Lorí Viali. Afiliação
|
|
- Fernando Ferretti Estrela
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Lorí Viali Licenciatura Plena em Matemática UFRGS Bacharelado em Matemática UFRGS Especialização em Formação de Pesquisadores PUCRS Mestrado em Engenharia de Produção (PO) UFSC Doutorado Sanduíche na USF (University of South Florida) Doutorado em Engenharia de Produção (IA) UFSC Afiliação Professor Titular do Departamento de Estatística Faculdade de Matemática da PUCRS Professor Adjunto do Departamento de Estatística do Instituto de Matemática da UFRGS. da Para qualquer matriz A, a notação a ij indica o elemento da linha i e coluna j. Para duas matrizes A e B de dimensões compatíveis (AB) = B A Se A é uma matriz quadrada diremos que A é simétrica se A = A. Uma matriz A é diagonal se a ij = 0 sempre que i j. Ela é uma triangular inferior se a ij = 0 para i < j. Ela é triangular superior se sua transposta for triangular inferior. I representa a matriz identidade e det(a) representa o determinante de A. Definição Dada uma matriz mm A a matriz mm B é sua inversa se e somente se BA = AB = I.
2 Associado a qualquer matriz quadrada A eiste um número denominado de determinante de A (abreviado por det A ou A ). Assim se A = [a ] é matriz, então o determinante de A é a = a. Para uma matriz a A = a a a O determinante é dado por: deta = a a a a. Antes de calcular o determinante de matrizes de ordem mais alta é necessário definir o conceito de menor de uma matriz. Se A é uma matriz de ordem mn então para quaisquer dois valores i, j m, o M ij menor de A é a sub-matriz obtida de A eliminando-se a linha i e a coluna j. Seja A uma matriz mm com m > então o determinante de A é dado por: A = (-) i+ a i M i + (-) i+ a i M i (-) i+m a im M im Essa fórmula é denominada de epansão do deta pelos cofatores da linha i. Calcular o determinante pela epansão dos cofatores da seguinte matriz: O determinante é: = ( ) ( ).. + ( ) = (5 8) (36 ) + 3(3 35) = = 0 5 = 8
3 Se AX = B, então: A - (AX) = A - B (A - A)X = A - B IX = A - B X = A - B A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um problema. Eiste um conjunto particular de problemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento de otimização. Muitos processos podem se beneficiar de uma alocação otimizada de recursos. Esses recursos podem incluir capital, equipamentos, tarefas, e devem ser corretamente alocados nas quantidades, nos tempos e na seqüência para a obtenção do melhor resultado possível. São problemas compleos, muitas vezes de difícil solução e que envolvem significativas reduções de custos, melhorias de tempos de processos, ou uma melhor alocação de recursos em atividades. As técnicas de otimização devem ser utilizadas quando não eiste uma solução simples e diretamente calculável para o problema. Isso geralmente ocorre quando a estrutura do problema é complea, ou eistem milhões de possíveis soluções. Ma Um Problema de Programação Não Linear (PPNL) pode ser colocado da seguinte forma: Encontre valores de,,..., n que: (min) tq z g g = f(,,..., n ) (,,..., n )( (..., )( g... m,, n, = ou ) b, = ou ) b (,,..., n) (, = ou ) b m 3
4 Da mesma forma que na Programação Linear (PL) na PNL f(,,..., n ) é a função objetivo(fo) e g i (,,..., n ) (, = ou ) b i com i =,,..., m são asrestrições. Quando não eistirem restrições teremos a PNL irrestrita. O conjunto de todos os pontos (,,..., n ) tal que i é um número real é representado por R n. Assim R é o conjunto de todos os números reais. O conjunto de todos os pontos (,,..., n ) que satisfazem as restrições de um PPNL é denominada de Região Viável (RV). Um ponto na região é denominado depontoviável(pv) e um ponto fora da região é denominado deponto Inviável. Um ponto * na região viável tal que f(*) f() é uma solução ótima do PPNL. (Se o problema for de minimização * é uma solução ótima se f(*) f() para todos os pontos da região). Se f, g, g,..., g m forem funções lineares então o problema será de PL e poderá ser resolvido pelo algoritmo Simple. () O custo de fabricação de um produto de uma empresa écreais e a demanda pelo mesmo é D(p). Se a empresa quer maimizar o lucro qual deve ser o preço final do produto.
