Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

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1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares Matrizes Introdução Matrizes Especiais Igualdade de Matrizes Adição de Matrizes Produto de Número por uma Matriz Produto de Matrizes Matriz Transposta Matriz Inversível Determinantes Definições Propriedades dos Determinantes Complemento Algébrico ou Cofator e Menor Complementar Matriz dos Cofatores Solução de Sistemas Lineares Método da Substituição Regra de Cramer Método de Eliminação de Gauss Memorize para a prova Exercícios de Fixação Gabarito Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos...63 Bibliografia

2 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares Chegamos à aula 7 e nesta aula, começaremos a deixar a matemática básica para trás. Mais uma vez ressalto a importância de conhecer bem os conceitos iniciais da matéria, pois utilizaremos esses conceitos em todo o nosso curso. Está preparado para entrar no mundo das matrizes, determinantes e sistemas lineares? Então, vamos lá! 7.1. Matrizes Introdução Uma matriz representa um conjunto de elementos representados em linhas e colunas. Cada elemento da matriz está associado a uma posição, que é identificada da seguinte forma: m = número de linhas da matriz n = número de colunas da matriz a ij = elemento da matriz. O índice i indica a linha e o índice j indica a coluna às quais o elemento pertence. a 11 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 1. a 12 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 2. a 13 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 3. a 14 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 4. (...) a 31 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 1. a 32 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 2. a 33 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 3. a 34 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 4. (...) a mn = representa o elemento localizado linha m e na coluna n. A representação de uma matriz, então, ficaria do seguinte modo: a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n Representação de uma matriz de m linhas e n colunas a m1 a m2 a m3... a mn 2

3 Outro conceito importante é a ordem de uma matriz. Bom, a ordem de uma matriz representa a quantidade de linhas e colunas da matriz. Portanto, uma matriz de m linhas e de n de colunas é uma matriz de ordem m x n. Vamos ver alguns exemplos. Exemplos: a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n = Matriz m x n (m linhas e n colunas) a m1 a m2 a m3... a mn 1 2 = Matriz 2 x 2 (2 linhas e 2 colunas) = Matriz 3 x 3 (3 linhas e 3 colunas) = Matriz 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) 2 = Matriz 1 x 1 (1 linha e 1 coluna) 3 7 = Matriz 3 x 1 (3 linhas e 1 coluna) 11 Podemos, também, identificar uma matriz por sua notação explícita ou por sua notação condensada A = notação explícita A= notação explícita

4 Exemplo de notação condensada (supondo a matriz acima): A =(a ij ) 3x3, onde a ij = i, se i j j, se i < j Memorize para a prova: Matriz com m linhas e n colunas a 11 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 1. a 12 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 2. (...) a mn = representa o elemento localizado linha x e na coluna y. Ordem de uma matriz: representa a quantidade de linhas e colunas da matriz. Uma matriz de m linhas e de n de colunas é uma matriz de ordem m x n Matrizes Especiais Existem algumas matrizes que são consideradas especiais, pois possuem algumas particularidades. São elas: Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, é toda matriz que possui uma única linha. Matriz Coluna: é toda matriz do tipo m x 1, ou seja, é toda matriz que possui uma única coluna. Matriz Nula: é toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero. Exemplos: A = matriz linha 2 A= matriz coluna A= matriz nula

5 Matriz Quadrada de ordem n: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, o número de linhas da matriz é igual ao número de colunas. Exemplos: A= matriz quadrada de ordem 3 a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n = matriz quadrada de ordem n (n linhas e n colunas) a n1 a n2 a n3... a nn Diagonal Principal: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n que possui dois índices iguais. Na matriz n x n acima: Diagonal Principal = {a 11, a 22, a 33,..., a nn } Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n cuja soma dos índices é igual a (n + 1). Na matriz n x n acima: Diagonal Secundária = {a 1n, a 2(n-1), a 3(n-2),..., a n1 } Exemplos: A= Diagonal Secundária = {4,3,7} matriz quadrada de ordem 3 Diagonal Principal = {2,3,8} Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (I n ): é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a

6 Exemplos: A= matriz diagonal A= matriz unidade ou identidade (I 3 ) Matriz Triangular: é toda matriz em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Exemplos: A= matriz triangular A= matriz triangular Matriz Escalar: é uma matriz diagonal onde todos os elementos são iguais. Exemplo: A= matriz escalar

7 Memorize para a prova: Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, é toda matriz que possui uma única linha. Matriz Coluna: é toda matriz do tipo m x 1, ou seja, é toda matriz que possui uma única coluna. Matriz Nula: é toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero. Matriz Quadrada de ordem n: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, o número de linhas da matriz é igual ao número de colunas. Diagonal Principal: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n que possui dois índices iguais. Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n cuja soma dos índices é igual a (n + 1). Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (I n ): é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Matriz Triangular: é toda matriz em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Matriz Escalar: é uma matriz diagonal onde todos os elementos são iguais Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn são iguais quando a ij = b ij qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, duas matrizes serão iguais quando forem de mesma ordem e os elementos de posições correspondentes forem iguais. Repare que, para as matrizes serem iguais, devem possuir o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Exemplo: A= = B= a 11 = b 11 = 1; a 12 = b 12 = -2; a 13 = b 13 = 0; a 21 = b 21 = 3; a 22 = b 22 = 4; a 23 = b 23 = -1; a 31 = b 31 = 5; a 32 = b 32 = 7; a 33 = b 33 = -3; 7

