ÁLGEBRA LINEAR I - MAT Determinar se os seguintes conjuntos são linearmente dependente ou linearmente independente (R).

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT a Lista de exercícios 1. Determinar se os seguintes conjuntos são linearmente dependente ou linearmente independente. {( ( } (a (R. {( ( } (b (R. (b {x 3 + 2x x 2 + 3x + 1 x 3 x 2 + 2x 1} em P 3 (R. (c {x 3 x 2x x 3 + 3x 2 + 2x + 6} em P 3 (R. (d {(1 1 2 (1 2 1 (1 1 4} em R 3. (e {(1 1 2 (2 ( 1 2 1} em R 3. {( ( ( (f {( ( ( (g ( } (R. ( } (R. (h {x 4 x 3 +5x 2 8x+6 x 4 +x 3 5x 2 +5x 3 x 4 +3x 2 3x+5 2x 4 +3x 3 +4x 2 x+1 x 3 x+2} em P 4 (R. (i {x 4 x 3 + 5x 2 8x + 6 x 4 + x 3 5x 2 + 5x 3 x 4 + 3x 2 3x + 5 2x 4 + x 3 + 4x 2 + 8x} em P 4 (R. 2. Em M 3 2 (F prove que o conjunto é linearmente independente Mostre que o conjunto {1 x x 2... x n } é linearmente independente em P n (R. 4. Seja S = {(1 (1 ( 1} um subconjunto e vetores do espaço F 3. (a Prove que se F = R então S é linearmente independente. (b Prove que se F tem característica 2 então S é linearmente dependente. 5. Seja u e v vetores distintos no espaço vetorial V. Mostre que {u v} é linearmente dependente se e somente se u ou v é múltiplo do outro. 6. Seja V o espaço vetorial sobre um corpo de característica diferente de dois (a Seja u e v vetores distintos em V. Mostre que {u v} é linearmente independente se e somente se {u + v u v} é linearmente independente. (b Seja u v e w vetores distintos em V. Mostre que {u v w} é linearmente independente se e somente se {u + v u + w v + w} é linearmente independente. 7. Seja X o conjunto de polinômios não nulos em P(F tal que não há dois polinômios de igual grau. Prove que X é linearmente independente. 8. Prove que se {A 1 A 2... A k } é um subconjunto linearmente independente de M n n (F então {A t 1 A t 2... A t k } é linearmente independente. 9. Seja f g F (R R funções definidas por f(t = e rt e g(t = e st onde r s. Prove que f e g são linearmente independentes em F (R R. 1

2 10. Seja X = {u 1 u 2... u n } um conjunto finito de vetores. Prove que X é linearmente dependente se e somente se u 1 = 0 ou u k+1 S({u 1 u 2... u k } para algum k (1 k < n. 11. Mostre que {e x e 2x x 3 x 2 x} é um conjunto linearmente independente em C (R. 12. Mostre que {1 e x e 2x e 3x e 4x } é um conjunto linearmente independente em C (R. 13. Assinale verdadeiro (V ou falso (F quanto à validez da afirmação: A união de dois subconjuntos linearmente independentes do espaço vetorial V é ainda um conjunto linearmente independente ( Sempre. ( Nunca. ( Quando um deles é disjunto do outro. ( Quando um deles é parte do outro. ( Quando um deles é disjunto do subespaço vetorial gerado pelo outro. ( Quando o número de elementos de um deles mais o número de elementos do outro é igual à dimensão de E. 14. Sejam X 1... X n... subconjuntos linearmente independentes do espaço vetorial V. (a Se X 1 X 2 X n X n+1 prove que X = X n é linearmente independente. (b Se cada X n tem n elementos prove que existe um conjunto linearmente independente X = {x 1 x 2... x n...} com x n X n para cada n N. (c Supondo V = R e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores é verdade que X = X n seja uma base de V. 15. Se os vetores v 1... v m são linearmente independentes prove que o mesmo se dá com os vetores v 1 v 2 v 1... v m v 1. Vale a recíproca? 16. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R 3. (a {( 1 (2 5 1 (0 4 3}. (b {(2 4 1 (0 3 1 (6 0 1}. (c {(1 2 1 ( 2 (2 1 1}. (d {( (2 4 3 ( 3 8 2}. (e {(1 3 2 ( ( }. 17. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de P 2 (R. (a { 1 x + 2x x 2x 2 1 2x + 4x 2 }. (b {1 + 2x + x x 2 x + x 2 }. (c {1 2x 2x x x 2 1 x + 6x 2 }. (d { 1 + 2x + 4x 2 3 4x 10x 2 2 5x 6x 2 }. (e {1 + 2x x 2 4 2x + x x 9x 2 }. 18. Os polinômios x 3 2x x 2 x + 3 e 3x 2 geram P 3 (R? Justifique sua resposta. 19. É {(1 4 6 (1 5 8 (2 1 1 ( 0} um subconjunto linearmente independente de R3? Justifique sua resposta. 20. Os vetores u 1 = (2 3 1 u 2 = (1 4 2 u 3 = ( u 4 = ( e u 5 = ( geram R 3. Encontre um subconjunto do conjunto {u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 } que é base de R Seja W = {(x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0} o subespaço de R 5. Os vetores u 1 = ( u 2 = ( u 3 = ( u 4 = ( u 5 = ( u 6 = ( u 7 = ( u 8 = (

