Programação Não Linear Otimização Univariada E Multivariada Sem Restrições

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1 Programação Não Linear Otimização Univariada E Multivariada Sem Restrições A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um prolema. Eiste um conjunto particular de prolemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento de otimização. Resolver o seguinte PPNL Ma (min) f() s. a [a, ] Para achar a solução ótima deve-se achar todos os máimos (mínimos) locais, isto é, os etremos locais. A solução ótima será o etremo local com maior (menor) valor de f(). É claro que se a = ou = o prolema pode não ter solução. (i) Ma f() s. a (-, ] a (ii) Min f() s. a [a, ) Eistem três tipos de pontos que podem ser candidatos a máimos (mínimos) ou candidatos a etremos: (i) Pontos onde f () = 0 e a < < [ponto estacionário de f()]; (ii) Pontos onde f () não eiste e (iii) Pontos etremos do intervalo [a, ]. Pontos onde f () = 0 e a < <. Suponha que f ( 0 ) eiste para a < 0 <. Se 0 é um ponto etremo então f ( 0 ) = 0. 1

2 Como determinar se 0 é um máimo ou mínimo local quando f (0) eiste. a 0 (a) f ( 0 ) = 0 () f ( 0 ) = 0 Para < 0 f ( 0 ) > 0 Para < 0 f ( 0 ) < 0 Para > 0 f ( 0 ) < 0 Para > 0 f ( 0 ) > 0 0 é um máimo local 0 é um mínimo local a 0 Pelas figuras pode-se ver se f () passa de positivo para negativo quando passa por 0 então 0 é um máimo local. Assim se f ( 0 ) < 0, então 0 é um máimo local. De forma semelhante pode-se ver se f () passa de negativo para positivo quando passa por 0 então 0 é um mínimo local. Assim se f ( 0 ) > 0, então 0 é um mínimo local. Pontos onde f () = 0 e a < <. Eistem pontos onde a derivada é nula, no entanto, eles não são etremos. Oserve as ilustrações seguintes que mostram que f ( 0 ) = 0 e 0 não é nem máimo e nem mínimo. f ( 0 ) eiste e é nula no ponto 0, mas ele não é um máimo nem um mínimo local. a 1 0 (a) f ( 0 ) = 0 f( 1 ) < f( 0 ) f( ) > f( 0 ) 0 não é um etremo a 1 0 () f ( 0 ) = 0 f( 1 ) > f( 0 ) f( ) < f( 0 ) 0 não é um etremo Se f ( 0 ) = 0 e f ( 0 ) < 0, então 0 é um máimo local. Se f ( 0 ) = 0 e f ( 0 ) > 0 então 0 é um mínimo local. O que acontece se f ( 0 ) = 0 e f ( 0 ) = 0? Nesse caso será necessário aplicar o Teorema cinco.

3 Se f ( 0 ) = 0, e 1. Na derivação sucessiva a ordem da primeira derivada não nula em 0 é ímpar, então 0 não é nem um máimo e nem um mínimo;. Na derivação sucessiva a primeira derivada não nula em 0 é positiva e é de ordem par, então 0 é um mínimo local; 3. Na derivação sucessiva a primeira derivada não nula em 0 é negativa e é de ordem par, então 0 é um máimo local; Pontos onde f () não eiste. Se f() não tem derivada no ponto 0, então ele pode ou não ser um ponto etremo. Neste caso pode-se determinar se 0 é um ponto etremo verificando o valor de f() nos pontos 1 < 0 e > 0 próimos de 0. Os quatro casos possíveis estão colocados na taela seguinte. Como determinar se o ponto onde f () não tem derivada é ou não um ponto etremo. Relação entre f( 0 ), f( 1 ) e f( ) 0 Figura f( 0 ) > f( 1 ); f( 0 ) < f( ) Não é etremo (i) Como determinar se 0 é um máimo ou mínimo local quando f ( 0 ) não eiste. f( 0 ) < f( 1 ); f( 0 ) >f( ) Não é etremo (ii) f( 0 ) f( 1 ); f( 0 ) f( ) Máimo Local (iii) f( 0 ) f( 1 ); f( 0 ) f( ) Mínimo Local (iv) (i) 0 não é um etremo (ii) 0 não é um etremo Como determinar se 0 é um máimo ou mínimo local quando f ( 0 ) não eiste. Pontos a e (etremos) do intervalo [a, ] Pela figura pode-se ver que: Se f (a) > 0, então a é um mínimo local; Se f (a) < 0, então a é um máimo local; i(i) 0 é um máimo local (ii) 0 é um mínimo local Se f () > 0, então é um máimo local; Se f () < 0, então é mínimo um local; 3

