Otimização de grande porte

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1 Otimização de grande porte Silvana Bocanegra Ciclo de Seminários BSI 204.2

2 Esboço Otimização: definição, aplicações e motivação; Classe de problemas de otimização e métodos de solução; Principais métodos de solução para problemas de programação linear: simple e pontos interiores; Solução de Problemas de grande porte; Eficiência dos métodos de solução.

3 Tipos de Problemas tratados via otimização. Dada uma variedade de alimentos, escolher uma dieta de menor custo que atenda as necessidades nutricionais de um indivíduo? 2. Determinar o planejamento de rotas que maimiza o lucro de uma companhia aérea dado uma frota particular de aviões, um certo nível de recursos humanos, e as demandas esperadas sobre as várias rotas? 3. Determinar locais para implantação de fábricas e armazéns de uma dada empresa, de modo que os custos de transporte de matérias-primas e produtos sejam minimizados? 4. Determinar o planejamento de produção de uma refinaria de petróleo que maimize a taa de produção e atende os padrões de qualidade? 5. Qual melhor plano de tratamento para um paciente com câncer, tendo em conta as características do tumor e sua proimidade com órgãos vitais? 6. Selecionar portfólios para investimento na bolsa de valores para maimizar retorno 7. Determinar alocação de salas e docentes para disciplinas de modo a minimizar o deslocamento de docentes e estudantes entre salas 8. Determinar alocação de equipes em projeto de desenvolvimento de software para minimizar tempo de entrega do produto.. e muitos outros problemas 3

4 Problemas de Otimização Minimizar (ou maimizar) uma função objetivo restrita a um conjunto de equações (ou inequações) 4

5 Eemplos ilustrativos: Transporte de mercadorias Determine quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro consumidor de forma a minimizar os custos de transporte. Centro Consumidor Fábrica Recife Salvador Manaus Capacidade Rio São Paulo B.Horizonte Demanda Fonte: Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Gerson Lachtermacher 5

6 Formulação Matemática do Problema Eistem 9 variáveis para epressar a quantidade transportada em cada uma das possíveis vias. ij = Quantidade transportada da fábrica i para o centro consumidor j. i Rio = 2 São Paulo 3 Belo Horizonte j Recife = 2 Salvador 3 Manaus Fonte: Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Gerson Lachtermacher

7 O modelo: Centro Consumidor Fábrica REC SSA MAN Rio 2 3 SP BH

8 Resolvendo no Ecel Solver Fonte: Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Gerson Lachtermacher 8

9 Resolvendo no Ecel Solver Fonte: Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Gerson Lachtermacher 9

10 Resolvendo no Ecel Solver Fonte: Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Gerson Lachtermacher 0

11 Aplicações Reais: Problemas de Transporte

12 Eemplo Ilustrativo: Alocar postos de saúde ProfFernandoGomide Alocação de postos de atendimento médico de emergência (AME) - 20 distritos - 0 locações candidatas 7 2 DCA-FEEC-Unicamp

13 3 DCA-FEEC-Unicamp ProfFernandoGomide O modelo matemático ou 0,, (D3) (D) (D20) (D0) (D9) (D9) (D8) (D8) (D7) (D7) (D6) (D6) (D5) (D5) (D4) (D4) (D3) (D2) (D2) (D) s.a. de AMEs número min = = j j

14 Possível método de solução: variáveis só podem assumir valores 0 ou. Problema com a enumeração total: eplosão combinatorial k variáveis de decisão (binárias) 2 k soluções! k = computador que verifique trilhão de soluções/segundo = / 0 2 = 0 8 segundos ProfFernandoGomide 0 8 segundos 400 milhões de séculos!! 4 DCA-FEEC-Unicamp

15 Aplicações Alocação de centros de distribuição 5

16 Eemplo: Carteira de Investimentos Uma empresa gerencia recursos de terceiros através da escolha de carteiras de investimentos para diversos clientes, baseados em bonds de diversas empresas. Um de seus clientes eige que: Não mais de 25% do total aplicado deve ser investido em um único investimento; Um valor superior ou igual a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maiores que 0 anos; O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máimo, de 45% do total investido. Considerando a tabela abaio de retorno, risco e maturidade dos diversos títulos, determine a estratégia ótima para o investidor de forma que a rentabilidade de sua aplicação seja máima. Título Retorno anual (%) Maturidade (anos) Risco 8,7 5 Muito baio 2 9,5 2 3 Regular 3 2,0 8 4 Alto 4 9,0 7 2 Baio 5 3,0 4 Alto ,0 5 5 Muito alto

17 Carteira de Investimentos: Modelo de Programação Matemática ma rendimento j j j Titulos 0, 25 j Titulos j j Titulos j maturidade j 0 0,50 j j Titulos = j Titulos j risco j 4 0,45 7

18 Finanças: Seleção de Portfólios 8

19 Finanças: Seleção de Portfólios 9

20 Problemas Determinísticos Objetivo Linear Objetivo Não Linear Múltiplos Objetivos Restrições Lineares PLI PL Restrições Não Lineares PNLI PNL Variáveis Discretas Variáveis Contínuas 20

21 Programação Linear: Solução Gráfica Resolver o seguinte PPL: ma,

22 Solução Gráfica 2 F E D A = (0,0) ma 22 2 B = (2,0) C = (2,) 2 D = (,2) 2 2 E = (0,2) F = (0,3) 2 3 G = (2,2) * = (,2), z* = 5, 2 0 H = (3,0) G 2 2 z = 4 C 2 3 A ma z= 2 2 B H

23 Solução Gráfica de PPL s Passos para resolver graficamente um PPL: a) Escolher uma solução viável qualquer b) Traçar o hiperplano definido pela função objetivo passando pelo ponto c) Determinar o gradiente da função objetivo no ponto d) Caminhar no sentido e direção do gradiente da função objetivo até tangenciar a região viável (maimização).