8 A igualdade de matrizes costuma ser cobrada em prova da seguinte maneira: Exemplo: Determine x e y de forma que a igualdade das matrizes abaixo seja verdadeira: x+ y = 4 x y 4 2 Como as matrizes são iguais, temos: x + y = 4 x = 4 y (I) x y = 2 (II) Substituindo (I) em (II), temos: 4 y y = 2 2y = 2 y = 1 (III) Substituindo (III) em (I): x = 4 y = 4 1 x = 3 Memorize para a prova: Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn são iguais quando a ij = b ij qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n} Adição de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn, a soma A + B será uma matriz C = (c ij ) mxn, tal que c ij = a ij + b ij, para todo i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, a soma de duas matrizes A e B de ordem m x n será uma matriz C de mesma ordem em que cada elemento será a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B. Só é possível somar matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Exemplo: = = = 2+ 3 =

9 Propriedades da adição de matrizes m x n: I. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) II. Comutativa: A + B = B + A III. Elemento neutro: A + Matriz Nula = A IV. Elemento simétrico: A A = Matriz Nula Matriz Oposta: Dada a matriz A = (a ij ) mxn, denomina-se oposta de A (-A) a matriz B = (b ij ) mxn, tal que A + B = 0. Exemplo: A= A= Memorize para a prova: Soma de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn, a soma A + B será uma matriz C = (c ij ) mxn, tal que c ij = a ij + b ij, para todo i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Propriedades: I. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) II. Comutativa: A + B = B + A III. Elemento neutro: A + Matriz Nula = A IV. Elemento simétrico: A A = Matriz Nula Matriz Oposta: Dada a matriz A = (a ij ) mxn, denomina-se oposta de A (-A) a matriz B = (b ij ) mxn, tal que A + B = Produto de Número por uma Matriz Dados um número k e uma matriz A = (a ij ) mxn, o produto ka será uma matriz B = (b ij ) mxn, tal que b ij = k b ij, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, a multiplicação de uma matriz A de ordem m x n por um número k será uma matriz B formada pelos elementos de A, todos multiplicados por k. Exemplo: A= 4 B= =

10 Propriedades do produto de um número por uma matriz m x n (k e p são números reais): I. Associativa: k x (p x B) = (kp) x B II. Distributiva em relação à adição: k x (A + B) = k x A + k x B III. Dist. em relação à adição de números: (k + p) x A = k x A + p x A IV. Elemento neutro: 1 x A = A Memorize para a prova: Produto de um Número por uma Matriz Dados um número k e uma matriz A = (a ij ) mxn, o produto ka será uma matriz B = (b ij ) mxn, tal que b ij = k b ij, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Propriedades: I. Associativa: k x (p x B) = (kp) x B II. Distributiva em relação à adição: k x (A + B) = k x A + k x B III. Dist. em relação à adição de números: (k + p) x A = k x A + p x A IV. Elemento neutro: 1 x A = A Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b jk ) nxp, o produto AB será uma matriz C = (c ij ) mxp, tal que c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k a in. b nk para todo i = {1, 2, 3,..., m} e k = {1, 2, 3,..., p}. Observações: 1) O produto AB só irá existir se e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Ou seja, A terá que ser da ordem m x n e B da ordem n x p. 2) A matriz C, originada do produto AB, será uma matriz da ordem m x p (mesmo número de linhas da matriz A e mesmo número de colunas da matriz B). 10

11 3) O elemento c ik da matriz C = AB será obtido de acordo com o seguinte procedimento: (I) Toma-se a linha i da matriz A: a i1 ; a i2 ; a i3 ;...; a in (n elementos) (II) Toma-se a coluna k da matriz B: b 1k b 2k b 3k... b nk (n elementos) (III) Coloca-se a linha i da matriz A na vertical, ao lado da coluna k da matriz B: a i1 a i2 a i3 b 1k b 2k b 3k a in b nk (n elementos) (IV) Calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado: a i1 x b 1k a i2 x b 2k a i3 x b 3k a in x b nk (V) Somam-se esses n produtos, obtendo c ik: c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k a in. b nk Exemplos: 1) A= B= 3 4 Calcular AB. I) Primeira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B : 0 x 1 = 0 1 x 3 = 3 c 11 = a 11. b 11 + a 12. b 21 = 0 x x 3 = 3 II) Primeira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B : 0 x 2 = 0 1 x 4 = 4 c 12 = a 11. b 12 + a 12. b 22 = 0 x x 4 =

12 III) Segunda linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B : 2 x 1 = 2 3 x 3 = 9 c 21 = a 21. b 11 + a 22. b 21 = 2 x x 3 = 11 IV) Segunda linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B : 2 x 2 = 4 3 x 4 = 12 c 22 = a 21. b 12 + a 22. b 22 = 2 x x 4 = AB= C= ) A= B= Calcular BA. I) Primeira linha de B (na vertical) x Primeira coluna de A : 1 x 0 = 0 2 x 2 = 4 c 11 = b 11. a 11 + b 12. a 21 = 1 x x 2 = 4 II) Primeira linha de B (na vertical) x Segunda coluna de A : 1 x 1 = 1 2 x 3 = 6 c 12 = b 11. a 12 + b 12. a 22 = 1 x x 3 = 7 III) Segunda linha de B (na vertical) x Primeira coluna de A : 3 x 0 = 0 4 x 2 = 8 c 21 = b 21. a 11 + b 22. a 21 = 3 x x 2 = 8 IV) Segunda linha de B (na vertical) x Segunda coluna de A : 3 x 1 = 3 4 x 3 = 12 c 22 = b 21. a 12 + b 22. a 22 = 3 x x 3 = BA= C= 8 15 Portanto, percebe-se que AB é diferente de BA. 12

