pontos: f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5, f(5)=10 e f(6)=30.

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1 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL: SEGUNDO BIMESTRE: EDGARD JAMHOUR Eemplo A: Interpolação polinomial Funções de interpolação: fa() = 2 - /2 + 2 /2 fb() = 5/2-17/ /12 fc() = 23/2-1183/ / / /10 pontos: f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5, f(5)=10 e f(6)=30. QUESTÃO 1: Em relação ao Eemplo A, indique as afirmativas verdadeiras. ( ) Observando a figura pode-se afirmar que fa() = f1(), fb() = f2() e fc() = f4(). ( ) A interpolação polinomial define funções no formato f() = a 0 + a 1 + a a n-1 n-1, onde n é o número de pontos que precisam ser interpolados. ( ) A ordem do polinômio interpolador depende do número de pontos interpolados. Em geral, quanto maior o número de pontos, maior a ordem do polinômio necessário, mas pode aver eceções. ( ) Considere que a função f() foi criada interpolando-se os pontos (1,y1), (2,y2) e (3,y3), onde 1<2<3. Caso uma nova função interpoladora g() seja criada interpolando-se os mesmos três pontos anteriores, mas acrescentando-se o ponto (4,y4) onde 3<4, então pode-se afirmar que f()=g() no intervalo 1 < < 3. ( ) Pode-se afirmar que o polinômio f() = a 0 + a 1 + a 2 2 pode passar por quaisquer 3 pontos dados ajustando-se apenas os valores de a 0, a 1 e a 2. QUESTÃO 2: Relacione os métodos de interpolação polinomial e ajuste de curvas com suas características. ( ) Resolver um sistema com 5 equações para interpolar 5 pontos. ( ) A ordem do polinômio independe do número de pontos interpolados ( ) Utiliza o operador de diferenças finitas ( ) Passa eatamente por todos os pontos de interpolação ( ) Pode não passar eatamente por nenum dos pontos ( ) Resolver um sistema com 5 equações para acar um polinômio de ordem 5. ( ) Gera uma função interpoladora f() = a 0 + a 1 + a a n-1 n-1, onde os coeficientes (a 0, a 1,..., a n-1 ) não são constantes. 1. Sistema de Equações Lineares 2. Polinômios de Lagrange 3. Forma de Newton 4. Mínimos Quadrados 5. Nenuma 6. Todas 7. Alternativas 1, 2 e 3 8. Alternativas 2 e 3 9. Outra combinação de alternativas QUESTÃO 3: Em relação ao método de ajuste de curvas pelo método de mínimos quadrados (MMQ) indique as afirmações verdadeiras: Dado: conjunto de pontos: ( 1,y 1 ) ( 2,y 2 ) ( 3,y 3 ) ( 4,y 4 ) ( 5,y 5 ) Dado: curva que será ajustada: f() = a 0 + a 1 + a 2 2 ( ) O erro quadrático da curva f() em relação aos pontos fornecidos é dado por: E= 5 i=1 (f( i ) 2 (y i ) 2 ) ( ) O erro quadrático E é dependente de a 0, a 1 e a 2, isto é, E(a 0, a 1, a 2 ). O erro quadrático independe de. ( ) O melor ajuste da curva f() é aquele que minimiza o erro quadrático E. O ajuste da curva é feito escolendo-se os coeficientes a 0, a 1 e a 2. ( ) A função de erro quadrático é sempre positiva e convea. Essa função não tem valor máimo, mas tem um valor mínimo. ( ) Para encontrar os valores de a 0, a 1 e a 2, define-se um sistema de equações formado pelas derivadas parciais de E em relação a cada um dos coeficientes de f(), isto é, δe δa 1 = 0, δe δa 2 = 0, δe δa 3 = 0.