3 geram W. Encontre um subconjunto do conjunto {u 1 u 2... u 8 } tal que é base de W. 22. Seja u v e w vetores distintos do espaço vetorial V. Mostre que se {u v w} é base de V etnão {u + v + w v + w w} é também base de V. 23. Encontre bases para os seguintes subespaços de F 5 : e Quais são as dimensões de W 1 e W 2? W 1 = {(x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 F 5 ; x 1 x 3 x 4 = 0} W 2 = {(x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 F 5 ; x 2 = x 3 = x 4 e x 1 + x 5 = 0}. 24. Seja W o conjunto das matrizes M n n (F que tem traço igual a zero. Mostre que W é um subespaço de M n n (F. Encontre uma base para W. Qual é a dimensão de W? 25. O conjunto de todas das matrizes n n triangulares superiores é o subespaço W de M n n (F (ver Exercício 10 da Lista 2. Encontre uma base para W. Qual é a dimensão de W? 26. O conjunto de todas das matrizes n n anti-simétricas é o subespaço W de M n n (F (ver Exercício 32 da Lista 2. Encontre uma base para W. Qual é a dimensão de W? 27. Sejam W 1 e W 2 subespaços de um espaço vectorial V de dimensão finita. Determinar as condições necessárias e suficientes sobre W 1 e W 2 para que dim(w 1 W 2 = dim(w Sejam v 1 v 2... v k v vetores no espaço vetorial V e defina W 1 = S({v 1 v 2... v k } e W 2 = S({v 1 v 2... v k v}. (a Encontrar condições necessárias e suficientes para v tal que dim(w 1 = dim(w 2. (b Formule e prove uma relação que envolve dim(w 1 e dim(w 2 no caso que dim(w 1 dim(w Seja f(x um polinômio de grau n em P n (R. Prove que para qualquer g(x P n (R existem escalares c 0 c 1 c 2... c n tal que g(x = c 0 f(x + c 1 f (x + c 2 f (x... + c n f (n (x onde f (n (x denota a n-ésima derivada de f(x. 30. Sejam V 1 e V 2 F -espaços vetoriais de dimensão m e n respectivamente determine a dimensão de V 1 V 2 (ver Exercício 8 da Lista Para a R fixo determine a dimensão do subespaço de P n (R definida por {f P n (R; f(a = 0}. 32. Sejam A e B (ver Exercício 38 (b da Lista 2 subespaços de P(R. Determine as dimensões dos subespaços A P n (R e B P n (R. 33. (a Sejam W 1 e W 2 subespaços do espaço vetorial V tal que V = W 1 W 2. Se B 1 e B 2 são bases para W 1 e W 2 respectivamente prove que B 1 B 2 = e B 1 B 2 é uma base para V. (b Reciprocamente Sejam B 1 e B 2 são bases disjuntas dos subespaços W 1 e W 2 respectivamente do espaço vetorial V. Prove que se B 1 B 2 é uma base para V então V = W 1 W Exiba uma base para cada um dos subespaços de R 4 listados a seguir: W 1 = {(x 1 x 2 x 3 x 4 ; x 1 = x 2 = x 3 = x 4 } W 2 = {(x 1 x 2 x 3 x 4 ; x 1 = x 2 e x 3 = x 4 } W 3 = {(x 1 x 2 x 3 x 4 ; x 1 = x 2 = x 3 } e W 4 = {(x 1 x 2 x 3 x 4 ; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0}. 35. (a Prove que se W 1 é qualquer subespaço do espaço vetorial V de dimensão finita então existe um subespaço W 2 de V tal que V = W 1 W 2. (b Seja V = R 2 e W 1 = {(a 0; a R}. Dar exemplos de dois subespaços diferentes W 2 e W 2 tal que V = W 1 W 2 e V = W 1 W Seja F o subespaço vetorial (plano de R 3 formado pelos vetores v = (x y z tais que x 2y+4z = 0. Obtenha uma base {u 1 u 2 u 3 } R 3 tal que u 1 e u 2 pertençam a F. 3