5 () Secunidades de capital elunidades de mão de obra são utilizadas uma empresa pode produzir cl unidades de um produto. O custo do capital por unidade é de R$,00 e o do trabalho é de R$,00. Se o total disponível é de R$ 8,00 como a empresa pode maimizar a quantidade de bens a ser manufatura? Lembrar que: A região viável de um PPL é um conjunto conveo, isto é, se A e B são pontos viáveis então todos os pontos do segmento ligando A e B são também viáveis. Também que, se um PPL tem uma solução ótima então ela é um ponto etremo da região viável. Para um PPNL um ponto ótimo não é necessariamente um ponto etremo da região viável. De fato para um PPNL a solução ótima pode nem sequer ser um ponto de fronteira. Um PPNL cuja solução ótima não é um vértice. D é a solução ótima sobre a região viável formada pelo triângulo ABE. l 8 E A D B ma z = cl s. a c + l 8 c, l 0 c cl = cl = cl = Um PPNL cuja solução ótima não está na fronteira da região viável. A solução ótima é z = quando = ½. E não é um ponto de fronteira da região viável. / ma z = f() s. a 0 Para um PPNL (maimização), um ponto viável = (,,..., n ) é um máimo local se para um ε suficientemente pequeno, qualquer ponto viável = (,,..., n ) tal que < ε satisfaz f() f( ). 5
6 De outro modo, um ponto é um máimo local se f() f( ) para todo viável que está próimo de. Um ponto que é um mínimo ou Para um PPL (maimização), qualquer mínimo local é uma solução ótima do problema (Porquê?). Para um PPNL isso não é máimo local é denominado de local, necessariamente verdadeiro. Por eemplo, relativo ouetremo. considere o seguinte PPNL: ma z = f() s.a 0 0 onde f() é apresentada na figura da próima lâmina. Note que os pontos A, B e C são Um máimo local pode não ser uma solução ótima de um PPNL. z A B C 0 z = f() máimos locais mas C é a única solução ótima do problema. Seja f(,,..., n ) uma função definida para todos os pontos (,,..., n ) de um conjunto conveo S. A função f é convea se para qualquer S e S. f[c + ( c) ] cf( ) + ( c)f( ) para 0 c. A função f(,,..., n ) é uma função côncava em um conjunto conveo S se para qualquer S e S. f[c + ( c) ] cf( ) + ( c)f( ) para 0 c. 6
7 Considerando as definições anteriores pode-se verificar que uma função f(,,..., n ) é convea se e somente -f(,,..., n ) é côncava e viceversa. Para 0, f() = e g() = e são funções conveas e f() = / é uma função côncava. Favor verificar (graficamente e analiticamente)! y y = f() C A B Uma vez que o segmento AB está abaio de y = f() e o segmento BC está acima da y = f(), f() não é côncava nem convea. Uma função linear da forma f() = a + b é tanto convea quanto côncava. Isso é uma consequência de: f[c + ( c) ] = a[c + ( c) ] + b = = c(a + b) + ( c)(a + b) = = cf( ) + ( - c)f( ) Considere um PPNL de maimização (minimização) e suponha que a região viável S seja um conjunto conveo. Se f() é côncava (convea) em S, então qualquer máimo (mínimo) local do PPNL é uma solução ótima do PPNL. Seja f() uma função de uma única variável. Suponha que f () eiste para todo num conjunto conveo S. Então f() é uma função convea (côncava) em S se e somente se f () 0 (f( ) 0) para todo em S. 7
8 Como é possível determinar se uma função f(,,..., n ) de n variáveis é convea (côncava) em um conjunto S R n. Vamos assumir que a f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Antes do critério para determinar se f é côncava ou convea são necessárias três definições. OHessiano da função f(,,..., n ) é a matriz nn cujo elemento a ij é dado por: a ij = f/ i j. Por eemplo ohessiano da função: f(, y) = 3 + y + y é: OHessiano, nesse caso, será: f = H(, ) f Resolvendo, tem-se: f f H(, y) = 6 Um i-ésimo menor principal de uma matriz nn é o determinante de qualquer ii matriz obtida eliminando n i linhas e n i colunas da matriz nn. Assim para a matriz: Os primeiros menores principais são - e - e o segundo é -(-)-(-)(-) = 7 O k-ésimo menor principal líder de uma matriz nn é o determinante da matriz kk obtida eliminando as últimas n k linhas e colunas da matriz. Se H k (,,..., n ) representar o k-ésimo menor principal líder da matriz Hessiana avaliada no ponto (,,..., n ), da função: f(, y) = 3 + y + y Os menores principais líderes serão: H (, y) = 6 H (, y) =.6 -. = - 8