2 QUESTÃO 4: Considere a seguinte figura representando aproimação por série de Taylor da função Sin(). Indique os parâmetros n (ordem do polinômio) e 0 (ponto de referencia) para cada uma das curvas da figura. ( ) f1 ( ) f2 ( ) f3 1. n=3, 0 = Pi 2. n=3, 0 = -Pi 3. n=10, 0 = Pi 4. n=3, 0 = 0 5. n=10, 0 = 0 QUESTÃO 5: Identifique as equações de diferenciação finita, considerando que é o passo da derivação discreta. ( ) Progressiva ( ) Regressiva ( ) Centrada 1. f () = f(+) f( ) 2. f () = f() f( ) 3. f () = f(+) f( ) 4. f () = f()+f( ) 5. f () = f(+) f( ) 2 QUESTÃO 6: Relacione as representações gráficas dos métodos de integração numérica da função f() com suas respectivas equações de aproimação. Considere que = k - k-1. ( ) f( ( k-1 + k )/2) ( ) (f( k-1 ) + f( k ))/2 ( ) (f( k-1 ) + 4f( k )+ f( k+1 ))/3 1. Regra do Retângulo 2. Regra de Simpson 3. Regra do Trapézio

3 QUESTÃO 7: Considere o seguinte problema de pesquisa operacional, e preenca o quadro abaio: A Politoy S/A fabrica soldados e trens de madeira. Cada soldado é vendido por $27 e utiliza $10 de matéria-prima e $14 de mão-deobra. Duas oras de acabamento e 1 ora de carpintaria são demandadas para produção de um soldado. Cada trem é vendido por $21 e utiliza $9 de matéria-prima e $10 de mão-de-obra. Uma ora de acabamento e 1 de carpintaria são demandadas para produção de um trem. A Politoy não tem problemas no fornecimento de matéria-primas, mas só pode contar com 100 de acabamento e 80 de carpintaria por semana. A demanda semanal de trens é ilimitada, mas no máimo 40 soldados são comprados a cada semana. A Politoy deseja maimizar seus ganos semanais. Variáveis desconecidas a serrem determinadas Equações de restrições Função objetivo QUESTÃO 8: Considerando os diferentes tipos de problemas de otimização e as respectivas técnicas de resolução, relacione as colunas : restrições são lineares em relação as variáveis desconecidas restrições são lineares em relação as variáveis desconecidas. Adicionalmente, todas as variáveis desconecidas só podem assumir números inteiros. restrições são lineares em relação as variáveis desconecidas. Algumas das variáveis desconecidas só podem assumir números inteiros. ( ) Resolve problemas onde a função objetivo ou alguma das equações que representam as restrições são não-lineares em relação as variáveis desconecidas. restrições são não-lineares em relação as variáveis desconecidas. ( ) Resolve problemas onde as variáveis de controle estão restritas a assumir valores discretos em um conjunto finito. 1. Programação Linear 2. Programação Não-Linear 3. Programação Inteira 4. Programação Inteira Mista 5. Otimização Combinatórica 6. n.d.a. QUESTÃO 9: Considerando o comportamento das funções no intervalo fornecido, indique as afirmativas corretas: f1() f2() f3() ( ) Quando a derivada de uma função é igual a zero, o ponto correspondente pode ser um ponto de máimo ou mínimo. ( ) A função f 1 () possui quatro pontos no intervalo fornecido onde a derivada é zero. Dois deles correspondem a valores mínimos e dois a valores máimos. ( ) A função f 1 () possui mínimos e máimos globais e locais. ( ) O ponto onde a derivada da f 2 () é igual é zero, corresponde ao mínimo global no intervalo. ( ) A função f3() não possui mínimo nem máimo, porque sua derivada nunca é igual a zero no intervalo mostrado.