4 Se f (a) = 0 ou f () = 0 trace uma figura conforme a anterior para determinar se a ou podem ser um etremo local. Os eemplos seguintes ilustram como essas idéias podem ser utilizadas para resolver um PPNL desse tipo. Como determinar se 0 é um máimo ou mínimo local quando 0 é um ponto final. a (i) f (a) > 0 a é um mínimo local. a (ii) f (a) < 0 a é um máimo local. Como determinar se 0 é um máimo ou mínimo local quando 0 é um ponto final. a (iii) f () > 0 é um máimo local. a (iv) f () < 0 é um mínimo local. Um monopólio tem um custo de R$,00 para produzir um produto. Se ele produz unidades do produto cada um pode ser vendido por 10 reais (0 10). Para maimizar o lucro quanto o monopólio deve produzir? Seja P() o lucro do monopólio se forem produzidas unidades. Então: P() = (10 ) = (0 10) Nesse caso o seguinte PPNL deve ser resolvido: Ma P() s. a 0 10 É necessário classificar todos os candidatos a etremos: Caso 1: P () =, então P (,) = 0. Uma vez que P () = -, =, é um máimo local, que fornece um lucro de P(,) = 6,. 4

5 Caso : P () eiste em todos os pontos do intervalo [0; 10], assim não eistem candidatos nesse caso. Caso 3: a = 0, tem P (0) = > 0. Assim a = 0 é um mínimo local. = 10, tem P (10) = -1 < 0. Assim = 10 é um mínimo local. Assim =, é o único máimo local. O lucro será maimizado pela escolha de =,. Oserve que P () = - para todos os valores de no intervalo. Isso mostra que P() é uma função côncava. Assim qualquer máimo local deve ser uma solução ótima para o PPNL. O teorema implica que uma vez conhecido que =, é um máimo local ele será a solução ótima. Seja f() = ( 1) se 0 < 3 = -3 + ( 4) se 3 6 Resolva: Ma f() s. a 0 6 Caso 1: Para 0 < 3, f () = -( 1) e f () = -. Para 3 6, f () = ( 4) e f () =. Assim f (1) = f (4) = 0. Como: f (1) = - < 0, = 1 é um máimo local e como f (4) = > 0, = 4 é um mínimo local. Caso : Pela figura pode-se verificar que f() não apresenta derivada no ponto = 3. Para menor que 3, f () está próimo de -4 e para maior que 3, f () está próimo de -. Uma vez que f(,9) = -1,61, f(3) = - e f(3,1) = -,19, = 3 não é um etremo local. Caso 3 : Como f (0) = > 0, = 0 é um mínimo local. E f (6) = 4 > 0, = 6 é um máimo local. Assim em [0, 6] a f() tem um máimo local em = 1 e = 6. Como f(1) = e f(6) = 1, verifica-se que a solução ótima do PPNL ocorre quando = 1.

6 Programação Não Linear Otimização Irrestrita com Várias Variáveis Resolver o seguinte PPNL Ma (min) f( 1,,..., n ) s. a ( 1,,..., n ) R n Admite-se que as derivadas parciais de primeira e segunda ordens eistem e que são contínuas em todos os pontos. Sejam (*) i Teorema seis: As derivadas parciais de f( 1,,..., n ) com respeito a i, avaliadas em *. Uma condição necessária para que: * = ( 1 *, *,..., n *), seja um etremo local Se * é um etremo local para o (*) PPNL, então:. i = 0 para o PPNL é dada pelo teorema seis. Definição: Um ponto * tendo = 0 para i = 1,,..., n é denominado de ponto estacionário da f( 1,,..., n ). (*) Os próimos teoremas fornecem condições (envolvendo o Hessiano da f) so as quais um ponto estacionário é um mínimo local, máimo local ou nem um nem outro. i Teoremas 7, 7 e 7 : Se H k (*) > 0, para k = 1,,..., n, então um ponto estacionário * é um mínimo local para o PPNL. Se, para k = 1,,..., n, H k (*) é não nulo e tem o mesmo sinal que (-1) k, um ponto estacionário * é um máimo local para o PPNL. Se H n (*) 0 e as condições dos Teoremas 7 e 7 não valem, então o ponto estacionário * não é um etremo local. 6

7 Se um ponto estacionário * não é um etremo local, então ele é denominado de ponto de sela. Se H n (*) = 0, para um ponto estacionário, *, então *, pode ser um mínimo local, um máimo local ou um ponto de sela e os testes anteriores não são suficientes. Dos teoremas 1 a 7 saemos que se uma função f( 1,,..., n ) é uma função côncava (e o PPNL é de má.), então qualquer ponto estacionário pra o PPNL é uma solução ótima para o mesmo. Dos teoremas 1 a 7, sae-se que se f( 1,,..., n ) é uma função convea (e o PPNL é de min.), então um ponto estacionário para o PPNL será uma solução ótima para ele. Eemplo 1: Encontre todos os mínimos locais, máimos locais e pontos de sela da seguinte função: f(, ) = + 3. Solução: Tem-se: Assim: 3 = + = + 3 = = 0 Requer: 3 + = = 0 Para que (a) ocorra, deve-se ter: (i) = 0 ou (ii) + 1 = 0 Para que () ocorra, deve-se ter: Ou: ( + ( + 3 1) = 0 1) = 0 (a) () (iii) = 0 ou (iv) = 0 Assim para que (, ) seja um ponto estacionário, deve-se ter: 7

