Geometria anaĺıtica e álgebra linear
|
|
- Emanuel Prada Amaral
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Geometria anaĺıtica e álgebra linear Francisco Dutenhefner Departamento de Matematica ICEx UFMG 22/08/13 1 / 24
2 Determinante: teorema principal Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear AX = B possui uma única solução quando A é invertível. Neste caso, a solução do sistema é X = A 1 B. Nem toda matriz tem inversa. Como saber se uma matriz é invertível sem apelar para o cálculo da inversa? Vamos associar a cada matriz A um número, chamado determinante. Este número será definido de modo que seja verdadeiro o seguinte resultado. Teorema: Seja A uma matriz quadrada. Então A tem inversa se, e somente se, det(a) 0. 2 / 24
3 Determinante: casos particulares 1 o caso: matrizes 1 1 A matriz A = [a] tem inversa se a 0. Definimos det(a) = a. 2 o caso: matrizes [ 2 2] a b A matriz A = tem inversa quando ad bc 0. c d Neste caso [ ] A 1 1 d b = ad bc c a Definimos det(a) = ad bc. 3 / 24
4 Determinante: casos particulares 3 o caso: matriz triangular superior a 11 a 12 a 13 A = 0 a 22 a a 33 Tem inversa quando a 11 0, a 22 0 e a Ou seja, quando a 11 a 22 a Neste caso, definimos det(a) = a 11 a 22 a 33. De modo geral, o determinante de uma matriz triangular é o produto dos números da diagonal principal. Em todos os casos analisados, A tem inversa se, e somente se, det(a) 0. 4 / 24
5 Escalonamento Determinante Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L j, então det(b) = det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i αl i, então det(b) = α det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L i + αl j, então det(b) = det(a). Como toda matriz pode ser escalonada até uma matriz triangular, como sabemos calcular o determinante de uma matriz triangular, usando estas propriedades, podemos calcular o determinante de qualquer matriz quadrada. 5 / 24
6 Determinante: exemplo 1 Calcule o determinante de A = Solução: L 2 L 2 3L 1 e L 3 L 3 + 2L A 1 = det(a 1 ) = det(a) L 3 L 3 + 2L 2 A 2 = det(a 2 ) = det(a 1 ) = det(a) det(a 2 ) = 2 ( 5) 3 = 30 = det(a). 6 / 24
7 Determinante: exemplo 1 Para matriz 3 3 deve ser utilizada a Regra de Sarrus. A = det(a) = ( ) = 8 22 = 30 7 / 24
8 Atenção! det(a) = ( ) = 8 22 = 30 A regra de Sarrus só vale para matrizes / 24
9 Determinante: exemplo 2 Calcule o determinante de A = Solução: L 1 L 2 A 1 = det(a 1 ) = det(a) L L 1 A 2 = det(a 2 ) = 1 3 det(a 1) = 1 3 det(a) 9 / 24
10 Determinante: exemplo 2 A 2 = L 3 L 3 2L A 3 = det(a 2 ) = 1 3 det(a 1) = 1 3 det(a) det(a 3 ) = det(a 2 ) = 1 3 det(a) L 3 L 3 10L A 4 = det(a 4 ) = det(a 3 ) = 1 3 det(a) Chegamos em uma matriz triangular. Podemos parar. 10 / 24
11 Determinante: exemplo 2 A 4 = det(a 4 ) = det(a 3 ) = 1 3 det(a) Como A 4 é matriz triangular, det(a 4 ) = 1 1 ( 55) = 55. Portanto det(a) = 3 det(a 4 ) = 3 ( 55) = / 24
12 Determinante - exemplo 3 Suponha que a matriz B = tenha sido obtida de A aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares: (a) Troca da linha L 3 com a linha L 4 ; (b) Substituição da linha L 2 por L 2 3L 1 ; (c) Substituição da linha L 3 por 1 2 L 3. Calcule o determinante da matriz A. 12 / 24
13 Determinante - exemplo 3 Solução: Foram aplicadas as operações elementares (a) L 3 L 4. (b) L 2 L 2 3L 1. (c) L L 3. Se A 1 é a matriz obtida de A pela primeira operação elementar, então det(a 1 ) = det(a). Se A 2 a matriz obtida de A 1 pela segunda operação elementar, então det(a 2 ) = det(a 1 ). Finalmente, B é a matriz obtida de A 2 pela terceira operação elementar. Daí det(b) = 1 2 det(a 2). Daí det(a) = 2 det(b). 13 / 24
14 Determinante - exemplo 3 det(a) = 2 det(b) B = Como B é uma matriz triangular, o seu determinante é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal: det(b) = 1 ( 3) ( 1) ( 2) = 6 Portanto det(a) = 2 ( 6) = / 24
15 Determinante: teoremas importantes O determinante foi definido para que seja verdadeiro o seguinte resultado. Teorema: Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, det(a) 0. Da aula passada sabemos que: Teorema: Um sistema linear quadrado AX = B tem solução única se, e somente se, A é invertível. Neste caso, X = A 1 B. Teorema: Se A é uma matriz quadrada, as seguintes afirmações são equivalentes. (a) A tem inversa. (b) det(a) 0. (c) O sistema linear AX = B tem solução única. (d) O sistema homogêneo AX = 0 só admite a solução trivial X = / 24
