Álgebra Linear. Aula 02

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1 Álgebra Linear Aula

2 Determinante

3 Para aproveitar 1% dessa aula vocês precisam saber: ü Matrizes ü Equação do 1º grau ü Equação do º grau

4 Como representamos o determinante de uma matriz? Colocando os elementos de uma matriz entre duas barras verticais. Exemplos: A B 1 Det A DetB

5 Como calculamos o determinante de uma matriz quadrada? à Se for uma matriz de ordem 1, então o determinante é o próprio elemento da matriz. Exemplo: ( 4) det 4 4 A A

6 à Se for uma matriz de ordem, então o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo: A det A

7 Exercício x 1 x y (UF-PI) Sejam A e B y 1 1 Se det A 4 e det B, então, x + y é igual a: a) b) c) 4 d) 5 e) 6

8 Solução x 6 x 4 4 ) ( 4 1 det + y x y x y x A 1 1 det y x y x B y x y x y x y x x - y - y y Logo, x + y + Resposta: letra A.

9 à Se for uma matriz de ordem, então o determinante é calculado através da Regra de Sarrus.

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11 Exemplo: det A det A

12 Exercício (Cefet-MG) O(s) valor(es) de x para que 1 x x 1 8 é (ou são): x a) -1 b) 1 c) d) -1 e 1 e) -1 e

13 Solução 1 x x x 1 1 x 1 x 1 x 8 8 x x - - 6x -x -x - + 6x -x -x -8 -x + 4x +6 As raízes são -1 e. Resposta: letra E.

14 Propriedades dos Determinantes

15 Casos em que um determinante é igual a ZERO: 1 5 Ex: 1) ) Quando todos os elementos de uma fila são nulos Uma fila pode ser uma linha ou uma coluna

16 Casos em que um determinante é igual a ZERO: ) L 1 L π ) C 1 C Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

17 Casos em que um determinante é igual a ZERO: 5) L 1 + L L 1 5 6) C 1 + C C Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

18 Outras propriedades: Ex: 1) ) a b c Se x y z 1, r s t a x r então b y s 1 c z t det(a)det(a t )

19 Outras propriedades: Ex: 1) ) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal

20 Outras propriedades: Ex: 1) a b c ) Se x y z 5, r s t r s t então x y z 5 a b c Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal

21 Outras propriedades: Ex: 1) ) a b c Se x y z 1, r s t a b c então 7. x 7. y 7. z 7.1 r s t 7 Se uma fila for multiplicada por um n o, então o determinante também fica multiplicado por esse n o

22 Outras propriedades: Ex: 1) ) Se A é x com det(a) det(.a).det(a) 5, 8.5 então 4 det(k.a)k n. det(a), onde n é a ordem de A

23 Outras propriedades: 4 1 Ex: Sejam A e B. 5 7 Quanto valedet(a.b)? deta 11 detb 1 det(a.b) det(a.b)deta.detb

24 Consequênc ia : A.A -1 I det(a.a -1 ) det(i) det(a).det(a -1 ) 1 det(a -1 ) 1/detA Ex: O determinanteda inversa de A 5 9 é : det(a -1 ) 1/detA 1/ det(a -1 )1/detA

25 Para calcular determinantes de ordem superior a... u Método de Laplace ou u Desenvolvimento de um Determinante por uma Linha ou por uma Coluna. +! +!! +! + +! +!! +! +

26 Teorema de Laplace Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores. Esse teorema nos permite calcular o determinante de matrizes de ordem maior que. Porém, antes vamos aprender os conceitos de Cofator.

27 O que é Cofator de uma matriz? É o produto de (-1) i+j (sendo i e j o índice de um elemento) pelo determinante da matriz obtida quando eliminamos a linha e a coluna desse elemento. Exemplo: Considerando a matriz A

28 Vamos calcular os cofator c A C 11 (-1) 1+1. C 11 1.[-.(-) - (-1). 4] C c 11 c 1 c 1 c 1 c c c 1 c c! " # # # $ % & & & Matriz dos Cofatores

29 Vamos calcular os cofator c A C (-1) +. C -1.[ ] -1. (8 - ) -1(-) C c 11 c 1 c 1 c 1 c c c 1 c c! " # # # $ % & & & Matriz dos Cofatores

30 Teorema de Laplace Dada uma matriz quadrada de ordem n > 1, o determinante da matriz A será o número real que se obtém somando-se os produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores. Exemplo: Considerando a matriz 5 A 1 6 4

31 A C 1 (-1) [5.(-). 4] 7 C (-1) +. 1.[.(-) - (. 6)] -4 C (-1) [ )] Vamos calcular o determinante usando a segunda linha.

32 Pelo Teorema de Laplace é: det A 7. + (-4).(-) +.(-1) det A det A A Então, o cálculo do determinante da matriz

33 Inversão de Matrizes

34 Inversão de Matrizes Se A é uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B B.A I n. Dada uma matriz M inversível (não-singular), chama-se inversa de A, a matriz M -1, que é única, tal que M. M -1 M -1.M I n. Quando uma matriz M não é inversível, ela é dita matriz singular, cujo determinante é nulo. Logo, a matriz singular não tem inversa.

35 I ) (A + B) -1 A -1 + B -1 II ) (A -1 ) -1 A III ) I -1 I inversa) (A matriz unidade é a sua própria IV) (α.a) -1 (1/α). A -1, onde α IR e α V ) (A.B) -1 B -1.A -1

36 Como calcular a Matriz Inversa? Há processos:

37 Lembrando que M. M -1 I n. Por meio de determinantes, temos: M M-1 é a matriz M invertida. 1 1 det M ( ) t. M' det M é o determinante da matriz M a inverter. (M ) t é a matriz de cofatores transposta de M. Por meio de operações elementares. A I è I A -1

38 EXEMPLO 1 Obtenha a matriz inversa das matrizes abaixo, pelos processos. 1 1 a)a c)c b)b d)d

39 SOLUÇÃO I 1.A I 4 1 A.A I 1 x x x A 1 x z y w 1 x z 1. 4 y w 1 x+ y z+ w 1 x + 4y z + 4w 1 AGORA É SÓ RESOLVER OS SISTEMAS

40 1 x z 1 x+ y z+ w 1. 4 y w 1 x + 4y z + 4w 1 x+ y 1 z+ w x + 4y z + 4w 1 y / x - w -1/ z 1 A 1 x z 1 y w / 1/

41 M 1 A 4 11 SOLUÇÃO II.( M' ) t A. ( A' ) t 1 1 det M A ( 1).4 4 A ( 1) det A 1 ;det A t A' (A') A. 1 / 1/ 1+ A ( 1). + A ( 1).1 1

42 A I è I A -1 SOLUÇÃO III A L1.L1 - L L L +.L L1 - L1 L4 L4 : / 1/ A -1 PERCEBERAM QUE OS RESULTADOS NOS PROCESSOS SÃO OS MESMOS?

43 Bibliografias u u u u STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987; BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. Álgebra linear a edição Ed. Harbra São Paulo SP STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Introdução a Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo; KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 6.