9 Suponha f(,,..., n ) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em cada ponto (,,..., n ) S. Então f é uma função convea emsse e somente se para cada S, todos os menores principais de H são não negativos. Mostre que: f(, y) = + y + y É uma função convea em S = R. Tem-se que: H(, y) = Os primeiros menores principais do Hessiano são as entradas da diagonal principal (ambas igual a 0). O segundo menor principal é. -. = 0 0. Assim para qualquer ponto todos os menores principais de H são não negativos. Portanto f(, y) é convea. Suponha que f(,,..., n ) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em cada ponto (,,..., n ) S. Então f é uma função côncava em S se e somente se para cada S e k =,,..., n, todos os menores principais não nulos tem o mesmo sinal que (-) k. Mostre que: f(, y) = - y y É uma função côncava em S = R. Tem-se que: H(, y) = Os primeiros menores principais do Hessiano são as entradas da diagonal (- e -) que são ambos negativos e (-) k = (-) = -. O segundo menor principal é o determinante de H que é igual a -.- (-).(-) = 7 > 0 e (-) k = (-) =. Assim f(, y) é côncava. 9
10 Mostre que a função: f(, y) = -3y + y Não é côncava e nem convea. Tem-se que: H(, y) = 3 3 Os primeiros menores principais do Hessiano são e ambos positivos assim f não pode ser côncava. O segundo menor principal é o determinante de H(, y) que é igual:. (-3).(-3) = - < 0. Assim f(, y) não pode ser convea. Desse modo essa função não é nem côncava e nem convea Verifique se a função: Tem-se que: H(, y,z) = f(, y, z) = + y + z y z yz, é côncava, convea ou nem côncava e nem convea. Eliminando linhas (e colunas) e obtém-se o primeiro menor principal de primeira ordem > 0. Eliminado as linhas (e colunas) e 3 do Hessiano obtém-se o segundo menor principal de primeira ordem que é > 0. Eliminado as linhas (e colunas) e 3 do Hessiano obtém-se o terceiro menor principal de primeira ordem que é > 0. Eliminando a coluna e linha do Hessiano encontra-se o primeiro menor principal de segunda ordem: =. = 7 > 0 Eliminando a linha e a coluna obtémse o segundo menor principal de segunda ordem: =. = 7 > 0 0
11 Eliminando a linha 3 e a coluna 3 obtém-se o terceiro menor principal de segunda ordem: =. = 3 > 0 O menor principal de terceira ordem é o próprio determinante da matriz Hessiana: = = [. ( ).( )] ( )[( ). ( )( )] + + ( )[( )( ).( )] = 5 3 = 6 > 0 Como para todos os pontos (,, 3 ) todos os menores principais do Hessiano são não negativos, tem-se que a f(, y, z) é uma função convea em R 3. BERTSEKAS, Dimitri P. Nonlinear Programming. Belmont (MA): Athena Scientific, 995. HILLIER, Frederick S., LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional. São Paulo: McGraw-Hill, p. SALVENDRY, Gavriel (Editor). Handbook of Industrial Engineering. New York (NY): John Wiley & Sons/Institute of Industrial Engineers p. WISTON, Wayne L. Operations Research: Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont (CA): Dubury Press, 99. viali@pucrs.br
Afiliação. Professor Titular do Departamento de Estatística Faculdade de Matemática da PUCRS
Lorí Viali Licenciatura Plena em Matemática UFRGS Bacharelado em Matemática UFRGS Especialização em Formação de Pesquisadores PUCRS Mestrado em Engenharia de Produção (PO) UFSC Doutorado Sanduíche na USF
Leia maisPré-requisitos Algebra Linear. Lorí Viali. Afiliação
Lorí Viali Licenciatura Plena em Matemática UFRGS Bacharelado em Matemática UFRGS Especialização em Formação de Pesquisadores PUCRS Mestrado em Engenharia de Produção (PO) UFSC Doutorado Sanduíche na USF
Leia maisCurso: Engenharia de Produção
Resolver o seguinte PPNL Ma (min) f( 1,,..., n ) s. a ( 1,,..., n ) R n Admite-se que as derivadas parciais de primeira e segunda ordens eistem e que são contínuas em todos os pontos. Sejam f() i As derivadas
Leia maisA otimização é o processo de
A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um problema. Eiste um conjunto particular de problemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento de otimização.