16 Cálculo do determinante via cofatores Dada uma matriz quadrada A, o menor do elemento a ij, denotado por Ãij, é a matriz obtida de A pela eliminação da linha i e da coluna j. Por exemplo se A = então 16 / 24
17 Cálculo do determinante via cofatores O cofator do elemento a ij, denotado por ã ij, é o número real ) ã ij = ( 1) i+j det (Ãij. Por exemplo se A = então 17 / 24
18 Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A. Então det(a) = a i1 ã i1 + a i2 ã i2 + + a in ã in. Deste modo, para o cálculo do determinante de A n n é necessário o cálculo de n determinantes de matrizes (n 1) (n 1). Podemos então ir diminuindo a ordem da matriz até chegar em uma 3 3 onde pode ser aplicado Sarrus, ou ainda, até uma de tamanho 2 2, onde det = ad bc. 18 / 24
19 Exemplo 2 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a primeira linha, det(a) = 2 ã ã ã 13 [ det(a) = 2( 1) det 8 1 ] [ + 1( 1) 1+2 det ] det(a) = 2 ( 10) 1 10 = = / 24
20 Exemplo 2...que coincidência. Dá o mesmo resultado aplicando a regra de Sarrus det(a) = ( ) = 8 22 = / 24
21 Exemplo 3 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a terceira linha, det(a) = 4( 1) 3+2 det ( 1) 3+4 det det(a) = ( 5) = = / 24
22 Determinante - propriedades Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0. Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0. det(a t ) = det(a). Daí o desenvolvimento do determinante por cofatores tambem pode ser feito fixada uma coluna de A. Se A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho, det(ab) = det(a) det(b). Se A tem inversa, então det(a 1 ) = 1 det(a). 22 / 24
23 Exercícios Ex 1. Se A e B são matrizes 3 3 tais que det(a) = 3 e det(b) = 2, calcule det(2a), det( A 2 ) e det(3a 1 B 2 ) Ex 2. Considere a matriz A = (a) Determine todos os valores de λ para os quais o sistema linear homogêneo (A λi 3 )X = 0 tem solução não trivial. (b) Para cada λ, dê a solução geral do sistema linear homogêneo do item anterior.. 23 / 24
Recados. Listas 1 e 2 - disponíveis no site. Procurar Monitoria GAAL 2013/1 UFMG no Facebook. Primeira Prova: sábado, 06 de abril
Recados Listas 1 e 2 - disponíveis no site Procurar Monitoria GAAL 2013/1 UFMG no Facebook Primeira Prova: sábado, 06 de abril Horário: 10:00-12:00 no ICEx Da aula anterior: Da aula anterior: Teorema:
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica
Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 4 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 27 Programa 1 Matrizes 2 Sistemas de Equações Lineares
Leia maisGAAL - Primeira Prova - 06/abril/2013. Questão 1: Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
GAAL - Primeira Prova - 06/abril/203 SOLUÇÕES Questão : Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z. x + ay z = x + y + 2z = 2 x y + az = a Determine todos os valores de a para os quais
Leia maisNotas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
FATEC Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof Dr Ânderson Da Silva Vieira 2017 Sumário Introdução 2 1 Matrizes 3 11 Introdução 3 12 Tipos especiais de Matrizes 3 13 Operações
Leia maisMATEMÁTICA MÓDULO 11 DETERMINANTES. Professor Matheus Secco
MATEMÁTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 11 DETERMINANTES INTRODUÇÃO Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade
Leia maisdeterminantes rita simões departamento de matemática - ua
determinantes rita simões (ritasimoes@ua.pt) departamento de matemática - ua 204-205 determinante de uma matriz sejam l,..., l n as linhas de uma matriz do tipo n n; para cada n N, existe uma única função
Leia maisÁlgebra Linear. Aula 02
Álgebra Linear Aula Determinante Para aproveitar 1% dessa aula vocês precisam saber: ü Matrizes ü Equação do 1º grau ü Equação do º grau Como representamos o determinante de uma matriz? Colocando os elementos
Leia maisDeterminantes. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2
Determinantes Juliana Pimentel juliana.pimentel@ufabc.edu.br http://hostel.ufabc.edu.br/ juliana.pimentel Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2 Para uma matriz quadrada A o determinante de A é um número real.
