MATRIZES. Fundamentos de Matemática- Ciências Contábeis

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Ágata Gesser
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1 MATRIZES Fundamentos de Matemática- Ciências Contábeis

2 INTRODUÇÃO Nas próximas aulas veremos os conceitos básicos sobre matrizes. Estes conceitos aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essenciais, não apenas porque eles ordenam e simplificam o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução.

3 DEFINIÇÕES Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. O tamanho (ou dimensão) de uma matriz corresponde ao número de linhas (m) e colunas (n) existentes na matriz, por esse motivo denominada matriz m x n (lê-se m por n) ou matriz de ordem m x n Dada a matriz A m x n, denomina-se o elemento a ij ao componente da matriz que ocupar a linha i e a coluna j, onde 1 i m e 1 j n..

4 Uma matriz é representada da seguinte maneira:

5 EXEMPLO: Exercício 1:

6 MATRIZES ESPECIAIS Seja a matriz a) Se m = 1 e n > 1, a matriz é chamada matriz linha. b) Se m > 1 e n = 1, a matriz é denominada matriz coluna.

7 c) Se m = n, a matriz mxm é dita matriz quadrada de ordem m. EXEMPLO: B= 1 cos 2 0 2, π, B é uma matriz quadrada de ordem 3.

8 f) Matriz diagonal é uma matriz quadrada, onde a ij = 0 para, isto é, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. g) Matriz nula é a matriz em que todos os seus elementos são nulos. Notação:. h) Matriz identidade é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais são todos nulos. Notação: I n, onde n indica a ordem da matriz.

9 IGUALDADE DE MATRIZES Duas matrizes A = a ij mxn e B = b ij mxn são iguais quando a ij = b ij para todo i = 1,..., m e todo j = 1,...,n. Exercício 2:

10 ADIÇÃO DE MATRIZES A adição de duas matrizes A = a ij mxn e B = b ij mxn é a matriz C = c ij mxn dada por c ij = a ij + b ij com 1 i m e 1 j n..

11 Definição: Denomina-se a matriz oposta de A = a ij mxn a matriz A = a ij mxn cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A, ou seja, a ij = a ij. Definição: A subtração de duas matrizes A = a ij mxn e B = b ij mxn, indicada por A B, é a matriz soma de A com a oposta de B (A B = A +( B)).

12 Observação: Adição e subtração de matrizes só podem ser realizadas com matrizes de mesma ordem. Exercício 3: Dadas as matrizes 2 5 A 3 4, B e C calcule (A+B)-C.

13 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR O produto de um escalar (ou número real) k pela matriz A = a ij, mxn cuja notação é k. A, é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por k..

14 Exercício 4:

15 TRANSPOSIÇÃO Se A é uma matriz de ordem mxn, denominamos a transposta de A a matriz de ordem nxm obtida a partir de A trocando-se as linhas pelas colunas. Indica-se a transposta de A por A t ou A. Exemplo: A transposta da matriz A = é a matriz A =

16 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Dadas duas matrizes A = a ij e B = b mxn ij chama-se produto das nxp matrizes A e B a matriz C = [c ij ]_mxp, na qual c ij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B, adicionando-se, em seguida, os produtos obtidos. onde:

17 Exemplo: Exercício 5: Sejam A = e B= Calcule AB e BA. Observação: Mesmo quando os produtos AB e BA de duas matrizes A e B estão definidos, pode ocorrer que AB BA. Ou seja, o produto de matrizes não possui a propriedade comutativa. Se A e B são tais que AB = BA, então dizemos que as matrizes comutam.

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