Álgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes

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Theodoro Bugalho Pinho
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1 Álgebra Linear e Geometria Analítica Bacharelados e Engenharias Parte I - Matrizes Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR

2 Importante Material desenvolvido a partir dos livros da referencia bibliográfica da disciplina e das notas de aulas dos Professores do DAMAT/UTFPR; Seu estudo não substitui a consulta e estudo profundo dos conteúdos dos livros da referencia bibliográfica! Bons estudos!!!

3 1 - Pré-requisitos de matrizes 1.1 Definição de corpo: Um corpo (um corpo comutativo) é um conjunto F capaz de fazer duas operações sobre os elementos de F, adição e multiplicação ; Um corpo satisfaz as seguintes condições:

4 Condições de corpo (continuação): Onde A1 corresponde à A2 corresponde à A3 corresponde à A4 corresponde à

5 Condições de corpo (continuação): Onde M1 corresponde à M2 corresponde à M3 corresponde à M4 corresponde à D1 corresponde à

6 Condições de corpo (continuação) - Observações: significa para todo e o símbolo significa implica em. Ex. : a b (lê-se se : a implica em b) Os conjuntos Q, R e C, respectivamente conjuntos dos números racionais, reais e complexos, são considerados corpos; Os conjuntos Q e R são subcorpos de C. Subcorpo é um subconjunto de um corpo e que também satisfaz todas as condições de corpo: fechamento, aditivas, multiplicativas e distributiva;

7 Condições de corpo (continuação) - Observações: O conjunto Z dos números inteiros não é um subcorpo de C, pois para um inteiro n, nem sempre 1/n é inteiro. Logo Z não satisfaz a propriedade M4 da definição de corpo. Cada elemento de um corpo é denominado escalar ou número; O contexto(universo) em que se está trabalhando deve ser analisado, Por exemplo, número visto como elemento do conjunto Z (inteiros) ou número visto como elemento de um corpo.

8 1.2 Definição de produto cartesiano Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B ao conjunto A X B = {(x, y) / x A e y B}. Observações: A X B lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B. Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, então A X B é um conjunto finito com mn elementos. Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, então A X B é um conjunto infinito.

9 1.3 Definição de Relação Binária (R) Dados dois conjuntos não vazios A e B, chama-se relação binária de A em B, denotada por R : A B ou A B, todo subconjunto R de A X B; Podemos escrever como: Observações: Aqui, R não é o conjunto dos reais e sim uma relação; R : A B (lê-se: R está definida de A em B). Domínio de R: A B é o conjunto D (R)= { x A / (x, y) R }. Contra Domínio de R : A B é o conjunto CD = B; Imagem de R: A B é o conjunto Im(R) = { y B / (x, y) R }. Temos ainda que D A e Im B

10 1.4 Definição de função real de variável real Uma função f definida de A em B, denotada por f : A B ou mais explicitamente é uma relação binária em que x A, y B / (x, y) f. Observações: significa existe um único; Toda função é composta de três partes: o conjunto domínio, o contradomínio e a regra (sentença ou lei de correspondência) que permite associar, cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio; significa f é uma função definida de A em B, tal que f associa cada x A a um único y = f(x) B Outras notações para função:

11 Observações (continuação): Não confundir f com f(x): f é a função e f(x) é o valor da função em ponto x do seu domínio; Domínio de f : A B é o conjunto D (f) = A; Contradomínio de f : A B é o conjunto CD = B. Imagem de f : A B é o conjunto Im = {y B /(x, y) f }. Se x D( f ), dizemos que f é definida em x ou que f(x) existe. A expressão f não é definida em x significa que x D( f ).

12 2 Características Matrizes 2.1 Definição de matriz: Uma matriz A do tipo m x n sobre um corpo F é uma função do conjunto X = { (i, j) N X N / 1 i m, 1 j n } em F. Exemplo: A função (com a ij sendo imagem), onde X = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}, é uma matriz do tipo 2x3 sobre R, sendo então A( 1,1)=2, A(1,2)=3, A(1,3)=4, A(2,1)=3, A(2,2)=4, A(2,3)=5. Representação na forma de tabela:

13 2.2 Representação Uma matriz é uma tabela retangular de elementos organizados em linhas e colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por: O elemento a ij localiza-se na i-ésima linha e j-ésima coluna; Caso suas dimensões sejam conhecidas, a matriz pode ser indicada apenas por letras maiúsculas (A, B) sem colocar os índices m e n; O símbolo índica o conjunto de todas as matrizes de ordem de elementos reais

14 Exemplos: Ex1) Ex2) Ex3) Identifique as dimensões e os elementos do ex2 e ex3.

15 Exemplos (cont): Ex4) Coloque os dados seguintes em uma matriz: Ex5) Escreva uma matriz de ordem 3 onde cada elemento é a soma de seu indice de linha com seu índice de coluna, ou seja, a ij = i + j; Ex6) Escreva uma matriz de dimensões 4 X 3 onde cada elemento é a multiplicação de seu índice de linha por seu índice de coluna, ou seja, a ij = i * j;