13 ATENÇÃO!!! A multiplicação de matrizes não possui a propriedade comutativa. 3) A = A 2 = A. A = Vamos fazer a multiplicação das matrizes (A.A): I) Primeira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A : 0 x 0 = 0 1 x 1 = 1 1 x 1 = 1 c 11 = a 11. a 11 + a 12. a 21 + a 13. a 31 = 0 x x x 1 = 2 II) Primeira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A : 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 2 = 2 c 12 = a 11. a 12 + a 12. a 22 + a 13. a 32 = 0 x x x 2 = 2 III) Primeira linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A : 0 x 1 = 0 1 x 2 = 2 1 x 0 = 0 c 13 = a 11. a 13 + a 12. a 23 + a 13. a 33 = 0 x x x 0 = 2 IV) Segunda linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A : 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 2 x 1 = 1 c 21 = a 21. a 11 + a 22. a 21 + a 23. a 31 = 1 x x x 1 =

14 V) Segunda linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A : 1 x 1 = 1 0 x 0 = 0 2 x 2 = 4 c 22 = a 21. a 12 + a 22. a 22 + a 23. a 32 = 1 x x x 2 = 5 VI) Segunda linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A : 1 x 1 = 1 0 x 2 = 0 2 x 0 = 0 c 23 = a 21. a 13 + a 22. a 23 + a 23. a 33 = 1 x x x 0 = 1 VII) Terceira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A : 1 x 0 = 0 2 x 1 = 2 0 x 1 = 0 c 31 = a 31. a 11 + a 32. a 21 + a 33. a 31 = 1 x x x 1 = 2 VIII) Terceira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A : 1 x 1 = 1 2 x 0 = 0 0 x 2 = 0 c 32 = a 31. a 12 + a 32. a 22 + a 33. a 32 = 1 x x x 2 = 1 IX) Terceira linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A : 1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 0 x 0 = 0 c 33 = a 31. a 13 + a 32. a 23 + a 33. a 33 = 1 x x x 0 = 5 Portanto, a matriz A 2 ficou da seguinte forma: A 2 = A. A = =

15 Propriedades da multiplicação de matrizes: I. Associativa: (A. B). C = A. (B. C) II. III. IV. Distributiva em relação à adição (à esquerda): A. (B + C) = A. B + A. C Distributiva em relação à adição (à direita): (A + B). C = A. C + B. C Elemento neutro: A. I n = A, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Logo, A. A -1 = I n (A -1 é a matriz inversa de A, e será vista adiante). V. (ka). B = A. (kb) = k. (AB) VI. Quando A. B = 0, não implica, necessariamente, que A = 0 ou B = 0. Memorize para a prova: Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b jk ) nxp, o produto AB será uma matriz C = (c ij ) mxp, tal que c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k a in. b nk para todo i = {1, 2, 3,..., m} e k = {1, 2, 3,..., p}. 1) O produto AB só irá existir se e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Ou seja, A terá que ser da ordem m x n e B da ordem n x p. 2) A matriz C, originada do produto AB, será uma matriz da ordem m x p (mesmo número de linhas da matriz A e mesmo número de colunas da matriz B). Propriedades: I. Associativa: (A. B). C = A. (B. C) II. Distributiva em relação à adição (à esquerda): A. (B + C) = A. B + A. C III. Distributiva em relação à adição (à direita): (A + B). C = A. C + B. C IV. Elemento neutro: A. I n = A, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Logo, A. A -1 = I n (A -1 é a matriz inversa de A, e será vista adiante). V. (ka). B = A. (kb) = k. (AB) VI. Quando A. B = 0, não implica, necessariamente, que A = 0 ou B =

16 Matriz Transposta Uma matriz B = (b ji ) nxm é transposta de uma matriz A = (a ij ) mxn, se a ij = b ji, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Repare que a matriz B possui n linhas e m colunas, enquanto a que a matriz A possui m linhas e n colunas. Ou seja, matriz transposta B (representada A t ) representa a inversão dos elementos de A. O que era linha passa a ser coluna e o que era coluna passa a ser linha. Exemplos: A A t = = A= => A t = a 11 = a t 11 = 1; a 12 = a t 21 = 4; a 13 = a t 31 = 2 a 21 = a t 12 = 3; a 22 = a t 22 = 8; a 23 = a t 32 = 7 a 31 = a t 13 = -1; a 32 = a t 23 = 6; a 33 = a t 33 = 5 Propriedades (k é um número real): I. (A t ) t = A II. (A + B) t = A t + B t III. (ka) t = k. A t IV. (AB) t = B t. A t Matriz Simétrica: Se a transposta A t da matriz A for igual a própria matriz A, então A t é uma matriz simétrica de A (só ocorre se a matriz A for quadrada). Exemplo: A A t = = matrizes simétricas Matriz Anti-Simétrica: corresponde a toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que A t = - A, ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos. Exemplo: A A t = = A t = - A anti-simétrica 16