4 37. Mostre que os polinômios 1 x 1 e x 2 3x + 1 formam uma base de P 2 (R. Exprima o polinômio 2x 2 5x + 6 como combinação linear dos elementos dessa base. 38. Seja S o conjunto de matrizes simétricas n n. Para cada para (i j de números naturais de 1 até n com i j seja S ij a matriz n n cujos elementos nas posições ij e ji são iguais a 1 e os demais são zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para o subespaço vetorial S M n n (R. De modo análogo obtenha uma base do subespaço A das matrizes anti-simétricas n n. Conclua que dim S = n(n + 1/2 e dim A = n(n 1/ Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um os subespaços de M abaixo descritos: (a matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço é zero. (b matrizes que têm a primeira e a última linha iguais. (c matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna. (d matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna. 40. Seja V = M 2 2 (R. Seja W 1 o subconjunto de V da forma ( x x y z e seja W 2 o subconjunto de V da forma ( a b a c. (a Prove que W 1 e W 2 são subespaços de V. (b Encontre as dimensões de W 1 W 2 W 1 + W 2 e W 1 W Em V = M 2 2 (K. Encontre uma base {A 1 A 2 A 3 A 4 } para V tal que A 2 j = A j para cada j. 42. Sejam u v V vetores linearmente independentes. Dado α 0 prove que o conjunto de dois elementos {v v + αu} é uma base do subespaço gerado pelos vetores v v + u v + 2u... v + nu Sejam v 1 = ( n v 2 = (n+1 n n... v n = (n 2 n+1 n 2 n+2... n 2. Prove que estes vetores geram em R n o mesmo subespaço W que os vetores w 1 = (1 n+1 2n+1... n 2 n+1 w 2 = (2 n n 2 n w n = (n 2n... n 2 e que dim(w = Seja {v 1... v n } uma base do espaço vetorial V. Se os números a 1... a n não são todos iguais a zero prove que o conjunto W dos vetores v = x 1 v x n v n tais que a 1 x a n v n = 0 é um subespaço vetorial de V com dim(w = n Dado o conjunto finito X = {a 1... a n } obtenha uma base para o espaço vetorial F (X R. 46. Seja X um conjunto infinito. Para cada a X seja f a : X R a função tal que f a (a = 1 e f a (x = 0 se x a. Prove que o conjunto Y F (X R formado por estas funções são linearmente independente logo F (X R não tem dimensão finita. Prove ainda que Y não gera F (X R. 47. Sejam W 1 W 2 V subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço F 1 + F 2 que contenha uma base de W 1 uma base W 2 e uma base de W 1 + W (a Prove que se W 1 e W 2 são subespaços de dimensão finita do espaço vetorial V então o subespaço W 1 + W 2 tem dimensão finita e dim(w 1 + W 2 = dim(w 1 + dim(w 2 dim(w 1 W 2. (b Sejam W 1 e W 2 subespaços de dimensão finita do espaço vetorial V tal que V = W 1 + W 2. Mostre que V é soma direta de W 1 e W 2 se e somente se dim(v = dim(w 1 + dim(w 2. 4

5 49. Seja V = M 2 2 (R. Seja W 1 o subconjunto de V da forma ( x y z x e seja W 2 o subconjunto de V da forma ( 0 x x y. (a Prove que W 1 e W 2 são subespaços de V. (b Encontre as dimensões de W 1 W 2 W 1 + W 2 e W 1 W Sejam W 1 e W 2 subespaços do espaço vetorial V com dimensões m e n respectivamente onde m n. (a Prove que dim(w 1 W 2 n. (b Prove que dim(w 1 + W 2 m + n. 51. (a Encontre um exemplo de subespaços W 1 e W 2 de R 3 com dimensões m e n onde m > n > 0 tal que dim(w 1 W 2 = n. (b Encontre um exemplo de subespaços W 1 e W 2 de R 3 com dimensões m e n onde m > n > 0 tal que dim(w 1 + W 2 = m + n. (c Encontre um exemplo de subespaços W 1 e W 2 de R 3 com dimensões m e n onde m n tal que dim(w 1 W 2 < n e dim(w 1 + W 2 < m + n. 52. Seja W um subespaço do espaço vetorial V de dimensão finita e consideremos uma base {u 1 u 2... u k } para W. Seja {u 1 u 2... u k u k+1... u n } a extensão da base anterior para uma base de V. (a Prove que {u k+1 + W... u n + W } é base para V/W (ver Exercício 46 da Lista 2. (b Obtenha uma fórmula relacionando dim(v dim(w e dim(v/w. 53. Ache uma sequência infinita W 1 W 2... W n... de subespaços de P(R tais que (a dim(w n =. (b W m W n = {0} se m n. 54. Num espaço vetorial V diz-se que o vetor v é um combinação afim dos vetores v 1... v r quando se tem v = α 1 v α r v r com α α r = 1. Diz-se que os vetores v 1... v r são afimindependentes quando nenhum deles é uma combinação afim dos demais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: (a Os vetores v 1... v r são afim-independentes. (b Se α 1 v α r v r = 0 e α α r = 0 então α 1 = = α r = 0. r r (c Se α 1 v α r v r = β 1 v β r v r com α i = β i então α 1 = β 1... α r = β r. (Em particular duas combinações afins dos v i só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes. (d Os vetores v 2 v 1 v 3 v 1... v r v 1 são linearmente independente. (e A variedade afim gerada por v 1... v r tem dimensão r 1. i=1 i=1 Foz do Iguaçu 05 de abril de 2018 Víctor Arturo Martínez León 5