16 3 Tipos Especiais de Matriz Matriz Quadrada É aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m = n. Exemplos:

17 3.2 - Matriz Nula Matrizes É aquela em que todos os elementos são iguais a zero, isto é, a ij = 0, para todo i e j. Exemplos:

18 3.3 Matriz Linha Matrizes Uma matriz A mxn é chamada de matriz linha quando contém somente uma linha, ou seja, m = 1; Exemplo: 3.4 Matriz Coluna Uma matriz A mxn é chamada de matriz coluna quando contém somente uma coluna, ou seja, m = 1; Exemplo:

19 3.5 Matriz Identidade É uma matriz quadrada (m = n) onde a ij = 0, para i j e a ij = 1, para i = j. Exemplo: 3.6 Matriz Diagonal É uma matriz quadrada (m = n) onde a ij = 0, para i j Exemplo: Matrizes

20 3.7 Matriz Tridiagonal Matrizes É uma matriz quadrada (m = n) com elementos nulos, exceto aqueles que se encontram sobre a diagonal principal e sobre as diagonais imediatamente adjacentes. Exemplo:

21 3.8 Triangular Superior Matrizes É uma matriz quadrada onde a ij = 0 para i > j; Exemplo: 3.9 Triangular Inferior É uma matriz quadrada onde a ij = 0 para i < j; Exemplo:

22 3.10 Matriz Simétrica Matrizes Matriz simétrica é uma matriz quadrada (m = n) onde a ij = a ji para todo i e j. Exemplo: 3.11 Matriz Antisimétrica Matriz antisimétrica é uma matriz quadrada (m = n) onde a ij = - a ji para todo i e j. Exemplo:

23 3.12 Matriz Esparsa Matrizes Formada por uma grande quantidade de elementos nulos Exemplo: 3.13 Matriz Diagonalmente Dominante Nessa matriz, para todas as linhas, o módulo do valor da matriz na diagonal é maior que a soma dos módulos de todos os demais valores daquela linha, ou seja, para todo i. Exemplo:

24 4 Operações com Matrizes: 4.1 Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B de mesma dimensão são iguais, ou seja, A = B, se a ij = b ij para todo i e j. Exemplo:

25 4.2 Adição de matrizes Dadas, duas matrizes A = [a ij ] mxn e B = [b ij ] mxn (mesma dimensão), então a soma de seus elementos é dada por A + B = [a ij ] mxn + [b ij ] mxn = [a ij + b ij ] mxn para todo i e j. Exemplo 6 :

26 Exemplo 7 : Suponha que as tabelas que seguem trazem as produções de soja, feijão e milho (em milhares de toneladas) de dois anos consecutivos de três regiões de um país. Represente a tabela na forma de matriz e obtenha a matriz que contenha o total da produção de cada produto nas três regiões.

28 Exemplo 9 : Seja a tabela do exemplo 2 da adição de matrizes. Suponha que no terceiro ano, todas as regiões duplicaram a sua produção devido ao incentivo recebido. Mostre como fica a matriz que representa a produção do terceiro ano. Propriedades da multiplicação de matrizes:

29 4.4 Multiplicação de matrizes Dadas, duas matrizes A = [a ij ] mxn e B = [b ij ] nxp, então a multiplicação de seus elementos é dada por uma matriz C = A. B = [c ik ] mxp onde Cada elemento [c ik ] da nova matriz é obtido pela multiplicação da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B.

30 Exemplo 10 : Matrizes

31 Exemplo 11: Observe que o numero de colunas da primeira matriz deve ser sempre igual ao numero de linhas da segunda matriz.

32 Exemplo 12: Multiplique A por B. Matrizes Exemplo 13: Seja uma rede de confeitarias com duas lojas A e B, que fabricam três tipos de bolos: 1, 2 e 3. As vendas de bolos de A e B, por semana, estão na tabela que segue: Esses bolos usam os seguintes ingredientes: Qual a quantidade destes ingredientes que cada confeitaria deverá receber semanalmente para atender às demandas?

33 Propriedades da multiplicação de matrizes: Importante: Observe que em geral A.B B.A Exemplo 5: Verifique se A.B = B.A para as matrizes dos exemplos 2 e 3.

35 4.5 Transposição de matrizes Dada uma matriz A mxn = [a ij ] mxn, denenomina-se transposta de A, a matriz A T = [b ij ] mxn, cujas linhas são as colunas de A, isto é, b ij = a ji. Exemplo:

36 Propriedades da Transposição de matrizes: Definições: A) A é dita simétrica, se e somente se A T = A B) A é dita antisimétrica, se e somente se A T = -A

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