Leia maisDeterminantes e Matrizes Inversas
Determinante e Matrizes Inversas FFCLRP - USP Departamento de Computação e Matemática 10 de março de 2019 e Matrizes Inversas 1 Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes Propriedades
Leia maisMatriz, Sistema Linear e Determinante
Matriz, Sistema Linear e Determinante 1.0 Sistema de Equações Lineares Equação linear de n variáveis x 1, x 2,..., x n é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, onde
Leia maisVetores e Geometria Analítica
Vetores e Geometria Analítica ECT2102 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2016 AVISO O propósito fundamental destes slides é servir como um guia para as aulas. Portanto eles não devem ser
Leia maisExercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1
setor 0 00508 Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES
Leia maisDeterminantes. Prof. Márcio Nascimento
Determinantes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 4 de fevereiro
Leia maisDeterminantes. det A = a 11. Se A = a11 a 12 a 21 a 22. é uma matriz 2 2, então. det A = a 11 a 22 a 12 a 21. Exemplo 1. det 3 4. = 1; det 3 4 = 0.
Determinantes Definição Definição Se A = [a 11 é uma matriz 1 1, então Se é uma matriz, então Exemplo 1 [ 1 3 4 A = A = a 11 [ a11 a 1 a 1 a A = a 11 a a 1 a 1 [ 1 0 = ; 0 1 [ 6 8 = 1; 3 4 = 0 Para definir
Leia maisUniversidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM112 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 81, 82 e 84 Lista 1 - Tiago de Oliveira
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM2 - Introdução à Álgebra Linear - Turmas 8, 82 e 84 Lista - Tiago de Oliveira Reveja a teoria e os exercícios feitos em sala. 2 3 2 0. Sejam
Leia maisALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE /
ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0 0. (a) Calcule o sinal das seguintes permutações (i) (; ; ; ; ) (ii) (; ; ; ; ; ) (b) Use os resultados da alínea (a) para calcular, usando a de nição, os
Leia maisUnidade 4 - Matrizes elementares, resolução de sistemas. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 10 de agosto de 2013
MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 4 - Matrizes elementares, resolução de sistemas A Hefez e C S Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013 Nesta unidade, veremos
Leia maisUnicidade da Forma Escalonada Reduzida de uma Matriz
1 Unicidade da Forma Escalonada Reduzida de uma Matriz Reginaldo J Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais http://wwwmatufmgbr/~regi 1 de maio de 24 Definição 1 Uma
Leia maisÁlgebra Linear. Professor Fabrício Oliveira. 25 de agosto de Universidade Federal Rural do Semiárido
Álgebra Linear Professor Fabrício Oliveira Universidade Federal Rural do Semiárido 25 de agosto de 2010 Determinantes De maneira não formal Não daremos aqui a definição matematicamente correta. Determinantes
Leia maisMA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto. LISTA 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 1 - Matrizes e Sistemas
Leia maisb) 4x 1 6x 2 = 1 Questão 2: Considere as seguintes matrizes: 3y 6 y z condições, calcule x, y e z.