24 Solução Gráfica de PPL s Passos para resolver graficamente um PPL: a) Escolher uma solução viável qualquer b) Traçar o hiperplano definido pela função objetivo passando pelo ponto c) Determinar o gradiente da função objetivo no ponto d) Caminhar no sentido e direção do gradiente da função objetivo até tangenciar a região viável (maimização).

25 Programação Linear Método Simple Método de Pontos Interiores 25

26 Método Simple: Interpretação geométrica A B C D E F G A = (0,0) B = (2,0) C = (,) D = (,2) E = (0,2) F = (0,3) G = (2,2) H = (3,0) H 0,,,, ma = = =

27 Método Simple Quantidade de vértices depende do número de variáveis (n) e restrições (m) n o máimo de bases = n! m!(n m)! 27

28 Algoritmos e Compleidade Na prática o método simple apresenta bom desempenho mas no pior caso, pode apresentar compleidade eponencial. V.Klee e O.J. Minty (977) eibiram uma classe de problemas em que o algoritmo simple gasta 2 n - iterações.

29 Método de Pontos Interiores Classe de algoritmos polinomiais para resolver problemas de PL (programação linear), PQ (programação quadrática), programação convea em geral. 29

30 Método de Pontos Interiores Popular- 984 Karmarkar, AT&T Bell Labs; - algoritmo polinomial para Programação Linear - 50 vezes mais rápido que método simple em problemas de grande porte. - lacunas entre teoria e prática uma década de avanços teóricos e computacionais, classe de variantes; - algoritmo primal-dual consagrado como o mais eficiente (softwares comerciais CPLEX, XPRESS,...) 30

31 Algoritmos e Compleidade Em geral, o número de iterações necessário para convergência em métodos de pontos interiores não depende do tamanho do problema. No entanto, em termos de compleidade teórica o algoritmo converge em iterações, sendo epsilon a precisão requerida.

32 Método Primal-Dual Problema da barreira perturbado: 32

33 Método Primal-Dual Primal: Lagrangeano: Definindo: As condições de otimalidade (KKT) : 33

34 Método Primal-Dual Sistema não linear : Reduzir τ (até zero) τ = σμ; σ (0, ) 34

35 Esquema: primal-dual 2^2 Solução inicial: ( 0,λ 0, s 0 ) σ 0 (0, ) µ 0 =( 0 ) T s 0 ) / n Sistema não linear Direção de Newton Sistema linear = (, λ, s) Atualiza parâmetros: ( k, λ k,s k ) = ( k,λ k,s k ) (α p k, α d λ k, α d s k ) µ k = σ k (( k ) T s k ) / n 35

36 Eficiência dos métodos: Implementações robustas solução inicial, preprocessamento, determinação de parâmetros, solução dos sistemas) Parte Crucial - Solução de sistemas lineares cerca de 80% do tempo de processamento. 36

37 Abordagem direta : equações normais -matriz simétrica e definida positiva Fatoração de Cholesky L y= b A =b L L T =b L T =y LDL T =b Ly = b Dz = y L T =z 37

38 Abordagem direta : equações normais perda no padrão de esparsidade. (Técnicas de reordenamento para gerar fator mais esparso possível ) 38

39 Métodos do subespaço de Krylov Aproimações para solução de A= b são obtidas por m = 0 V m y m, V m matriz formada pelos vetores da base e H m y m = r 0 e, sendo e = (,,...,)T r 0 = b - A 0. 39

40 Precondicionamento Objetivo- melhorar as características de convergência A = b M - A=M - b - Agrupamento de autovalores (M - A) 40

41 Estado da arte dos softwares Abordagem mais usada resolve os sistemas de equações normais com implementações esparsas da fatoração de Cholesky. (fatoração simbólica; reordenamento) Tamanho crescente dos problemas restringe a aplicação limitação de memória. Única possibilidade métodos iterativos Pesquisadores investem no desenvolvimento de precondicionadores para métodos 4

42 Direcionamentos Futuros na área e nossas propostas de trabalho Vários precondicionadores interessantes foram propostos; Ainda não há um precondicionador final; Precondicionadores híbridos podem se adequar as características numéricas dos problemas; Eplorar unidades de processamento gráfico e implementações paralelas. 42

43 Propostas de trabalhos Resolver problemas de otimização encontrados durante o processo de desenvolvimento de software Bio-informática: Análise de epressão gênica por micro-array Fase de treinamento em problemas envolvendo aprendizado de máquina. 43