8 (i) e (iii) que ocorre em (, ) = (0, 0). (i) e (iv) que ocorre em (, ) = (1, 0). (ii) e (iii) que ocorre em (, ) = (0, 1) ou em (, ) = (0, -1). Ou: = = 0 = 1 + 3(1 ) 1 = 0 (ii) e (iv). Então: Isso requer que: = e = ou = e = Assim f(, ) apresenta os seguintes pontos estacionários: (0, 0) (1, 0) (0, 1) (0, -1) (/, 1/ /) e (/, - 1/ /) O Hessiano da f(, ) será: H(,) = Assim no ponto (0, 0) o Hessiano será: 0 1 H(0,0) = 1 0 Como H 1 (0, 0) = 0, as condições dos teoremas 7 e 7 não podem ser satisfeitas. Uma vez que H (0, 0) = -1 0, o teorema 7 se aplica e (0, 0) é um ponto de sela. Considerando-se agora o ponto (1, 0), tem-se: 0 H(1, 0) = Como H 1 (1, 0) = 0 e H (1, 0) = -1, pelo teorema 7 o ponto (1, 0) é tamém um ponto de sela. 8

9 Considerando-se agora o ponto (0, 1), tem-se: H(0, 1) = 0 E ainda H 1 (0, 1) = > 0 (assim a hipótese do teorema 7 não está satisfeita). Como H (0, 1) = -4, (assim a hipótese do teorema 7 não está satisfeita). Como H (0, 1) 0, o ponto (0, 1) é de sela. Para o ponto (/, - 1/ /), tem-se: H(,- ) = 1 Assim H 1 (/, - 1/ /) = -/ 1/ < 0 e H (/,- 1/ /) = 0/ > 0. Assim pelo teorema 7 o ponto é um máimo local. Finalmente o ponto (/, 1/ /), tem-se: H(, ) = 1 Desde que H1(/, 1/ /) = / 1/ > 0 e H(/, 1/ /) = 0/ > 0, o teorema 7 garante que o ponto é um mínimo local. Assim f(, ) apresenta os seguintes pontos etremos: (0, 0), (1, 0), (0, 1) e (0, -1) sendo pontos de sela; (/, 1/ /) sendo um mínimo local e (/, - 1/ /) sendo um máimo local. 0,00 Eemplo : 40,00 30,00 0,00 10,00 0,00-10,00-0,00-30,00,7-40,00 1,3-0,1-0,00-3,0-1, ,9 3 Considere a seguinte função: f(,, z) = + z + z z Determinar e classificar os pontos críticos. 9

10 Solução: Tem-se: = 1 = z = + z z Determinar os pontos tais que: = = = 0 z Ou: 1 = 0 z = 0 + z = 0 A solução desse sistema, fornece: = (1/, /3, 4/3) Para determinar que tipo de ponto estacionário é necessário determinar a matriz hessiana que, nesse caso, é: z z z = 0 z 0 z Os valores dos menores principais são: -, 4 e -6 respectivamente. Assim o ponto considerado é um ponto de máimo, isto é, = (1/, /3, 4/3) é um máimo. Para saer se ele é gloal é necessário verificar se a função é côncava. Eemplo 3: Um monopólio produz um único produto que tem dois tipos de consumidores. Se q 1 unidades são produzidas para o consumidor um ele pagará 70 4q 1. Se q unidades são produzidas para o consumidor dois o mesmo pagará 10 1q reais. Para q > 0, o custo de produzir q unidades é: q reais. Para maimizar o lucro quanto o monopólio deve vender a cada consumidor? 10

11 Solução: Seja f(q 1, q ) o lucro do monopólio se ele produzir q i unidades para o consumidor i. Então supondo que eista produção: f(q 1, q ) = q 1 (70 4q 1 ) + q (10 1q ) 100 1q 1 1q Para encontrar os pontos estacionários da f(q 1, q ), devemos fazer: = 70 8q 1 = 0 q 1 1 q = 10 30q 1 = 0 Assim o único ponto estacionário para da f(q 1, q ) é (/8, 9/). O próimo passo é encontrar o Hessiano da f(q 1, q ). 8 0 H( q, q ) = Como o primeiro menor principal líder de H é -8 < 0, e o segundo menor principal líder de H é (-8).(-30) = 40 > 0, pelo teorema 7 segue que (/8, 9/) é um máimo local. Ainda pelo teorema 3 tem-se que f(q 1, q ) é uma função côncava (no conjunto dos pontos S de (q 1, q ) satisfazendo q 1 0, q 0 e q 1 + q 0). Assim, o teorema um implica que (/8, 9/) maimiza o lucro entre todas as possiilidades de produção (com a possível eceção de não se produzir). Como o lucro de se produzir (/8, 9/) é maior do que o lucro de não se produzir nada, então (/8, 9/) resolve o PPNL. O monopólio deve vender /8 unidades para o consumidor um e 9/ unidades para o consumidor dois. Referências: BERTSEKAS, Dimitri P. Nonlinear Programming. Belmont (MA): Athena Scientific, 199. WINSTON, Wane L. Operations Research: Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont (CA): Duur Press,

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