Leia maisProf. Lorí Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatística
f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores
Leia maisFaculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
Programação Não Linear Aula 7: Programação Não-Linear - Funções de Várias variáveis Vector Gradiente; Matriz Hessiana; Conveidade de Funções e de Conjuntos; Condições óptimas de funções irrestritas; Método
Leia maisMÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE8 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR E-mail: ivo.junior@uj.edu.br Aula Número: 9 Disciplina Métodos de Otimização
Leia maisProf. Lorí Viali, Dr. PUCRS FAMAT: Departamento de Estatística. Curso: Engenharia de Produção
Considere a função f(x). Para algum x a f (x) pode não existir. Suponha que se queira resolver o seguinte PPNL: Max f(x) s. a a x b Pode ser que f (x) não exista ou que seja difícil resolver a equação
Leia maisConsidere a função f(x). Para algum x a f (x) pode não existir. Suponha que. Max f(x) s. a a x b
Considere a função f(x). Para algum x a f (x) pode não existir. Suponha que se queira resolver o seguinte PPNL: Max f(x) s. a a x b Pode ser que f (x) não exista ou que seja difícil resolver a equação
Leia maisR é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).
f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores
Leia maisProgramação Linear M É T O D O S : E S T A T Í S T I C A E M A T E M Á T I C A A P L I C A D A S D e 1 1 d e m a r ç o a 2 9 d e a b r i l d e
Programação Linear A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um problema. Existe um conjunto particular de problemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento
Leia maisDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Otimização: Algoritmos e Aplicações na Engenharia Mecânica ENG1786 & MEC2403 Ivan Menezes 2018-2 1 EMENTA 1. Introdução 1.1 Definições Básicas 1.2 Classificação dos
Leia maisMATEMÁTICA MÓDULO 11 DETERMINANTES. Professor Matheus Secco
MATEMÁTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 11 DETERMINANTES INTRODUÇÃO Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL Definições e Teoremas Básicos. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina
PESQUISA OPERACIONAL Definições e Teoremas ásicos Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina Conceitos Solução Viável Solução Não Viável Região Viável Solução ásica Solução ásica Viável Solução
Leia maisDeterminantes e Matrizes Inversas
Determinante e Matrizes Inversas FFCLRP - USP Departamento de Computação e Matemática 10 de março de 2019 e Matrizes Inversas 1 Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes Propriedades
Leia maisProgramação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr.
Programação Linear São problemas complexos, muitas vezes de difícil solução e que envolvem significativas reduções de custos, melhorias de tempos de processos, ou uma melhor alocação de recursos em atividades.
Leia mais1 Determinante. det(a) = ρ. ( 1) J a 1j1 a 2j2... a njn. Exemplo 1.6. Determinante de 3a. ordem: a 11 a 12 a 13. a 21 a 22 a 23.
1 Determinante Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo
Leia mais1 NOTAS DE AULA FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos
FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 NOTAS DE AULA Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos (i) Matrizes Reais Uma matriz real é o seguinte arranjo de números reais : a 11 a 12 a 13 a 1m a 21
Leia maisNotas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
FATEC Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof Dr Ânderson Da Silva Vieira 2017 Sumário Introdução 2 1 Matrizes 3 11 Introdução 3 12 Tipos especiais de Matrizes 3 13 Operações
Leia maisÁLGEBRA LINEAR - MAT0024
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR - MAT0024 10 a Lista de exercícios
Leia maisMétodos numéricos para soluções de sistemas lineares
Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares FACIP/UFU 1 de Junho de 2017 (FACIP/UFU) Métodos numéricos para soluções de sistemas lineares 1 de Junho de 2017 1 / 7 Motivação Os métodos numéricos
Leia maisOtimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana
Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Forma geral de um problema Em vários problemas que formulamos, obtivemos: Um objetivo de otimização
Leia maisMétodos Matemáticos II
Sumário Métodos Matemáticos II Nuno Bastos Licenciatura em Tecnologias e Design Multimédia Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gabinete 4 nbastos@mat.estv.ipv.pt http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/nbastos.
