Análise de Regressão EST036

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1 Análise de Regressão EST036 Michel Helcias Montoril Instituto de Ciências Exatas Universidade Federal de Juiz de Fora Tópicos matriciais; Derivação de vetores e matrizes.

2 Tópicos matriciais

3 Tipos especiais de matrizes Matriz quadrada Uma matriz A com dimensão n n é chamada matriz quadrada de ordem n: a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a n1 a n2... a nn = {a ij }, i, j = 1,..., n. Matriz simétrica Uma matriz A é simétrica se A = A : { } {a ij } = aij = {a ji }.

4 Tipos especiais de matrizes Matriz triangular superior Uma matriz A é chamada triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem nulos: a 11 a a 1n 0 a a 2n A = a nn Matriz triangular inferior Uma matriz A é chamada triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal forem nulos: a a 21 a A = a n1 a n2... a nn

5 Tipos especiais de matrizes Matriz triangular Uma matriz A é chamada triangular se ela for triangular superior ou triangular inferior. Se a matriz A for triangular superior (inferior), então A será triangular inferior (superior); A matriz resultante da soma ou do produto de matrizes triangulares superiores (inferiores) será triangular superior (inferior). Matriz idempotente Uma matriz A é chamada idempotente se AA = A 2 = A.

6 Submatrizes e matrizes particionadas Submatriz Toda e qualquer matriz obtida da eliminação de linhas e/ou colunas de outra matriz. Exemplo Considere a matriz A = Logo, uma possível submatriz de A será ( )

7 Submatrizes e matrizes particionadas Matriz particionada Exemplo em que A 11 = A 11 A A 1s A 21 A A 2s A = A p1 A p2... A ps ( ) A = A11 A = 12, A A 22 ( 2 3 ) A 12 = ( ) 5 1 A 21 = ( ) A 22 = ( 8 ).

8 Posto de uma matriz O posto de uma matriz A, denotado por r(a), corresponde ao número de colunas (linhas) linearmente independentes de A, i.e., a dimensão do espaço-coluna (espaço-linha) de A; Sejam A, B e C matrizes de dimensões m n, n q e q t, respectivamente. Então: r(a) = r(a ); r(ab) min{r(a), r(b)}; Se r(a) = n e r(b) = q < n, então r(ab) = q; r(ab) + r(bc) r(b) + r(abc).

9 Posto de uma matriz Matriz de posto completo Uma matriz A de dimensão m n tem posto completo quando r(a) = min(m, n). Matriz não singular Uma matriz quadrada A, de ordem n, é dita ser não singular quando r(a) = n.

10 Determinante de uma matriz O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, será A = n a ik ( 1) i+k A ik ; k=1 A ik é uma submatriz de A, sem a i-ésima linha e a k-ésima coluna; A ik é chamado menor de A; A ii é chamado menor principal de A; ( 1) i+k A ik é denominado cofator de a ik.

11 Alguns resultados úteis A 0 se, e somente se, a matriz A for de posto completo. Quando A 0, A será não singular; A = A ; ca = c n A, c R; Se A for triangular, então A = n i=1 a ii; Se A e B forem duas matrizes quadradas de mesma ordem, então AB = BA = A B ; Para A matriz m n e B matriz n m, temos I m + AB = I n + BA.

12 Inversão de matrizes Definição A matriz inversa (se houver) de uma matriz quadrada A, de ordem n, será uma matriz de ordem n, denotada por A 1, tal que AA 1 = A 1 A = I n. Teorema Uma matriz A é inversível (ou invertível) e sua inversa é única se, e somente se, ela for não singular.

13 Alguns resultados úteis Suponha que todas as inversas necessárias existam. A 1 = A 1 ; Se A 0, então (A 1 ) = (A ) 1 ; (ca) 1 = c 1 A 1 ; (AB) 1 = B 1 A 1 ; Para A, B e C matrizes com dimensões k k, k n e n k, respectivamente, A + BC = A I + A 1 BC ; (Identidade matricial de Woodbury) Para A, B, C e D matrizes com dimensões m m, m n, n n e n m, respectivamente, (A + BCD) 1 = A 1 A 1 B(C 1 + DA 1 B) 1 DA 1 ;

14 Alguns resultados úteis Para J n uma matriz quadrada, de ordem n, com todos os elementos iguais a 1, a, b > 0, (ai n + bj n ) 1 = 1 ( I n b ) a nb + a J n ; Para A e D quadradas A B { A D CA 1 C D = B, D A BD 1 C, se A for não singular; se D for não singular; Se A e D forem não singulares, D CA 1 B = D A A BD 1 C

15 Alguns resultados úteis Para A e D quadradas em que ( ) 1 ( ) A B E F B = D F, G G = (D B A 1 B) 1, F = A 1 BG, E = A 1 F B A 1.

16 Traço de uma matriz Definição O traço de uma matriz quadrada de ordem n corresponde à soma dos elementos de sua diagonal principal: tr(a) = n a ii. i=1 Exemplo A = Nesse caso, tr(a) = = 3.