17 Memorize para a prova: Matriz Transposta A matriz transposta B (representada A t ) representa a inversão dos elementos de A. O que era linha passa a ser coluna e o que era coluna passa a ser linha. Propriedades (k é um número real): I. (A t ) t = A II. (A + B) t = A t + B t III. (ka) t = k. A t IV. (AB) t = B t. A t Matriz Simétrica: Se a transposta A t da matriz A for igual a própria matriz A, então A t é uma matriz simétrica de A (só ocorre se a matriz A for quadrada). Matriz Anti-Simétrica: corresponde a toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que A t = - A, ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos Matriz Inversível Uma matriz quadrada A, de ordem n, será inversível se existir uma matriz B tal que: AB = BA = I n (matriz identidade). Esta matriz B também é quadrada, de ordem n, é única e é conhecida como matriz inversa, sendo representada por A -1. Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada matriz singular. Exemplo: Qual é a matriz inversa da matriz abaixo? A= a b A A= I2 = c d a+ 5b 7a+ 11b 1 0 = 3c+ 5d 7c+ 11d 0 1 3a + 5b = 1 (I) 7a + 11b = 0 a = -11b/7 (II) 17

18 Substituindo (II) em (I): 3 x (-11b/7) + 5b = 1 ( )b = 7 b = 7/2 (III) Substituindo (III) em (II): a = -11 x (7/2)/7 = - 11/2 3c + 5d = 0 c = -5d/3 (IV) 7c + 11d = 1 (V) Substituindo (IV) em (V): 7 x (-5d/3) + 11d = 1 ( )d = 3 => d = -3/2 (VI) Substituindo (VI) em (IV): c = -5 x (-3/2)/3 = 5/2 A 1= Memorize para a prova: Matriz Inversível Uma matriz quadrada A, de ordem n, será inversível se existir uma matriz B tal que: AB = BA = I n (matriz identidade). Esta matriz B também é quadrada, de ordem n, é única e é conhecida como matriz inversa, sendo representada por A -1. Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada matriz singular Determinantes Definições Para obter o determinante de uma matriz quadrada A (det A), de ordem n (n 3), devemos adotar o seguinte procedimento: 1) n = 1. Nesta situação, o determinante de A é o único elemento de A. A = [a 11 ] det A = a 11 Exemplo: A = [23] det A =

19 2) n = 2. Nesta situação, o determinante de A será o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. a a A= det A = a a a 11. a 22 - a 12. a Exemplo: 3 1 A= det A= ( 1) = cos x senx B= det B= cos x.cos y senx. seny= cos( x+ y) seny cos y 3) n = 3. Nesta situação, temos: a a a A= a a a a a a det A = a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a 32 - a 13. a 22. a 31 - a 11. a 23. a 32 - a 12. a 21. a 33 Para memorizar esta fórmula, vamos adotar o seguinte procedimento, também conhecido como Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de ordem 3: a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas a a a a a A= a a a a a a a a a a b) Os termos precedidos do sinal + são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal: a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a

20 c) Os termos precedidos do sinal - são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária: - a 13. a 22. a 31 a 11. a 23. a 32 - a 12. a 21. a 33 Exemplo: A= det A= = 1x2x2+ 3 x( 3) x1+ 4x5x4 4x2x1 1 x( 3) x4 3x5x det A= = 49 Outra forma de memorizar: I) Os termos precedidos pelo sinal + são obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: a a a A= a a a a a a a 13 x a 21 x a 32 a 12 x a 23 x a 31 a 11 x a 22 x a 33 II) Os termos precedidos pelo sinal - são obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: a a a A= a a a a a a a 13 x a 22 x a 31 a 11 x a 32 x a 23 a 12 x a 21 x a

21 Memorize para a prova: Determinante 1) n = 1. Nesta situação, o determinante de A é o único elemento de A. det A = a 11 2) n = 2. Nesta situação, o determinante de A será o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. det A = a 11. a 22 - a 12. a 21 3) n = 3. Nesta situação, temos: det A = a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a 32 - a 13. a 22. a 31 - a 11. a 23. a 32 - a 12. a 21. a 33 Para n = 3 é mais fácil adotar a Regra de Sarrus Propriedades dos Determinantes I) det A = det A t Exemplos: A A t = = det A= 3 1 ( 2) 4= 3+ 8= 11 det A t = ( 2) = 3+ 8= A= => A t = det A= ( 1) ( 1) det A= = 38 det A t = ( 1) ( 1) det A t = = 38 II) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz A, de ordem n, forem todos nulos, então det A =

22 Exemplos: 0 0 A= 4 3 det A= = 0 A= det A= = 0 III) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número k, o determinante na nova matriz A será o produto de k pelo determinante de A. det A = k. det A. Também é válida para divisão por um número k. Neste caso, teríamos: det A = (1/k). det A. Exemplos: 2 1 A= 4 3 det A= = 2 k = 2( coluna1) A = = det A = = 4= 2x2 A= det A= det A= = 18 k = 1( linha1) A = 1 ( 1) 4 ( 1) 2 ( 1) = det A = ( 1) ( 4) ( 2) 6 2 ( 2) 8 3 ( 1) ( 4) 5 det A = =

23 Nota: Como conseqüência da propriedade acima, se multiplicarmos toda a matriz por um número k, det (ka) = k n. det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A. Exemplo: 2 1 A=, n= det A= = A = 2. A= 8 6 = = = = 2 det A IV) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A, tal que: det A = - det A. Exemplos: 2 1 A= 4 3 det A= = A = 3 4 det A = = 2 A= det A= det A= = A = det A = det A = =

24 V) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais. Portanto, det A = 0. Exemplos: 2 2 A= 2 2 det A= = A= det A= det A= = 0 VI) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0. Exemplos: 2 1 A= 2 1 det A= = , A= linha = linha det A= det A= = 0 VII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui uma fila que é uma combinação linear das outras filas. Portanto, det A = 0. Exemplo: , A= linha = xlinha + linha det A= det A= =