Leia maisVetores e Geometria Analítica
Vetores e Geometria Analítica ECT2102 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2016 AVISO O propósito fundamental destes slides é servir como um guia para as aulas. Portanto eles não devem ser
Leia maisÁlgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP
Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocabaunespbr Matrizes Inversas 1 Matriz Inversa e Propriedades 2 Cálculo da matriz
Leia maisProblema de designação
Departamento de Engenharia de Produção UFPR 48 Problema de designação Imagine, que em uma gráfica eiste uma única máquina e um único operador apto a operá-la. Como você empregaria o trabalhador? Sua resposta
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: determinantes e sistemas 13 e 27/06/14 Determinantes Def.: Seja M uma matriz quadrada de elementos reais, de
Leia maisMÉTODO SIMPLEX. Prof. MSc. Marcos dos Santos
MÉTODO SIMPLEX OBJETIVO DA AULA Determinar a Solução Ótima de um PPL por meio do Método Simple, especialmente adequado para problemas com mais de duas V.D. SUMÁRIO Overview sobre PO; Métodos Algébricos;
Leia maisÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT003 10 a Lista de
Leia maisMatrizes - Matemática II /05 1. Matrizes
Matrizes - Matemática II - 00/0 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n a uma função A de nida no conjunto f(i; j) i f1; ; ; mg e j f1; ; ; ngg e com valores
Leia maisConceitos e Teoremas. Tecnologia da Decisão I TP065. Profª Mariana
Conceitos e Teoremas Tecnologia da Decisão I TP Profª Mariana Restrições de um PL: D= = -=J G= =I =H E=- / /= / /=A 9/ =C . ma Z s.a c a a m c a n n a mn n n n n b b m a A am a n a mn b b b m c c c n n
Leia maisdeterminantes rita simões departamento de matemática - ua
determinantes rita simões (ritasimoes@ua.pt) departamento de matemática - ua 204-205 determinante de uma matriz sejam l,..., l n as linhas de uma matriz do tipo n n; para cada n N, existe uma única função
Leia maisNotas de Aula. Gustavo Henrique Silva Sarturi. i Z (1 i m) a j1 a j2
Notas de Aula Gustavo Henrique Silva Sarturi Matemática B - Em Ação gustavo.sarturi@ufpr.br 1 Matrizes Definição 1.1. Uma matriz A m n é um arranjo retangular de m n números reais (ou complexos) organizados
Leia maisPara uma matriz de ordem 2 podemos usar o resultado obtido em um dos exercícios da aula 41.
Resoluções das atividades adicionais Capítulo Grupo A a) L L L L L L L Logo A Para uma matriz de ordem podemos usar o resultado obtido em um dos eercícios da aula 4 a b Se A c d, então A d b ad bc c a
Leia maisProblemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade
Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade 24-25 Junho 2014 Metodologias de apoio à decisão nas Ciências Agrárias Eemplo: Formulação Um agricultor pretende cultivar 80 ha de terra
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica
Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica
Leia maisProgramação Não Linear Otimização Univariada E Multivariada Sem Restrições
Programação Não Linear Otimização Univariada E Multivariada Sem Restrições A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um prolema. Eiste um conjunto particular de prolemas
Leia maisLaboratório de Simulação Matemática. Parte 6 2
Matemática - RC/UFG Laboratório de Simulação Matemática Parte 6 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2017 2 [Cap. 6] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning, 2010. Thiago
Leia maisGeometria anaĺıtica e álgebra linear
Geometria anaĺıtica e álgebra linear Francisco Dutenhefner Departamento de Matematica ICEx UFMG 22/08/13 1 / 24 Determinante: teorema principal Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear
Leia maisOtimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana
Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Teoria da Otimização Linear Transformação de problemas na forma padrão a a b i1 1 in n i a a b
Leia mais3. Calcule o determinante das matrizes abaixo.
