Matrizes - Matemática II /05 1. Matrizes

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Marcela Álvaro Peixoto
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1 Matrizes - Matemática II - 00/0 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n a uma função A de nida no conjunto f(i; j) i f1; ; ; mg e j f1; ; ; ngg e com valores em R. Uma matriz A é usualmente representada como um quadro, numa das formas a 11 a 1 a 1 a 1n a 1 a a a n A = a 1 a a a n a m1 a m a m a mn A = [a ij ] i=1;;m onde a ij = A (i; j). A = [a ij ] mn onde a ij = A (i; j). Os elementos a ij dizem-se as entradas da matriz; o elemento a ij está posicionado na linha i (denominado índice de linha) e na coluna j (denominado índice de coluna) da matriz A Os elementos com o mesmo índice de linha e coluna, isto é, os elementos a ii ; i f1; ; ; ng dizem-se entradas principais da matriz; Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e as entradas correspondentes forem iguais. Se m = n a matriz diz-se quadrada, dizendo se nesse caso que a matriz é de ordem n. Matrizes particulares Se m = 1 a matriz diz-se uma matriz linha. Se n = 1 a matriz diz-se uma matriz coluna. Se A = [a ij ] i=1;;n é uma matriz quadrada, então a diagonal principal de A é constituída pelas suas entradas principais. a matriz diz-se triangular superior se a ij = 0; sempre que i > j; a matriz diz-se triangular inferior se a ij = 0; sempre que i < j; a matriz diz-se diagonal se é triangular superior e inferior, ou seja se a ij = 0; sempre que i = j;

2 Matrizes - Matemática II - 00/0 Matriz nula de tipo m n é a matriz O mn = [o ij ] i=1;;m ; em que o ij = 0, ou seja, O = mn Matriz identidade de ordem n é a matriz I n = [a ij ] i=1;;n em que a ij = ou seja, I n = nn A simétrica da matriz A = [a ij ] i=1;;m Se k é um número real, então a matriz ( 1 se i = j 0 se i = j ; é a matriz A = [b ij ] i=1;;m ; onde b ij = a ij. k k k 0 diz-se uma matriz k escalar. Uma matriz escalar é uma matriz diagonal em que todas as entradas principais são iguais. A matriz nula de ordem n e a matriz identidade de ordem n são casos particulares de matrizes escalares, com k = 0 no caso da matriz nula e k = 1 no caso da matriz identidade. nn Exemplos 1. Matriz triangular superior. Matriz triangular inferior. Matriz diagonal

3 Matrizes - Matemática II - 00/0. Matriz escalar. Matriz linha. Matriz coluna h i Operações com matrizes Transposição Se A = [a ij ] i=1;;m é uma matriz de tipo mn; a sua transposta é a matriz A > = [b ij ] i=1;;n j=1;;m de tipo n m tal que b ij = a ji Uma matriz quadrada diz-se simétrica se A > = A. Exemplos 1. Se A =. A matriz A = 1 0, então A > = é simétrica pois A = A > Soma Se A = [a ij ] i=1;;m e B = [b ij ] i=1;;m são matrizes de tipo m n, de ne-se a matriz A + B = [c ij ] i=1;;m do mesmo tipo, onde c ij = a ij + b ij Exemplo Se A = 1 0 e B = 1 1 então A + B =

4 Matrizes - Matemática II - 00/0 Produto escalar Se A = [a ij ] i=1;;m é uma matriz de tipo m n e é um número real, de ne-se a matriz A = [c ij ] i=1;;m do mesmo tipo, onde c ij = a ij Exemplo Se A = 1 0 então A = 1 0 = 0 1 Produto Se A = [a ij ] i=1;;m j=1;;q de ne-se a matriz é uma matriz de tipo m q e B = [b ij ] i=1;q é uma matriz de tipo q n, A B = [c ij ] i=1;;m de tipo m n, onde c ij = qx a ik b kj k=1 Exemplo 1. Se A =. Se A = e B = e B = ; então AB = 1 então AB = e BA = 8 1 Observações 1. No produto de matrizes omite-se habitualmente o sinal ; designando-se o produto da matriz A pela matriz B por AB. Sejam Cj B a coluna j da matriz B; L A i a linha i da matriz A, Cj AB a coluna j da matriz AB e L AB i a linha i da matriz AB. Tem-se (i) AC B j = C AB j (ii) L A i B = L AB i. O produto de matrizes não goza da propriedade comutativa. Dadas duas matrizes A e B, em geral não é possível efectuar os produtos AB e BA Quando as duas matrizes são quadradas, da mesma ordem, é possível efectuar AB e BA; mas também não se veri ca a comutatividade (a não ser em alguns casos particulares), como se pode veri car com o exemplo acima.

5 Matrizes - Matemática II - 00/0 Propriedades Soma, produto escalar e transposição Se A; B e C são matrizes de tipo mn, O é a matriz nula do mesmo tipo e ; são números reais, veri cam-se 1. A + B = B + A (comutatividade). (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade). A + O = A (elemento neutro). A + ( A) = O (existência de simétricos). (A + B) = A + B. ( + ) A = A + A. (A) = () A 8. 1A = A 9. O = O 10. A T T = A 11. (A + B) T = A T + B T 1. (A) T = A T Produto Se A; B e C são matrizes, O é a matriz nula e é um número real então, sempre que os produtos estejam de nidos, veri cam-se 1. (AB) C = A (BC). AO = O. AI n = A = I n A. (A + B) C = AC + BC e A (B + C) = AB + AC. (AB) = (A) B = A (B). (AB) T = B T A T

6 Matrizes - Matemática II - 00/0. Se A e B são matrizes diagonais, AB é uma matriz diagonal. 8. Se A e B são matrizes triangulares superiores, AB é uma matriz triangular superior. 9. Se A e B são matrizes triangulares inferiores, AB é uma matriz triangular inferior. Inversa de uma matriz Seja A uma matriz de ordem n. Se existe uma matriz X tal que AX = XA = I n ; diz-se que a matriz A é invertível; A matriz X diz-se a inversa de A e denota-se X = A 1. Se a matriz A é invertível, a sua inversa é única. Exemplos A matriz A = é invertível e a sua inversa é A 1 = A matriz A = não é invertível 1 a b Considerando uma matriz arbitrária X = ; veri ca-se que a equação c d 8 a + c = 1 1 a b 1 0 a + c b + d 1 0 >< b + d = 0 =, =, 1 c d 0 1 a + c b + d 0 1 a + c = 0 > b + d = 1 é impossível. Propriedades Se A e B são matrizes invertíveis de ordem n, veri cam-se (i) A 1 é invertível e (A 1 ) 1 = A. (ii) AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1. (iii) A T é invertível e A T 1 = (A 1 ) T (iv) Se A é invertível e = 0 é um número real, então A é invertível e (A) 1 = 1 A 1. (v) Se A é diagonal, A 1 é também diagonal. (vi) Se A é triangular, A 1 é também triangular.

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