25 VIII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal. Exemplo: A= det A= det A= 1 5 5= 25 IX) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal secundária iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal (secundária) multiplicado por: (-1) n.(n-1)/2, onde n é a ordem da matriz quadrada. Exemplo: A= det A= ( 2) ( 2) det A= 2 5 4= 40 ou 3 (3 1) 2 det A= ( 1) ( 2) 5 4= 40 X) Teorema de Binet: Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. det (AB) = det (A).det(B). Exemplo: 2 0 A= 2 1 det A= = B= 3 4 det B= = 2 det A det B= 2 ( 2) = A. B=. = = det AB= = 16 20=

26 Nota: Como A. A -1 = I n, pela propriedade acima, temos: det(a.a -1 )= det(i n ) det A. det A -1 = 1 det A -1 = 1/det A o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz. uma outra conseqüência é que uma matriz somente terá matriz inversa se o seu determinante for diferente de zero. Memorize para a prova: Propriedades dos Determinantes: I) det A = det A t II) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz A, de ordem n, forem todos nulos, então det A = 0. III) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número k, o determinante na nova matriz A será o produto de k pelo determinante de A. det A = k. det A. Também é válida para divisão por um número k. Neste caso, teríamos: det A = (1/k). det A. Nota: Como conseqüência da propriedade acima, se multiplicarmos toda a matriz por um número k, det (ka) = k n. det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A. IV) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A, tal que: det A = - det A. V) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais. Portanto, det A = 0. VI) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0. VII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui uma fila que é uma combinação linear das outras filas. Portanto, det A = 0. VIII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal. IX) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal secundária iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal (secundária) multiplicado por: (-1) n.(n-1)/2, onde n é a ordem da matriz quadrada. X) Teorema de Binet: Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. det (AB) = det (A).det(B). Nota: Como A. A -1 = I n, pela propriedade acima, temos: det(a.a -1 )= det(i n ) det A. det A -1 = 1 det A -1 = 1/det A o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz. uma outra conseqüência é que uma matriz somente terá matriz inversa se o seu determinante for diferente de zero. 26

27 Complemento Algébrico ou Cofator e Menor Complementar O cofator ou complemento algébrico do elemento a ij de uma matriz A é representado por: A ij = (-1) i+j. D ij, onde D ij (ou menor complementar) é o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A. Exemplos de cálculo do menor complementar: 1) Seja A= Calcule D 11, D 21 e D A= D = det = 2 2 ( 3) 4= A= D = det = = A= D = det = 3 ( 3) 4 2= ) Seja 7 8 A=. Calcule D 12 e D A= D = A= D =

28 Exemplos de cálculo do menor complemento algébrico: 1) Seja A= Calcule A 11, A 21 e A A= D = det 2 2 ( 3) 4 16 A ( 1) 1+ 1 = = = 16= A= D = det A ( 1) 2+ 1 = = = ( 10) = A= D = det = 3 ( 3) 4 2= 17 A = ( 1) 3+ 1 ( 17) = ) Seja 7 8 A=. Calcule A 12 e A A= D 4 A ( 1) 1+ 2 = = 4= A= D 7 A ( 1) 2+ 2 = = 7= Memorize para a prova: Cofator ou Complemento Algébrico e Menor Complementar O cofator ou complemento algébrico do elemento a ij de uma matriz A é representado por: A ij = (-1) i+j. D ij, onde D ij (ou menor complementar) é o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A. 28

29 Matriz dos Cofatores A matriz dos cofatores da matriz A, denominada A, é formada pelos cofatores encontrados para cada elemento da matriz A. Exemplo: 1) Seja 7 8 A=. Calcule a matriz do cofatores A A= D 5 A ( 1) 1+ 1 = = 5= A= D 4 A ( 1) 1+ 2 = = 4= A= D 8 A ( 1) 2+ 1 = = 8= A= D 7 A ( 1) 2+ 2 = = 7= A = 8 7 2) Seja A= Calcule a matriz dos cofatores A A= D = det 2 2 ( 3) 4 16 A ( 1) 1+ 1 = = = 16= A= D = det A ( 1) 2+ 1 = = = ( 10) = A= D = det = 3 ( 3) 4 2= 17 A = ( 1) 3+ 1 ( 17) = Wada, CPF: , vedada, quaisquer

30 det 5 2 ( 3) 1 13 ( 1) A= D = = = A = = A= D = det A ( 1) 2+ 2 = = = ( 2) = A= D = det = 1 ( 3) 4 5= 23 A = ( 1) 3+ 2 ( 23) = A= D = det A ( 1) 1+ 3 = = = 18= A= D = det A ( 1) 2+ 3 = = = 1= A= D = det = = 13 A = ( 1) 3+ 3 ( 13) = A = Matriz Adjunta: é a matriz transposta da matriz dos cofatores. Matriz Adjunta de A = (A ) t Exemplo: No exemplo anterior (2), a matriz adjunta seria: A=

31 Matriz Inversa: nós aprendemos a calcular a matriz inversa utilizando um sistema de equações. Agora, vamos aprender a calcular a matriz inversa utilizando a matriz dos cofatores. O procedimento é o seguinte para encontrar a matriz inversa da matriz A: 1) Calcular o determinante da matriz A; 2) Calcular a matriz dos cofatores; 3) Obter a matriz adjunta da matriz A (transposta da matriz dos cofatores); 4) Dividir cada um dos elementos da matriz ajunta pelo determinante da matriz A. Fórmula: A = A det A 1 1 Exemplo: Qual é a matriz inversa da matriz abaixo? 3 7 A= 5 11 Solução: det A= = 33 35= 2 D D D D = 11 A = ( 1) 11= = 5 A = ( 1) 5= = 7 A = ( 1) 7= = 3 A = ( 1) 3= A ( cofatores) = A( adjunta) = A = A= = det A