4 QUESTÃO 10: Nas figuras abaio a lina contínua representa a função f() e a lina pontilada sua derivada f (). O método do gradiente descendente foi aplicado para encontrar o mínimo da função f(). Considerando a figura, e o funcionamento do método do gradiente descendente, indique as afirmativas corretas. = 0.01, 0 = 1 = 0.01, 0 = -1 ( ) O método do gradiente descendente é iterativo. A partir de um ponto, k, o método determina um novo ponto k+1 usando a epressão: k+1 = k - f(). Quando a função f() depende de uma única variável, isto é, é um escalar, f() = f (). ( ) O método do gradiente descendente converge quando f () = 0. Isso acontece porque não é mais possível gerar novos pontos de procura uma vez que o gradiente é igual a zero. ( ) O método do gradiente descendente é dependente do ponto inicial de procura, 0, isto é, ele pode convergir para mínimos locais caso a função os tena. ( ) Caso uma função possua mais de um mínimo, é possível determinar todos mínimos da função usando um único valor para 0. ( ) Na figura da esquerda, os novo pontos foram gerados no sentido de aumentar o valor de porque o gradiente é negativo nessa região, e o método procura novos pontos sempre em direção oposta ao gradiente. QUESTÃO 11: Considerando o funcionamento do algoritmo de programação não-linear Nelder-Mead responda as alternativas corretas. refleão contração ( ) Algoritmo de Nelder-Mead é um método eurístico para determinar pontos etremos de funções objetivo sem necessidade de cálculo do gradiente. O algoritmo aplica-se apenas a problemas de maimização, não podendo ser usado em problemas de minimização. ( ) O algoritmo Nelder-Mead determina a direção de procura de novos pontos que estão mais próimos valor ótimo efetuando operações em um poliedro como n+1 pontos, onde n é o número de variáveis da função objetivo. No caso das figuras fornecidas, os poliedros mostrados representam um problema com duas variáveis. ( ) Nas figuras fornecidas, os pontos 1, 2 e 3 são escalares, isto é, tem apenas uma dimensão. ( ) O algoritmo de Nelder-Mead reduz o tamano do poliedro substituindo o ponto correspondente ao pior valor da função custo por pontos melores. ( ) Na medida que as iterações avançam, os pontos do poliedro tendem a ficar próimos uns dos outros porque todos se aproimam da melor solução. O algoritmo converge quando o poliedro fica muito pequeno, isto é, todos os pontos ficam muito próimos.

5 QUESTÃO 12: Na figura r1, r2 e r3 correspondem as restrições de um problema de programação linear modelado na forma de um problema que será resolvido pelo algoritmo simple. Maimizar: Sujeito a: (r2) (r3) (r2) ( ) Os pontos do poliedro correspondem as variáveis 1 e 2 que precisarão determinadas para maimizar a função custo. Para que o método simple possa ser usado, essas variáveis devem ser não negativas. ( ) O método simple define um poliedro formado pela interseção das retas que representam todas as restrições. Assim, o poliedro é formado pelos pontos p1 até p5, e pelo ponto (0,0). ( ) Os vértices do poliedro e qualquer ponto no seu interior correspondem a soluções que não violam nenuma restrição. Essas soluções são ditas factíveis. Os pontos p1, p2, p3 e p6 são factíveis. Os pontos p3 e p5 são não factíveis. ( ) Observa-se na figura que a restrição r3 não atua para limitar os valores de 1 e 2, porque as outras restrições são mais restritivas. Assim, os pontos p5 e p3 gerados por essa restrição estão fora do poliedro. ( ) A solução ótima do problema é sempre um dos pontos que correspondem ao vértices do poliedro. Pontos no interior do poliedro, como p6, nunca podem ser soluções ótimas. QUESTÃO 13: Considere os métodos utilizados para resolver problemas de otimização de funções não lineares com restrições. Maimizar: (+y) Sujeito a: 2 +y 2 = 1 Problema 1 Minimizar: (+y) Sujeito a: 3 +y 2 > 1 Problema 2 ( ) O problema 1 pode ser resolvido usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Para isso, define-se uma função custo L(, y, ) = (+y) - ( 2 +y 2-1). A nova variável,, é o multiplicador de Lagrange. ( ) Para encontrar o máimo de L(, y, ), determina-se um sistema de equações formada pelas derivadas parciais: δl δl = 0, = δ δy 0, δl = 0. Nesse eemplo, esse sistema de equações formado pelas derivadas parciais é linear. δ ( ) O problema 1 pode ser resolvido usando o método de penalização da função custo. Nesse caso a função custo deve ser reescrita como f(,y) = (+y) - abs( 2 +y 2-1). Essa função pode ser maimizada pelo método de Nelder-Mead. ( ) O problema 2 pode ser resolvido usando o método de penalização da função custo. Nesse caso a função custo deve ser reescrita como f(,y) = (+y) - abs( 3 +y 2-1). Essa função pode ser minizada pelo método de Nelder-Mead. ( ) O problema 2 pode ser resolvido usando o método de penalização da função custo. Nesse caso a função custo deve ser reescrita como f(,y) = (+y) - min( 3 +y 2-1,0). Essa função pode ser minimizada pelo método de Nelder-Mead.