Gabarito - Lista de Exercícios # Professor Pedro Hemsley Calcule o determinante das matrizes x abaixo deta = det = ( ) = detb = det = = 9 detc = det = 9 8 ( ) = 8 detd = det = = 0 0 dete = det = 0 ( 9)
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 4 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 27 Programa 1 Matrizes 2 Sistemas de Equações Lineares
Leia maisMatrizes e sistemas de equações algébricas lineares
Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)
Leia maisMatemática- 2008/ Se possível, dê exemplos de: (no caso de não ser possível explique porquê)
Matemática- 00/09. Se possível, dê exemplos de (no caso de não ser possível explique porquê) (a) Uma matriz do tipo ; cujos elementos principais sejam 0. (b) Uma matriz do tipo ; cujo elemento na posição
Leia maisProfs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2
Leia maisGuia-1. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn
Guia-1 Revisão de Matrizes, Determinantes, Vetores e Sistemas Lineares SMA00 - Complementos de Geometria e Vetores Estagiária PAE: Ingrid Sofia Meza Sarmiento 1 Introdução Este texto cobre o material sobre
Leia maisÁlgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017
º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz
Leia maisQUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL 2 2., calcule a derivada dw dt t = 1.
QUESTÕES ANPEC CÁLCULO A UMA VARIÁVEL QUESTÃO Se ( ) a, e a, eamine as seguintes afirmações: () A função é crescente () A função d/d é crescente () lim ( ) () lim ( ) ( ) ( y) y Se, y, então (4) QUESTÃO
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 21 de
Leia maisA matriz das incógnitas é uma matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema.
MATEMÁTICA MÓDULO 1 SISTEMA LINEAR Um sistema linear de m equações a n incógnitas é um conjunto de m (m 1) equações lineares a n incógnitas e pode ser escrito como segue: a a a b a a a b 11 1 1 1n n 1
Leia maisMATRIZES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga
MATRIZES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Definição: chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m xn elementos dispostos em m linhas e n colunas. a a a a a a a a
Leia maisMP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais
MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais Seção 2.1: Álgebra Linear e Matrizes Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica Instituto Tecnológico de Aeronáutica davists@ita.br São José
Leia maisModelagem Computacional. Parte 6 2
Mestrado em Modelagem e Otimização - RC/UFG Modelagem Computacional Parte 6 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2016 2 [Cap. 6 e 7] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning,
Leia maisOtimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana
Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Dualidade A eoria da Dualidade é um dos mais importantes tópicos da Programação Linear (PL). Estudos
Leia mais1, , ,
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão Licenciatura em Informática Fundamentos de Geometria Analítica e Álgebra Linear Profª Sheila R. Oro Este texto
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 1 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 47 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática
Leia maisUniversidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM112 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 81, 82 e 84 Lista 1 - Tiago de Oliveira
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM2 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 8, 82 e 84 Lista - Tiago de Oliveira Reveja a teoria e os exercícios feitos em sala. 2 3 2 0. Sejam
Leia maisPonto 5 Optimização em R n
Cálculo, Optimização Abril 009 Ponto Optimização em R n Os conceitos básicos Parte Cálculo, Optimização Abril 009 Optimização para economistas quer dizer, grosso modo, encontrar máimos e mínimos de certas
Leia maisUNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL REGIME NOCTURNO - º SEMESTRE - º ANO - 7 / 8 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA º FREQUÊNCIA de Janeiro de 8 Duração:
Leia maisTestes e Sebentas. Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes)
Testes e Sebentas Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes) Índice: 1. Matrizes 1.1. Igualdade de matrizes 3 1.2. Transposta de uma matriz 3 1.3. Multiplicação por um escalar 3
Leia maisÁlgebra Linear Semana 04