32 Mais uma Propriedade dos determinantes: XI) Teorema de Laplace: é possível calcular o determinante de uma matriz de ordem n por meio do somatório do produto do elemento pelo seu cofator para uma única fila (linha ou coluna). Exemplo: Determine o determinante da matriz abaixo utilizando o teorema de Laplace? 3 7 A= 5 11 Solução: det A= = 33 35= 2 D = 11 A = ( 1) = D = 5 A = ( 1) = Laplace: det A= a A + a A = ( 5) = 33 35= Memorize para a prova: Matriz dos Cofatores A matriz dos cofatores da matriz A, denominada A, é formada pelos cofatores encontrados para cada elemento da matriz A. Matriz Adjunta: é a matriz transposta da matriz dos cofatores. Matriz Adjunta de A = (A ) t Matriz Inversa: Outro procedimento para encontrar a matriz inversa da matriz A: 1) Calcular o determinante da matriz A; 2) Calcular a matriz dos cofatores; 3) Obter a matriz adjunta da matriz A (transposta da matriz dos cofatores); 4) Dividir cada um dos elementos da matriz ajunta pelo determinante da matriz A. Fórmula: A = A det A 1 1 Teorema de Laplace: é possível calcular o determinante de uma matriz de ordem n por meio do somatório do produto do elemento pelo seu cofator para uma única fila (linha ou coluna). 32

33 7.3. Solução de Sistemas Lineares Sistemas lineares são conjuntos de equações (duas ou mais) em que se deseja encontrar a solução, ou seja, uma solução que atende e torne todas as equações verdadeiras. Exemplos: S 1: 2x + 6y = 4 x y = 5 No sistema linear S 1, temos duas equações e duas incógnitas (x e y). S 2: 2x + 3y + 3z = 4 x y + z= 2 3x + y 2z = 0 No sistema linear S 2, temos três equações e três incógnitas (x, y e z). Se um sistema linear S tiver, pelo menos, uma solução, ele será possível ou compatível. Caso não tenha nenhuma solução, S será impossível ou incompatível. Para achar a solução de sistemas lineares, apresentarei três métodos: método da substituição, regra de Cramer e método da eliminação de Gauss. Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial. Exemplo de sistema linear homogêneo: 2x - 3y + z = 0 3x + 5y + 7z = 0 x + 2y + 3z = 0 Solução Trivial: seria, simplesmente, admitir como solução x = 0, y = 0, z = 0, etc. No caso do exemplo acima: se x = y = z = 0, teríamos: 2x - 3y + z = = 0 0 = 0 (ok) 3x + 5y + 7z = = 0 => 0 = 0 (ok) x + 2y + 3z = = 0 0 = 0 (ok) 33

34 Solução Não Trivial: seria a outra solução possível e determinada para x e y diferentes de zero. Memorize para a prova: Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial Método da Substituição Por este método, você deve isolar uma variável em uma equação, substituir na seguinte, e assim por diante (dependendo do número de equações), de modo que, na última equação, você possua uma única variável a encontrar. Depois de encontrada a primeira variável, basta fazer o caminho inverso para encontrar as demais. Vamos a um exemplo para entender melhor o método. Exemplos: 1) S 1: 2x + 6y = 4 (I) x y = 5 (II) Isolar x em (I): De (I), temos: 2x + 6y = 4 2x = (4 6y) x = 2 3y (III) Encontrar y utilizando (II): Substituindo (III) em (II): 2 3y y = 5-4y = 3 y = -3/4 (IV) Fazer o caminho inverso: Substituindo (IV) em (III): x = 2 3. (-3/4) = 2 + 9/4 x = 17/4 2) S 2: x + y + z = 4 (I) x y + 3z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III) Isolar x em (I): x + y + z = 4 x = 4 y z (IV) Substituir x em (II) e isolar y: Substituindo (IV) em (II): 4 y z y + 3z = 2-2y + 2z = -2 -y + z = -1 -y = -1 z y = 1 + z (V) 34

35 Substituir x (IV) e y (V) em (III) e encontrar z: 3x + y 2z = 3 3 (4 y z) z 2z = y 3z + 1 z = (1+z) 4z + 1 = z 4z + 1 = 3-7z = 3 10 => -7z = -7 z = 1 (VI) Fazer o caminho inverso: Substituir (VI) em (V): y = 1 + z = y = 2 (VII) Substituir (VI) e (VII) em (IV): x = 4 y z = x = 1 Memorize para a prova: Sistemas Lineares Método da Substituição Por este método, você deve isolar uma variável em uma equação, substituir na seguinte, e assim por diante (dependendo do número de equações), de modo que, na última equação, você possua uma única variável a encontrar. Depois de encontrada a primeira variável, basta fazer o caminho inverso para encontrar as demais Regra de Cramer Também é possível representar um sistema linear por meio de matrizes: Exemplo: S 2: x + y + z = 4 (I) x y + 3z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III) x 4 1. x+ 1. y+ 1. z y= 2 1. x 1. y+ 3. z= z 3 3. x+ 1. y 2. z 3 Primeira matriz: matriz incompleta (formada pelos coeficientes das variáveis) Segunda matriz: matriz das incógnitas Ainda há a matriz completa, que é formada pelos coeficientes das variáveis e pelos termos independentes (termos após o sinal de igual), conforme abaixo:

36 Quando o número de equações do sistema é igual ao número de variáveis, e o determinante da matriz incompleta é diferente de zero, o sistema é denominado sistema normal. Para todo sistema normal, é possível obter a sua solução por meio do procedimento abaixo: x = D x /D; y = D y /D e z = D z /D e, assim sucessivamente, para as demais variáveis, se houver. No nosso caso, iremos concentrar nossas resoluções em sistemas normais de duas ou três variáveis. D determinante da matriz incompleta. D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. D z determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. Exemplo: S 2: x + y + z = 4 (I) x y + 2z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III) x y= z 3 Termos Independentes Matriz Incompleta Matriz das Incógnitas D determinante da matriz incompleta D = 1.(-1).(-2) (-1) (-2) D = = 14 D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes D x = 4.(-1).(-2) (-1) (-2)

37 D x = =14 x = D x /D = 14/14 x = 1 D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes D y = 1.2.(-2) (-2) D y = =28 y = D y /D = 28/14 y = 2 D z determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes D z = 1.(-1) (-1) D z = =14 z = D/D z = 14/14 z = 1 Análise de um sistema: 1) Sistema possível e determinado: D 0 (uma única solução). 2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes D x, D y e D z forem iguais a zero. 3) Impossível: D = 0 e (D x ou D y ou D z ) forem diferentes de zero. Memorize para a prova: Regra de Cramer Primeira matriz: matriz incompleta (formada pelos coeficientes das variáveis) Segunda matriz: matriz das incógnitas Matriz completa: formada pelos coeficientes das variáveis e pelos termos independentes (termos após o sinal de igual). x = D x /D; y = D y /D e z = D z /D e, assim sucessivamente, para as demais variáveis, se houver. No nosso caso, iremos concentrar nossas resoluções em sistemas normais de duas ou três variáveis. D determinante da matriz incompleta. D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. D z determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. 37

38 Memorize para a prova: Regra de Cramer - Análise de um sistema: 1) Sistema possível e determinado: D 0 (uma única solução). 2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes D x, D y e D z forem iguais a zero. 3) Impossível: D = 0 e (D x ou D y ou D z ) forem diferentes de zero Método de Eliminação de Gauss Vou ensinar mais este método de resolução de sistemas lineares, mas considere como uma leitura complementar, tendo em vista que os dois primeiros métodos já são suficientes para a resolução de questões. Suponha o seguinte sistema linear: X + 2Y + 4Z = 5 (I) 2X - Y + 2Z = 8 (II) 3X -3y - Z =7 (III) X Y = Z 7 Matriz Completa: I Primeira Eliminação de Gauss: os coeficientes abaixo de a 11 ficarão iguais a zero, fazendo a transformação abaixo: a 11 = 1 (diferente de zero) λ 1 = a 21 / a 11 = 2/1 = 2 a 22 = a 22 - λ 1 x a 12 = -1 2 x 2 = -5 a 23 = a 23 - λ 1 x a 13 = 2 2 x 4 = -6 a 24 = a 24 - λ 1 x a 14 = 8 2 x 5 = -2 λ 2 = a 31 / a 11 = 3/1 = 3 a 32 = a 32 λ 2 x a 12 = -3 3 x 2 = -9 a 33 = a 33 λ 2 x a 13 = -1 3 x 4 = -13 a 34 = a 34 λ 2 x a 14 = 7 3 x 5 =

39 II Segunda Eliminação de Gauss: os coeficientes abaixo de a 22 ficarão iguais a zero, fazendo a transformação abaixo: a 22 = -5 (diferente de zero) λ 3 = a 32 / a 22 = -9/-5 = 9/5 a 33 = a 33 λ 3 x a 23 = -13 9/5 x (-6) = /5 = -11/5 a 34 = a 34 λ 3 x a 24 = -8 9/5 x (-2) = /5 = -22/ /5-22/5 III Substituição retrocedida: X Y = /5 Z -22/5-11/5 x Z = -22/5 Z = 2 (linha 3 da matriz) -5 Y 6 Z = -2-5Y 6 x 2 = -2-5Y = 10 Y = - 2 (linha 2 da matriz) X + 2Y + 4Z = 5 X + 2 x (-2) + 4 x 2 = 5 X = 1 (linha 1 da matriz) 39

40 7.4. Memorize para a prova Matrizes m = número de linhas da matriz n = número de colunas da matriz a ij = elemento da matriz. O índice i indica a linha e o índice j indica a coluna às quais o elemento pertence. a mn = representa o elemento localizado linha m e na coluna n. A representação de uma matriz, então, ficaria do seguinte modo: a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n Representação de uma matriz de m linhas e n colunas a m1 a m2 a m3... a mn Ordem de uma matriz: representa a quantidade de linhas e colunas da matriz. Portanto, uma matriz de m linhas e de n de colunas é uma matriz de ordem m x n. Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, é toda matriz que possui uma única linha. Matriz Coluna: é toda matriz do tipo m x 1, ou seja, é toda matriz que possui uma única coluna. Matriz Nula: é toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero. Matriz Quadrada de ordem n: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, o número de linhas da matriz é igual ao número de colunas. Exemplo: A= matriz quadrada de ordem 3 Diagonal Principal: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n que possui dois índices iguais. 40

