Conceitos e Teoremas. Tecnologia da Decisão I TP065. Profª Mariana

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1 Conceitos e Teoremas Tecnologia da Decisão I TP Profª Mariana

2 Restrições de um PL: D= = -=J G= =I =H E=- / /= / /=A 9/ =C

3 . ma Z s.a c a a m c a n n a mn n n n n b b m a A am a n a mn b b b m c c c n n ma z s. a. c A b Definição : Solução Viável Um vetor que satisfaça as restrições de um problema de programação linear é denominado de solução viável ou factível. Definição : Solução Inviável Um vetor que não satisfaça alguma restrição é chamado de solução inviável. Definição : Região Viável O conjunto de todos os vetores viáveis é denominado de região viável. Definição : ase Considere a matriz de restrições aumentada A de dimensão m n tal que seu posto seja igual a m. Um conjunto formado por m colunas de A que sejam linearmente independentes é chamado de base mm. O número de linhas linearmente independentes é o posto de A. Definição : Variavel ásica As m variáveis m correspondentes às colunas de mm designam-se por variáveis básicas. Definição : Variável Não básica Uma variável que não for básica é dita ser não básica. Definição 7: Solução ásica Uma solução básica é qualquer solução que satisfaz A = b obtida fiando as variáveis não-básicas igual a zero. Definição : Solução ásica Viável É uma solução básica que satisfaz A = b e a restrição de não negatividade. Definição 9: Solução ásica inviável É uma solução básica que satisfaz A = b mas não satisfaz.

4 Resolução de um sistema termos A N com m m somente quadrada e tal que A b [ N] N b N N b b N N b N N I b N N b N N solução geral Seja um sistema com m equações e n variáveis. Considere uma partição N se fiar as n m variáveis de N em zero: A e a seguinte solução obtida ao = b N = A solução assim obtida é chamada SOLUÇÃO ÁSICA. Se = b dizemos que é uma SOLUÇÃO ÁSICA VIÁVEL. Se = b dizemos que é uma SOLUÇÃO ÁSICA VIÁVEL NÃO DEGENERADA.

5 Teoremas Conveidade da região viável Solução básica viável é um ponto etremo Conjunto de soluções básicas viáveis é finito A solução básica viável ótima é um ponto etremo

6 Teorema : Região Viável é Convea Em um problema de programação linear a região viável é um conjunto conveo. a a a a am a m a a a n mn n n m n b b b m S a S b S p a b S Demonstração: Seja S o conjunto formado pelos pontos tais que A b. Vamos demonstrar que o conjunto S é conveo. Sejam S ; precisamos mostrar que S. Sejam tal que A b A b e. A A A A b b b. Uma vez que e então.

7 Definição: Vértice ou Ponto Etremo Um vértice da região convea S é um ponto que não pode ser epresso como uma combinação linear convea de pontos distintos da região S. Algebricamente: é um vértice de S se não eiste y y S y y e tal que y y 7

8 Teorema : Solução ásica Viável é um vértice As soluções básicas viáveis de um problema de programação linear localizam-se em vértices da região viável. Dem: Seja uma solução básica associada a submatriz base R mm. Então sem perda de generalidade suponha que = N com i = para i=m+n. Logo A= =b e portanto é matriz não singular. Por contradição suponhamos que não seja ponto etremo ou vértice de S então yzs tal que = y + -z [ ] e yz pois. Como i = i=m+n então y i = e -z i = para i=m+n e portanto y i = z i = i=m+n. Logo y=y y N e z=z z N. Como yz S Ay=b e Az=b e portanto y =b e z =b. Portanto = b b = y z = y z. Mas y z e então y z contradição pois por hipótese é uma submatriz base e portanto não singular! Portanto: Toda solução básica viável do sistema A= b é um vértice do conjunto de soluções factíveis S.

9 Teorema : O Número Soluções ásicas é inito A coleção de todas as soluções básicas formam um conjunto finito. n! C m n m!n m! Teorema : Se a função objetivo possui um máimo mínimo finito então pelo menos uma solução ótima é um vértice do conjunto S conveo do Teorema. Dem: Seja Z a função objetivo que toma o valor máimo M no ponto o então pode-se afirmar que: M Zo Zpara todo S. Sejam p os pontos etremos do conjunto S. Precisamos provar que o é um desses pontos etremos. Suponha que o não seja um ponto etremo de S. Então ele pode ser obtido pela combinação convea de seus pontos etremos: p o i sendo i p i i i e -> a. Assim p i i p Z o Z i i Z p p Z Z pz p M -> b. i Consideremos o ponto etremo M definido pela relação ZM ma Zi i p -> c Devido as relações a e c a relação b pode sofrer as seguintes modificações: Z p M M p M ou seja Zo Z M i Z Z Z o tínhamos M Zo Z S isto é Z. Então é necessário ter Z M Z i Z. Mas o M o M e fica provado que a solução ótima o é um ponto etremo do conjunto conveo S. 9

10 Método das Soluções ásicas testando vértices viáveis 7 ma sa Z A 7 b!!..!!! C ma sa Z

11 ??? 7 9 Método das Soluções ásicas testando vértices viáveis = = = =

12 ??? 7 9 Método das Soluções ásicas testando vértices viáveis = = = =

13 Método das Soluções ásicas testando vértices viáveis 7??? pois a restrição não tem intersecção com o eio

14 Método das Soluções ásicas testando vértices viáveis Soluções ásicas Viáveis Z Z 9 9 Z Soluções ásicas Não Viáveis Z Z 9 Não é base 7???

15 Para problemas grandes a técnica de testar vértices se torna impraticável C = vértices C = vértices C = 9 vértices

16 Prévia de um algoritmo de otimização SIMPLEX. Obter uma solução básica inicial a mais trivial e mais fácil;. Verificar se a solução atual é ótima;. Se a solução atual não for ótima procurar outra solução básica;. Voltar ao passo. Questões a Como achar a solução inicial? b Que critério usar para gerar uma nova solução básica? c Como posso saber se a solução atual é ótima?

17 ma sa Z Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração início Passo 7

18 Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração A solução é ótima? Não pois eiste variável não básica com coeficiente positivo na unção Objetivo Qual variável então entra na base? pois possui o maior coeficiente positivo Qual variável então sai da base? sai da base Z

19 Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração A solução é ótima? Não pois eiste variável não básica com coeficiente positivo na unção Objetivo Qual variável então entra na base? pois possui o maior coeficiente positivo Qual variável então sai da base? sai da base 9 Z

20 Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração A solução é ótima? Não pois eiste variável não básica com coeficiente positivo na unção Objetivo Qual variável então entra na base? pois possui o maior coeficiente positivo Qual variável então sai da base? sai da base 7 Z

21 Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração término A solução é ótima? Sim pois não eiste variável não básica com coeficiente positivo na unção Objetivo Z Z

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