Álgebra Linear Semana 04 Diego Marcon 17 de Abril de 2017 Conteúdo 1 Produto de matrizes 1 11 Exemplos 2 12 Uma interpretação para resolução de sistemas lineares 3 2 Matriz transposta 4 3 Matriz inversa
Leia mais2. Calcule o determinante das matrizes 3x3 abaixo Calcule o determinante das matrizes abaixo. 2 =1 ( 1) 3 3=
Gabarito - Lista de Exercícios # - Métodos Quantitativos em Economia - FCE-UERJ Professor Pedro Hemsley - 0.. Calcule o determinante das matrizes x abaixo. deta = det = ( ) = detb = det = = detc = det
Leia maisRELEMBRANDO... CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA:
RELEMBRANDO... CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA: determinantes Se o determinante da matriz é diferente de zero existe a inversa, logo: det M 0 M -1 1 =. M det M Quem é M? É a matriz adjunta, que é a matriz transposta
Leia maisALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE / Matrizes 1. Matrizes
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma aplicação A : f1; ; :::;
Leia maisMA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto. LISTA 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 1 - Matrizes e Sistemas
Leia maisDeterminantes. det A 6 ( 4) a a a. a a a. det A a a a. a a a
Determinantes 1 Introdução Até agora nós estudamos vários tipos de matrizes e suas mais diversas ordens Em especial, vimos a matriz quadrada, que tinha o mesmo número de linhas e colunas Toda matriz quadrada
Leia maisÁlgebra Linear. Professor Fabrício Oliveira. 25 de agosto de Universidade Federal Rural do Semiárido
Álgebra Linear Professor Fabrício Oliveira Universidade Federal Rural do Semiárido 25 de agosto de 2010 Determinantes De maneira não formal Não daremos aqui a definição matematicamente correta. Determinantes
Leia maisCEM Centro De Estudos Matemáticos
1. (Udesc ) Sejam A = (a ij ) e B = (b ij ) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que: a ij = i + j b ij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão geométrica de
Leia maisé encontrado no cruzamento da linha i com a coluna j, ou seja, o primeiro índice se refere à linha e o segundo à coluna.
Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal De Santa Catarina Campus São José Professora: ELENIRA OLIVEIRA VILELA COMPONENTE CURRICULAR: ALG ÁLG. LINEAR MATRIZES
Leia maisb) 4x 1 6x 2 = 1 Questão 2: Considere as seguintes matrizes: 3y 6 y z condições, calcule x, y e z.
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 1 - Matrizes e Sistemas
Leia maisDeterminante de uma matriz quadrada
Determinante de uma matriz quadrada A toda matriz quadrada A está associado um número real, chamado determinante de A. Ele é obtido por meio de certas operações com os elementos da matriz. O determinante
Leia maisMat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter. (Gabriella Teles)
7 PC Sampaio Ale Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter Semana (Gabriella Teles) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os
Leia maisProfessor: Rodrigo A. Scarpel
Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Pesquisa Operacional Durante a Segunda Guerra Mundial, os líderes militares solicitaram que cientistas estudassem problemas como posicionamento
Leia maisAnálise de Regressão EST036
Análise de Regressão EST036 Michel Helcias Montoril Instituto de Ciências Exatas Universidade Federal de Juiz de Fora Tópicos matriciais; Derivação de vetores e matrizes. Tópicos matriciais Tipos especiais
Leia maisInterbits SuperPro Web
1 (Ita 018) Uma progressão aritmética (a 1, a,, a n) satisfaz a propriedade: para cada n, a soma da progressão é igual a n 5n Nessas condições, o determinante da matriz a1 a a a4 a5 a 6 a a a 7 8 9 a)
Leia maisLista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares) b) B 4 2, tal que b ij =
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT Geometria Analítica e Álgebra Linear (MA71B) Profa. Dra. Nara Bobko Lista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares)
Leia maisaplicando a regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de terceira ordem, temos:
Problema 1 Calcular a matriz inversa da matriz A = 0 1 Resolução Bom, para se resolver exercícios que envolvem o cálculo de matrizes inversas é necessário partir de algumas definições básicas. Assim, há
Leia maisMatrizes e Linearidade
Matrizes e Linearidade 1. Revisitando Matrizes 1.1. Traço, Simetria, Determinante 1.. Inversa. Sistema de Equações Lineares. Equação Característica.1. Autovalor & Autovetor 4. Polinômios Coprimos 5. Função
Leia maisNeste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em
Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em tantos detalhes para os concursos desejados. Assim,
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: sequências e matrizes 05 e 06/06/14 Sequências Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do
Leia maisLista de Exercícios 05 Álgebra Matricial
Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial - 016.1 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + y + 3 3 w (a) 3.X = (b) = 6 9 4 0 6 z. Uma rede de postos de combustíveis
Leia maisMAP Métodos Numéricos e Aplicações Escola Politécnica 1 Semestre de 2017 EPREC - Entrega em 27 de julho de 2017
1 Preliminares MAP3121 - Métodos Numéricos e Aplicações Escola Politécnica 1 Semestre de 2017 EPREC - Entrega em 27 de julho de 2017 A decomposição de Cholesky aplicada a Finanças O exercício-programa
Leia maisAlgoritmo Simplex para Programação Linear I
EA Planejamento e Análise de Sistemas de Produção Algoritmo Simple para Programação Linear I DCA-FEEC-Unicamp Modelo de Programação Linear ma c ( n ) s. a. A b A ( m n) b ( m ) c ( n) P ( R n A b} Poliedro
Leia maisUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROF.: MARCELO SILVA.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROF.: MARCELO SILVA Determinantes Introdução Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número
Leia mais1.3 Matrizes inversas ] [ 0 1] = [ ( 1) ( 1) ] = [1 0
1.3 Matrizes inversas Definição: Seja A uma matriz de ordem k n, a matriz B de ordem n k é uma inversa à direita de A, se AB = I. A Matriz C de ordem n k é uma inversa à esquerda de A, se CA = I. Exemplo
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL
PESQUISA OPERACIONAL Uma breve introdução. Prof. Cleber Almeida de Oliveira Apostila para auxiliar os estudos da disciplina de Pesquisa Operacional por meio da compilação de diversas fontes. Esta apostila
Leia maisProgramação Linear (PL)
Programação Linear (PL) Prof. Paulo Cesar F. De Oliveira, BSc, PhD 07/08/15 P C F de Oliveira 2014 1 Características Técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em PO Técnica de solução programável
Leia maisMatriz, Sistema Linear e Determinante
Matriz, Sistema Linear e Determinante 1.0 Sistema de Equações Lineares Equação linear de n variáveis x 1, x 2,..., x n é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, onde
Leia maisDeterminantes. det A = a 11. Se A = a11 a 12 a 21 a 22. é uma matriz 2 2, então. det A = a 11 a 22 a 12 a 21. Exemplo 1. det 3 4. = 1; det 3 4 = 0.
Determinantes Definição Definição Se A = [a 11 é uma matriz 1 1, então Se é uma matriz, então Exemplo 1 [ 1 3 4 A = A = a 11 [ a11 a 1 a 1 a A = a 11 a a 1 a 1 [ 1 0 = ; 0 1 [ 6 8 = 1; 3 4 = 0 Para definir
Leia maisHewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo...... Exemplo...... TEOREMA DE LAPLACE... I) COFATOR... Exemplo... II)
Leia maisÁlgebra Linear I - Lista 10. Transfromações inversas. Matriz inversa. Respostas. c d a c. c d A = g h. e C = a c
Álgebra Linear I - Lista 0 Transfromações inversas. Matriz inversa Respostas Estude se existe uma matriz A tal que ( ( a b b d A = c d a c para todos os valores de a, b, c e d. Resposta: Seja e dadas B
Leia mais1 Matrizes e Determinantes
1 Matrizes e Determinantes 11 Introdução Definição (Matriz): Uma matriz A m n é um arranjo retangular de mn elementos distribuídos em m linhas horizontais e n colunas verticais: a 11 a 12 a 1j a 1n a 21
Leia maisn. 1 Matrizes Cayley (1858) As matrizes surgiram para Cayley ligadas às transformações lineares do tipo:
n. Matrizes Foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes, definindo a ideia de operarmos as matrizes como na Álgebra. Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes.
Leia maisAUTOVALORES E AUTOVETORES
AUTOVALORES E AUTOVETORES Prof a Simone Aparecida Miloca Definição 1 Uma tranformação linear T : V V é chamada de operador linear. Definição Seja T : V V um operador linear. existirem vetores não-nulos
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes
Álgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR - 2014 Importante Material desenvolvido a partir dos livros
Leia maisSISTEMAS LINEARES. Solução de um sistema linear: Dizemos que a sequência ou ênupla ordenada de números reais
SISTEMAS LINEARES Definições gerais Equação linear: Chamamos de equação linear, nas incógnitas x 1, x 2,..., x n, toda equação do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b. Os números a 11,
Leia maisHewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo...... Exemplo...... TEOREMA DE LAPLACE... I) COFATOR... Exemplo... II)
Leia mais