41 Na matriz n x n acima: Diagonal Principal = {a 11, a 22, a 33,..., a nn } Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n cuja soma dos índices é igual a (n + 1). Na matriz n x n acima: Diagonal Secundária = {a 1n, a 2(n-1), a 3(n-2),..., a n1 } Exemplos: A= Diagonal Secundária = {4,3,7} matriz quadrada de ordem 3 Diagonal Principal = {2,3,8} Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (I n ): é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Matriz Triangular: é toda matriz em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Matriz Escalar: é uma matriz diagonal onde todos os elementos são iguais. Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn são iguais quando a ij = b ij qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, duas matrizes serão iguais quando forem de mesma ordem e os elementos de posições correspondentes forem iguais. Repare que, para as matrizes serem iguais, devem possuir o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Adição de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn, a soma A + B será uma matriz C = (c ij ) mxn, tal que c ij = a ij + b ij, para todo i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, a soma de duas matrizes A e B de ordem m x n será uma matriz C de mesma ordem em que cada elemento será a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B. Só é possível somar matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Propriedades da adição de matrizes m x n: Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Comutativa: A + B = B + A 41

42 Elemento neutro: A + Matriz Nula = A Elemento simétrico: A A = Matriz Nula Matriz Oposta: Dada a matriz A = (a ij ) mxn, denomina-se oposta de A (-A) a matriz B = (b ij ) mxn, tal que A + B = 0. Produto de um Número por uma Matriz Dados um número k e uma matriz A = (a ij ) mxn, o produto ka será uma matriz B = (b ij ) mxn, tal que b ij = k b ij, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, a multiplicação de uma matriz A de ordem m x n por um número k será uma matriz B formada pelos elementos de A, todos multiplicados por k. Propriedades do produto de um número por uma matriz m x n (k e p são números reais): Associativa: k x (p x B) = (kp) x B Distributiva em relação à adição: k x (A + B) = k x A + k x B Dist. em relação à adição de números: (k + p) x A = k x A + p x A Elemento neutro: 1 x A = A Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b jk ) nxp, o produto AB será uma matriz C = (c ij ) mxp, tal que c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k a in. b nk para todo i = {1, 2, 3,..., m} e k = {1, 2, 3,..., p}. Observações: 1) O produto AB só irá existir se e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Ou seja, A terá que ser da ordem m x n e B da ordem n x p. 2) A matriz C, originada do produto AB, será uma matriz da ordem m x p (mesmo número de linhas da matriz A e mesmo número de colunas da matriz B). 3) O elemento c ik da matriz C = AB será obtido de acordo com o seguinte procedimento: (I) Toma-se a linha i da matriz A: a i1 ; a i2 ; a i3 ;...; a in (n elementos) (II) Toma-se a coluna k da matriz B: b 1k b 2k b 3k... b nk (n elementos) 42

43 (III) Coloca-se a linha i da matriz A na vertical, ao lado da coluna k da matriz B: a i1 a i2 a i3 b 1k b 2k b 3k a in b nk (n elementos) (IV) Calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado: a i1 x b 1k a i2 x b 2k a i3 x b 3k a in x b nk (V) Somam-se esses n produtos, obtendo c ik: c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k a in. b nk Exemplo: 0 1 A= B= 3 4 Calcular AB. I) Primeira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B : 0 x 1 = 0 1 x 3 = 3 c 11 = a 11. b 11 + a 12. b 21 = 0 x x 3 = 3 II) Primeira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B : 0 x 2 = 0 1 x 4 = 4 c 12 = a 11. b 12 + a 12. b 22 = 0 x x 4 = 4 III) Segunda linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B : 2 x 1 = 2 3 x 3 = 9 c 21 = a 21. b 11 + a 22. b 21 = 2 x x 3 = 11 IV) Segunda linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B : 2 x 2 = 4 3 x 4 = 12 c 22 = a 21. b 12 + a 22. b 22 = 2 x x 4 = AB= C=

44 ATENÇÃO!!! A multiplicação de matrizes não possui a propriedade comutativa. Propriedades da multiplicação de matrizes: Associativa: (A. B). C = A. (B. C) Distributiva em relação à adição (à esquerda): A. (B + C) = A. B + A. C Distributiva em relação à adição (à direita): (A + B). C = A. C + B. C Elemento neutro: A. I n = A, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Logo, A. A -1 = I n (A -1 é a matriz inversa de A, e será vista adiante). (ka). B = A. (kb) = k. (AB) Quando A. B = 0, não implica, necessariamente, que A = 0 ou B = 0. Matriz Transposta Uma matriz B = (b ji ) nxm é transposta de uma matriz A = (a ij ) mxn, se a ij = b ji, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Repare que a matriz B possui n linhas e m colunas, enquanto a que a matriz A possui m linhas e n colunas. Ou seja, matriz transposta B (representada A t ) representa a inversão dos elementos de A. O que era linha passa a ser coluna e o que era coluna passa a ser linha. Propriedades (k é um número real): (A t ) t = A (A + B) t = A t + B t (ka) t = k. A t (AB) t = B t. A t Matriz Simétrica: Se a transposta A t da matriz A for igual a própria matriz A, então A t é uma matriz simétrica de A (só ocorre se a matriz A for quadrada). Matriz Anti-Simétrica: corresponde a toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que A t = - A, ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos. Matriz Inversível: Uma matriz quadrada A, de ordem n, será inversível se existir uma matriz B tal que: AB = BA = I n (matriz identidade). Esta matriz B também é quadrada, de ordem n, é única e é conhecida como matriz inversa, sendo representada por A