17 Alguns resultados úteis tr(i n ) = n; tr(aa ± bb) = atr(a) ± btr(b); tr(ab) = tr(ba); tr(abc) = tr(cab) = tr(bca); Se A for idempotente, tr(a) = r(a); tr(a ) = tr(a); tr(aa ) = tr(a A) = n i=1 n j=1 a2 ij ; tr(aa ) = a a = n i=1 a2 i.

18 Derivação de vetores e matrizes

19 Principais funções a serem abordadas Escalares do tipo f : R p R; Vetores do tipo f : R p R n, por exemplo: f 1 (x) f 2 (x) f (x) =., f n (x) em que f i : R p R, i = 1,..., n; Matrizes do tipo F : R p R n R m F (x) = [ ] f 1 (x) f 2 (x)... f m(x) = f 11 (x) f 12 (x)... f 1m (x) f 21 (x) f 22 (x)... f 2m (x) f n1 (x) f n2 (x)... f nm(x)

20 Alguns exemplos Escalares em que a = (a 1,..., a p ) ; Vetores Matrizes F (x) = [ f 1 (x) f (x) = a x = n a i x i, i=1 f 1 (x) x 1 + x 2 f (x) = f 2 (x) = f 3 (x) e x 1x 2 x 1 x 2 ; ] f 2 (x) = f 11 (x) f 21 (x) f 31 (x) f 12 (x) x 1 + x 2 x 1 f 22 (x) = x 1 x 2 x 1 2x 2. f 32 (x) x 1 x 2 x 1 x2 2

21 f (x) = (4x 1, 8x 2, 10x 3 ). Vetor gradiente Definição Seja f : R p R uma função do vetor x de ordem p 1. A derivada de primeira ordem, ou vetor gradiente, de f (x) corresponde ao vetor de dimensão p 1 dado por f (x) = f (x) x ( f (x) =, x 1 f (x),..., x 2 ) f (x). x p Pode-se, ainda, definir f (x) = f (x) x = ( f (x), x 1 f (x),..., x 2 ) f (x). x p Exemplo Seja x = (x 1, x 2, x 3 ) e f (x) = 2x x x 3 2. O vetor gradiente de f é dado por

22 Matriz Hessiana Definição Seja f : R p R uma função do vetor x de ordem p 1. A matriz de derivadas segundas, ou matriz Hessiana, de f (x) corresponde à matriz de dimensão p p dada por 2 f (x) x1 2 2 f (x) 2 f (x) = 2 f (x) x x = x 2 x 1. 2 f (x) x p x 1 2 f (x) x 1 x f (x)... x f (x) x p x f (x) x 1 x p 2 f (x) x 2 x p 2 f (x) xp 2 Exemplo Seja x = (x 1, x 2, x 3) dada por e f (x) = 2x x x 2 3. A matriz Hessiana de f é f (x) =

23 Matriz Jacobiana Definição Seja f : R p R n uma função do tipo f (x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)), em que x é um vetor p 1. A matriz Jacobiana de f (x) corresponde à matriz de dimensão n p dada por f 1(x) x 1 f 2(x) f (x) f (x) = x = x 1. f n(x) x 1 f 1(x) x 2... f 2(x) x f n(x) x f 1(x) x p f 2(x) x p f n(x) x p Exemplo Seja x = (x 1, x 2, ) e f (x) = (x 1 + x 2, e x 1x 2, x 1x 2). A matriz Jacobiana de f é dada por 1 1 f (x) f (x) = x = x 2e x 1x 2 x 1e x 1x 2. x 2 x 1

24 Outras generalizações Regra do produto Se f 1 (x) e f 2 (x) forem duas funções diferenciáveis de dimensão n 1, então x f 1 (x)f 2 (x) = f 1 (x) x f 2(x) + f 2 (x) x f 1(x). Regra da cadeia Se g(z) for uma função do tipo g : R q R p e f (x) for uma função do tipo f : R p R n, então z f (g(z)) = ( x f (x) x =g (z ) ) ( ) z g(z).

25 Alguns resultados úteis x a x = a; x x x = 2x; x x Ax = (A + A )x (= 2Ax, se A for simétrica); Se A e B forem simétricas, x (x Ax)/(x Bx) = 2Ax x Bx x Ax (x Bx) 2 2Bx; Se A for simétrica, x (y g(x)) A(y g(x)) = 2D(x) A(y g(x)), em que D(x) = x g(x);

26 Alguns resultados úteis x tr(a(x)b(x)) = x tr(a(x)b(z)) + z=x x tr(a(z)b(x)) ; z=x X x ij = C ij, em que C ij é o cofator de x ij ; log X x ij = tr(x 1 ( X / x ij )); 1 X = X 1 ( X / x ij )X 1 ; x ij tr(x ) x ij ( X = tr x ij ) ;

27 Alguns resultados úteis X AX 1 B = (X 1 BAX 1 ) ; X X = X (X 1 ) T ; log X X = 1 X X X = (X 1 ) T ; tr(ax ) X = A T ; AX X = AX (AX ) 1 A; etc, etc, etc...

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