase. ara realizar o Método de Gass-Jordan é necessário escolher o elemento pivô o qal é otido pela interseção da colna pivô com a linha pivô. 6 8 } } Restrições fnção-ojetivo Fernando Nogeira rogramação Linear

21 A colna pivô é a colna correspondente à variável qe vai entrar na ase ( no caso) e a linha pivô é a linha na qal a interseção com a colna correspondente à variável qe vai sair da ase é igal a (no caso a interseção da linha com a colna correspondente a ). Realizando o Método de Gass-Jordan a Taela Simple fica: Esta taela refere-se ao seginte sistema: Z Fernando Nogeira rogramação Linear } } Restrições fnção-ojetivo fnção-ojetivo } } Restrições

22 A Taela Simple anterior fornece a seginte solção: 6 6 e Z 9. Uma vez qe é ma variável não-ásica e possi coeficiente negativo esta deverá entrar ase e conseqüentemente deverá sair da ase. Com esta alteração a Taela Simple após o Método de Gass-Jordan fica: qe corresponde ao seginte sistema: Z Fernando Nogeira rogramação Linear } } Restrições fnção-ojetivo } fnção-ojetivo } Restrições

23 A Taela Simple anterior fornece a seginte solção: e Z. Uma vez qe não eiste variáveis não-ásicas com coeficiente negativo a solção não poderá mais ser melhorada portanto está solção é ótima. Conclsão Em.L. eiste maneiras de cominar n variáveis igais a zero. No eemplo n e m qe reslta em solções possíveis o qe implica qe seria necessário resolver sistemas de eqações (forçarta). No entanto o Método Simple resolve apenas sistemas de eqações (neste caso) e alcanço a solção ótima. os: y y!! ( n m) m ( y )! cominação Fernando Nogeira rogramação Linear

24 Solção de m Modelo Geral de.l. pelo Método Simple Até o momento Fnção-Ojetivo deve ser maimizada } Variáveis de controle não negativa Apresentam ma solção ásica inicial Qando ma o mais dessas características não são satisfeitas faz-se necessário determinar ma forma eqivalente mdar o modelo e não o algoritmo..minimização Se a fnção-ojetivo é de minimização deve-se mltiplica-lá por. Min Z Ma Z os: restrições não são alteradas. Simple eige essas características Fernando Nogeira rogramação Linear

25 .Variável Livre o Negativa Sstitir a variável livre pela diferença de otras não-negativas. Sstitir a variável negativa por ma otra positiva com coeficiente -. Ma Z livre Fazendo 6 negativa Ma Z Solção Básica Inicial Se a restrição é do tipo faz-se necessário acrescentar ma variável de folga negativa. com Se a restrição é do tipo já tem-se m eqação e portanto não é preciso acrescentar variável de folga. No entanto qando estes casos ocorrem não é formada ma smatriz identidade atomaticamente e portanto não origina ma solção ásica inicial. Eemplo: Fernando Nogeira rogramação Linear

26 Fernando Nogeira rogramação Linear 6 6 Z Ma 6 Z 6 } } Restrições fnção-ojetivo A Taela Simple fica: Nota-se na Taela Simple qe não eiste ma s-matriz identidade. Neste caso acrescenta-se Variáveis Artificiais (Ailiares) nas linhas cjas as restrições são do tipo o. O sistema fica:

27 Fernando Nogeira rogramação Linear 7 a a com 6 a a a a a a a a Z A Taela Simple fica: 6 a a } } Restrições fnção-ojetivo Agora tem-se ma s-matriz identidade porém a e a 6. O retorno ao modelo original deve ser feito com a eliminação das Variáveis Artificiais. Isto é realizado através do Método do M Grande o do Método da Fnção-Ojetivo Ailiar.

28 Método da Fnção-Ojetivo Ailiar Este método consiste em tilizar ma fnção-ojetivo ailiar W(a a...a r ) formada pela soma das r Variáveis Artificiais W(a a...a r ) a a... a r. Uma vez qe as Variáveis Artificiais podem ser escritas em fnção das Variáveis de Controle e de Folga pode-se sempre minimizar W(a a...a r ) até W(a a...a r ) o qe corresponde a a a... a r fazendo então as Variáveis Artificiais pertencerem ao grpo das Variáveis Não-Básicas. Com isso otém-se ma solção viável para o prolema podendo-se então aandonar a Fnção-Ojetivo Ailiar e as Variáveis Artificiais. Eemplo: Ma Z Z a a 6 Fnção-Ojetivo Ailiar W(a a ) a a com a a Fernando Nogeira rogramação Linear 8 Dá o restrição a a a a a a Dá o restrição a 6 a 6

29 Fernando Nogeira rogramação Linear 9 Sstitindo a e a em W(a a ) fica: Min W(a a ) Ma W(a a ) 8 qe na forma de eqação é W(a a ) 8 A Taela Simple fica: 8 6 a a } } Restrições fnção-ojetivo } fnção-ojetivo ailiar Após iterações (neste eemplo) do Método Simple a Taela Simple fica: 6 6 a a } } } Restrições fnção-ojetivo fnção-ojetivo ailiar

30 Fernando Nogeira rogramação Linear A Taela Simple agora apresenta ma solção cja as Variáveis Artificiais são Variáveis Não-Básicas (portanto igais a zero) e podem então ser desprezadas e o Método Simple pode continar sendo tilizado a fim de encontrar a solção ótima. Considerações Finais.rolema de Degeneração A saída de ma V.B. com valor nlo provoca o aparecimento de ma otra V.B. nla na próima solção sem alteração do valor da Fnção-Ojetivo. Neste caso a solção é denominada degenerada indicando qe eiste no mínimo ma restrição redndante. Se os coeficientes da Fnção-Ojetivo retornam não negativos em algma iteração o caso não apresenta dificldade. O prolema srge qando as iterações levam a circitos sem caracterizar a solção ótima. Neste caso faz-se necessário tilizar regras mais compleas as qais não serão aordadas neste crso. Tal prolema é astante raro em aplicações práticas. Eemplo em qe a degeneração não acarreto em circito: 8 9 Z Ma iteração iteração

31 Fernando Nogeira rogramação Linear Eemplo em qe a degeneração ocorre temporariamente: 8 8 Z Ma iteração iteração iteração

32 Fernando Nogeira rogramação Linear Eemplo em qe a degeneração acarreto em circito: 9 9 Z Ma iteração iteração iteração iteração iteração 6 iteração

33 .Solção Ilimitada Ocorre qando a variável qe entra na ase não possi em sa colna nenhm coeficiente positivo não sendo portanto possível determinar a linha pivô. Eemplo: Ma.Solções Múltiplas Z Se na solção ótima o coeficiente de m V.N.B. é zero esta variável poderá entrar na ase sem alterar o valor da fnção ojetivo gerando otra solção ótima. Neste caso qalqer cominação linear dessas solções tamém será ótima. Eemplo: Ma Z Fernando Nogeira rogramação Linear

34 Fernando Nogeira rogramação Linear.Solções Inviável Se o prolema de.l. não possir nenhma solção viável então o Método da Fnção- Ojetivo Ailiar (o do M Grande) irá fornecer na solção final no mínimo ma variável artificial com valor diferente de zero caso contrário todas variáveis artificiais serão nlas. Eemplo: Z Ma

35 Fernando Nogeira rogramação Linear.Lado Direito das Restrições Negativas Solção Inicial: - e - Inviável pois e são negativos. Sempre qe hover restrições cjo lado direito são negativos deve-se mltiplicar amos os lados destas restrições por. Solção Inicial: a a Viável. a a a a a a