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 1 - Matrizes e Sistemas
Leia mais2. Calcule o determinante das matrizes 3x3 abaixo Calcule o determinante das matrizes abaixo. 2 =1 ( 1) 3 3=
Gabarito - Lista de Exercícios # - Métodos Quantitativos em Economia - FCE-UERJ Professor Pedro Hemsley - 0.. Calcule o determinante das matrizes x abaixo. deta = det = ( ) = detb = det = = detc = det
Leia maisÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT003 10 a Lista de
Leia maisÁlgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP
Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocabaunespbr Matrizes Inversas 1 Matriz Inversa e Propriedades 2 Cálculo da matriz
Leia mais3. Calcule o determinante das matrizes abaixo.
Gabarito - Lista de Exercícios # Professor Pedro Hemsley Calcule o determinante das matrizes x abaixo deta = det = ( ) = detb = det = = 9 detc = det = 9 8 ( ) = 8 detd = det = = 0 0 dete = det = 0 ( 9)
Leia mais1 Determinante. det(a) = ρ. ( 1) J a 1j1 a 2j2... a njn. Exemplo 1.6. Determinante de 3a. ordem: a 11 a 12 a 13. a 21 a 22 a 23.
1 Determinante Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo
Leia maisAulas práticas de Álgebra Linear
Ficha 2 Determinantes Aulas práticas de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores 1 o semestre 2016/17 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto
Leia maisDeterminantes. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica Determinantes 1 / 17
Capítulo 2 Determinantes ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 1 / 17 Definições ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 2 / 17 Definições Seja A = [a kl ] uma matriz
Leia maisficha 2 determinantes
Exercícios de Álgebra Linear ficha 2 determinantes Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 Determinantes 2 Sendo
Leia maisÁlgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia
Álgebra Linear Determinantes, Valores e Vectores Próprios Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia - 200 - ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 2 Conteúdo Determinantes 5 2 Valores e vectores próprios
Leia maisInterbits SuperPro Web
1 (Ita 018) Uma progressão aritmética (a 1, a,, a n) satisfaz a propriedade: para cada n, a soma da progressão é igual a n 5n Nessas condições, o determinante da matriz a1 a a a4 a5 a 6 a a a 7 8 9 a)
Leia maisHewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ano: 206 Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo 2... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... Exemplo 3... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS...
Leia mais1 a Prova de Geometria Analítica e Sistemas Lineares Curso de Ciências Exatas - 14/09/2011 Departamento de Matemática - ICE - UFJF
1 a Prova de Geometria Analítica e Sistemas Lineares Curso de Ciências Exatas - 1/09/2011 Departamento de Matemática - ICE - UFJF Quest. 1+2+3 5 6 7 Total Aluno: Matrícula: Turma: Observações: Esta prova
Leia maisLista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares) b) B 4 2, tal que b ij =
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT Geometria Analítica e Álgebra Linear (MA71B) Profa. Dra. Nara Bobko Lista de Exercícios 3 (Matrizes e Sistemas Lineares)
Leia maisMatemática. Resolução das atividades complementares. M3 Determinantes. 1 O valor do determinante da matriz A 5
Resolução das atividades complementares Matemática M Determinantes p. 6 O valor do determinante da matriz A é: a) 7 c) 7 e) 0 b) 7 d) 7 A 7 Se a 7, b e c, determine A a b c. a 7 ; b ; c A a 8 () b () c
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica D
1 3 Departamento de Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica D Primeiro Teste 21 de Novembro de 2009 Nome: Número de caderno: PREENCHA DE FORMA BEM LEGÍVEL Grelha de Respostas A B C D 1 2 3 4 5
Leia maisÁLGEBRA LINEAR - MAT0024
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR - MAT0024 10 a Lista de exercícios
Leia maisMA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto. LISTA 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 1 - Matrizes e Sistemas
Leia maisDeterminantes - Parte 02
Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 23
Leia maisDeterminantes - Parte 02
Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.2 07
Leia maisEscalonamento. Sumário. 1 Pré-requisitos. 2 Sistema Linear e forma matricial. Sadao Massago a Pré-requisitos 1
Escalonamento Sadao Massago 2011-05-05 a 2014-03-14 Sumário 1 Pré-requisitos 1 2 Sistema Linear e forma matricial 1 3 Forma escalonada 3 4 Método de eliminação de Gauss (escalonamento) 5 5 A matriz inversa
Leia mais1 5 = = = = = = = = 5
MATRIZES PARTE II. Matriz dos Cofatores Dada uma matriz A, a cada elemento aij de A está associado um cofator Cij. Definição: Chama-se matriz dos cofatores de A, e denota-se por A,a matriz A = [C ij ].
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte II Matrizes (continuação)
Álgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte II Matrizes (continuação) Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR - 2014 Importante Material desenvolvido a partir
Leia maisLaboratório de Simulação Matemática. Parte 6 2
Matemática - RC/UFG Laboratório de Simulação Matemática Parte 6 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2017 2 [Cap. 6] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning, 2010. Thiago
Leia maisMárcio Antônio de Andrade Bortoloti
Márcio Antônio de Andrade Bortoloti Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas - DCET Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Sumário 1 Definição Uma matriz quadrada de ordem n é definida positiva
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: determinantes e sistemas 13 e 27/06/14 Determinantes Def.: Seja M uma matriz quadrada de elementos reais, de
Leia maisHewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo...... Exemplo...... TEOREMA DE LAPLACE... I) COFATOR... Exemplo... II)
Leia maisDeterminantes. Prof. Márcio Nascimento
Determinantes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 17 de outubro
Leia maisCEM Centro De Estudos Matemáticos
1. (Udesc ) Sejam A = (a ij ) e B = (b ij ) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que: a ij = i + j b ij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão geométrica de
Leia maisÁlgebra Linear 1 o Teste
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 1 o Semestre 2008-2009 6/Janeiro/2008 Prova de Recuperação Álgebra Linear 1 o Teste MEMec, MEAer Nome: Número: Curso: Sala: A prova que vai realizar
Leia maisFicha de Trabalho 02 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6).
F I C H A D E R A B A L H O 0 Ficha de rabalho 0 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6). Sistemas de equações lineares. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema.
Leia maisLista de exercícios 5 Determinantes
Universidade Federal do Paraná semestre 015. Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic Lista de exercícios 5 Determinantes Exercício 1: Seja A := 3 1 3 3 Encontre os valores dos menores det(m,1 ), det(m, )
Leia maisHewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo...... Exemplo...... TEOREMA DE LAPLACE... I) COFATOR... Exemplo... II)
Leia maisTestes e Sebentas. Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes)
Testes e Sebentas Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes) Índice: 1. Matrizes 1.1. Igualdade de matrizes 3 1.2. Transposta de uma matriz 3 1.3. Multiplicação por um escalar 3
Leia maisMAT2457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Prova - 1 o semestre de y + az = a (a 2)x + y + 3z = 0 (a 1)y = 1 a
MAT457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Prova - 1 o semestre de 018 Questão 1. Se a R, é correto afirmar que o sistema linear y + az = a (a x + y + 3z = 0 (a 1y = 1 a é: (a possível e indeterminado
Leia maisRELEMBRANDO... CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA:
RELEMBRANDO... CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA: determinantes Se o determinante da matriz é diferente de zero existe a inversa, logo: det M 0 M -1 1 =. M det M Quem é M? É a matriz adjunta, que é a matriz transposta
Leia mais2. Calcule o determinante das seguintes matrizes usando o teorema de Laplace. ab (a) (b) (c) 2 5. (e) 0 a b a 0 c b c 0. (h)
3.. determinante de uma riz página /5 departamento de emática universidade de aveiro. Determine o número de inversões e classifica qnto à paridade as seguintes permutações de {,, 3, 4, 5}: (3, 4,, 5, )
Leia maisn. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE
n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar,
Leia maisSistemas Lineares e Matrizes
Sistemas Lineares e Matrizes Lino Marcos da Silva linosilva@univasfedubr Obs Este texto ainda está em fase de redação Por isso, peço a gentileza de avisar-me sobre a ocorrência de erros conceituais, gráficos
Leia maisI Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple
1 I Lista de Álgebra Linear - 2012/02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade ( x 2 + 5x x 2 ( 6 3 2x y 2 5y y 2 = 5 0
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]
Leia maisAUTOVALORES E AUTOVETORES
AUTOVALORES E AUTOVETORES Prof a Simone Aparecida Miloca Definição 1 Uma tranformação linear T : V V é chamada de operador linear. Definição Seja T : V V um operador linear. existirem vetores não-nulos
Leia mais1 NOTAS DE AULA FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos
FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 NOTAS DE AULA Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos (i) Matrizes Reais Uma matriz real é o seguinte arranjo de números reais : a 11 a 12 a 13 a 1m a 21
Leia maisIntrodução à Álgebra Linear - MTM 112 Prof. Fabiana Fernandes
Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Matemática Introdução à Álgebra Linear - MTM 2 Prof. Fabiana Fernandes Lista 02 Sistemas Lineares. Resolva e
Leia maisÁlgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017
º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz
Leia maisALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1
ALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1 *Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em VETORES Um vetor é uma lista ordenada de números
Leia maisÁlgebra Linear I - Lista 10. Transfromações inversas. Matriz inversa. Respostas. c d a c. c d A = g h. e C = a c
Álgebra Linear I - Lista 0 Transfromações inversas. Matriz inversa Respostas Estude se existe uma matriz A tal que ( ( a b b d A = c d a c para todos os valores de a, b, c e d. Resposta: Seja e dadas B
Leia maisMatemática /09 - Determinantes 37. Determinantes. det A = a 11 a 22 a 12 a 21 = = 2
Matemática - 008/09 - Determinantes Determinantes de ordem e. Determinantes O erminante de uma matriz quadrada é um número real obtido a partir da soma de erminados produtos de elementos da matriz. Vamos
Leia maisNeste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em
Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em tantos detalhes para os concursos desejados. Assim,
Leia maisDeterminantes. 23 de março de 2015
s Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2014.2
Leia maisUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROF.: MARCELO SILVA.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROF.: MARCELO SILVA Determinantes Introdução Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número
Leia maisProvas. As notas da primeira e segunda prova já foram digitadas no Minha UFMG. Caso você não veja sua nota, entre em contato com o professor.
Provas As notas da primeira e segunda prova já foram digitadas no Minha UFMG. Caso você não veja sua nota, entre em contato com o professor. Terceira prova. Sábado, 15/junho, 10:00-12:00 horas, ICEx. Diagonalização
Leia maisGAAL Exercícios 6: Umas soluções
GAAL Exercícios 6: Umas soluções. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de u = (5, 3, ), v = (, 4, 3), w = (, 8, 7)? (a) (, 2, 5) (b) (, 2, 8) (c) ( 2, ) (d) (, 2, 3). O conjunto {u, v, w}
Leia maisÁlgebra Linear - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho
Álgebra Linear - a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho - Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede: M N O 7 P Q R 8 4 T S a b a Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas?
Leia maisExercício: Identifique e faça um esboço do conjunto solução da. 3x xy + y 2 + 2x 2 3y = 0
Motivação Exercício: Identifique e faça um esboço do conjunto solução da equação 3x 2 + 2 3xy + y 2 + 2x 2 3y = 0 Motivação Exercício: Identifique e faça um esboço do conjunto solução da equação 3x 2 +
Leia maisDeterminantes. 23 de janeiro de 2014
s s Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial 23 de janeiro de 2014 1 / 19 Sumário s 1 2 3 2 / 19 Sumário
Leia maisn. 2 MATRIZ INVERSA (I = matriz unidade ou matriz identidade de ordem n / matriz canônica do R n ).
n. 2 MATRIZ INVERSA Modo : utilizando a matriz identidade Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz invertível se existir uma matriz B tal que A. B = B. A = I. (I = matriz unidade ou
Leia maisSistema de Equaçõs Lineares
Summary Sistema de Equaçõs Lineares Hector L. Carrion ECT-UFRN Agosto, 2010 Summary Equações Lineares 1 Sistema de Eq. Lineares 2 Eliminação Gaussiana-Jordan 3 retangular 4 5 Regra de Cramer Summary Equações
Leia maisModelagem Computacional. Parte 6 2
Mestrado em Modelagem e Otimização - RC/UFG Modelagem Computacional Parte 6 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2016 2 [Cap. 6 e 7] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning,
Leia maisDeterminantes - Parte 02
Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.1 10
Leia maisCapítulo 8: Determinantes
8 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 8: Determinantes Sumário 1 Propriedades dos Determinantes 211 11 Propriedades Características 211 12 Propriedades
Leia maisAvaliação e programa de Álgebra Linear
Avaliação e programa de Álgebra Linear o Teste ( de Março): Sistemas de equações lineares e matrizes. Espaços lineares. o Teste ( de Maio): Matriz de mudança de base. Transformações lineares. o Teste (
Leia mais2. Determine a ordem das matrizes A, B, C, D e E, sabendo-se que AB T tem ordem 5 3, (C T +D)B tem ordem 4 6 e E T C tem ordem 5 4.
Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT 17 - Introdução à Álgebra Linear 2016/II 1 Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas
Leia maisProfs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2
Leia mais5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão Encontre os autovalores, os autovetores e a exponencial e At para
5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2008 1. Encontre os autovalores, os autovetores e a exponencial e At para [ ] 1 1 1 1 2. Uma matriz diagonal Λ satisfaz a regra usual
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica. Valores Próprios e Vectores Próprios
Álgebra Linear e Geometria nalítica Valores Próprios e Vectores Próprios Será assim para todos os vectores? R α α, Será assim para todos os vectores? Definição: Seja um número real e uma matriz quadrada
Leia mais(c) A 1 = (d) A 1 = 5. Seja T : R 7 R 3 uma transformação linear sobrejetiva. (b) dim(n(t )) = 3. (d) dim(im(t )) = 0
UFRJ Instituto de Matemática Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125 Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Mario, Milton, Monique e Paulo Data: 30 de outubro de 2013 (c) A 1 = 3 1 5 2 3 7 7 3 2
Leia maisÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6. Por definição do determinante de uma matriz 3 3, tem-se det A = 7.
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 20/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6 SOLUÇÕES SUMÁRIAS DOS EXERCÍCIOS ÍMPARES Propriedades dos Determinantes
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 14. Roteiro
Álgebra Linear I - Aula 14 1 Matrizes 2 Forma matricial de uma transformação linear 3 Composição de transformações lineares e produto de matrizes 4 Determinante do produto de matrizes Roteiro 1 Matrizes
Leia maisMat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter. (Gabriella Teles)
7 PC Sampaio Ale Amaral Rafael Jesus Gabriel Ritter Semana (Gabriella Teles) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os
Leia maisMatrizes e Linearidade
Matrizes e Linearidade 1. Revisitando Matrizes 1.1. Traço, Simetria, Determinante 1.. Inversa. Sistema de Equações Lineares. Equação Característica.1. Autovalor & Autovetor 4. Polinômios Coprimos 5. Função
Leia maisRevisão de determinante e sistema linear
Revisão de determinante e sistema linear Laura Goulart UESB 28 de Maio de 2018 Laura Goulart (UESB) Revisão de determinante e sistema linear 28 de Maio de 2018 1 / 10 Cálculo do determinante de matrizes
Leia maisDeterminante de uma matriz quadrada
Determinante de uma matriz quadrada A toda matriz quadrada A está associado um número real, chamado determinante de A. Ele é obtido por meio de certas operações com os elementos da matriz. O determinante
Leia maisé encontrado no cruzamento da linha i com a coluna j, ou seja, o primeiro índice se refere à linha e o segundo à coluna.
Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal De Santa Catarina Campus São José Professora: ELENIRA OLIVEIRA VILELA COMPONENTE CURRICULAR: ALG ÁLG. LINEAR MATRIZES
Leia maisAutovalores e Autovetores Determinante de. Motivando com Geometria Definição Calculando Diagonalização Teorema Espectral:
Lema (determinante de matriz ) A B A 0 Suponha que M = ou M =, com A e D 0 D C D matrizes quadradas Então det(m) = det(a) det(d) A B Considere M =, com A, B, C e D matrizes C D quadradas De forma geral,
Leia maisADA 1º BIMESTRE CICLO I 2018 MATEMÁTICA 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
ADA º BIMESTRE CICLO I 08 MATEMÁTICA ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO ITEM DA ADA Um sistema de equações pode ser usado para representar situações-problemas da matemática ou do dia-a-dia. Assinale a alternativa
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT 17 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens,
Leia mais