Produto de Matrizes. Márcio Nascimento

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1 Produto de Matrizes Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de dezembro de / 40

2 Sumário 1 Funções Lineares 2 Produto Interno 3 Composição de Funções Lineares 4 Produto de Matrizes 5 Equação Matricial de um Sistema 6 Propriedades do Produto 7 Potências de uma matriz 8 Transpostas e Conjugadas Transpostas 2 / 40

3 Sumário 1 Funções Lineares 2 Produto Interno 3 Composição de Funções Lineares 4 Produto de Matrizes 5 Equação Matricial de um Sistema 6 Propriedades do Produto 7 Potências de uma matriz 8 Transpostas e Conjugadas Transpostas 3 / 40

4 Sejam A, B conjuntos nos quais estão definidas a soma e o produto por escalar. Uma função é dita função linear quando f (X + Y ) = f (X ) + f (Y ) f : A B f (c.x ) = c.f (X ) para X, Y A 4 / 40

5 Exemplo: Considere f : R 2 R definida por f (x, y) = x y. f (X + Y ) = f (X ) + f (Y )? f (α.x ) = α.f (X )? 5 / 40

6 Considere o sistema S { 2x + 3y + 4z = 3 3x 2y + 2z = 1 Matrizes: A = [ ] 2 3 4, X = Função Linear: f : R 3 R 2 x ( ) f y 2x + 3y + 4z = 3x 2y + 2z z 1 Ex: f 4 = 2 ( ) [ ] = [ ] x y, B = z ( ) 22 1 [ ] / 40

7 Verifiquemos que f é uma Função Linear. f (u + v) = f (u) + f (v)? f (α.u) = α.f (u)? u 1 v 1 u 1 + v 1 f (u + v) = f u 2 + v 2 = f u 2 + v 2 = u 3 v 3 u 3 + v ( ) 3 2(u1 + v 1 ) + 3(u 2 + v 2 ) + 4(u 3 + v 3 ) 3(u 1 + v 1 ) 2(u 2 + v 2 ) + 2(u 3 + v 3 ) ( ) (2u1 + 3u = 2 + 4u 3 ) + (2v 1 + 3v 2 + 4v 3 ) = (3u 1 2u 2 + 2u 3 ) + (3v 1 2v 2 + 2v 3 ) ( ) ( ) 2u1 + 3u 2 + 4u 3 2v1 + 3v v 3 3u 1 2u 2 + 2u 3 3v 1 2v 2 + 2v 3 u 1 v 1 = f u 2 + f v 2 = f (u) + f (v) u 3 v 3 7 / 40

8 Por fim, u 1 f (α.u) = f α u 2 u 3 α.u 1 ( ) = f α.u 2 2(α.u1 ) + 3(α.u = 2 ) + 4(α.u 3 ) 3(α.u α.u 1 ) 2(α.u 2 ) + 2(α.u 3 ) 3 ( ) α.(2u1 + 3u = 2 + 4u 3 ) α.(3u 1 2u 2 + 2u 3 ) ( ) u 2u1 + 3u = α 2 + 4u 1 3 = α.f u 3u 1 2u 2 + 2u 2 = α.f (u) 3 u 3 8 / 40

9 Generalizando, Sistema: Matrizes: A, X e B a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b 2. a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n Função linear f : R m R n definda por x 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m x 2 f. = a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m. x m a n1 x 1 + a n2 x a nm x m n 1 9 / 40

10 Sumário 1 Funções Lineares 2 Produto Interno 3 Composição de Funções Lineares 4 Produto de Matrizes 5 Equação Matricial de um Sistema 6 Propriedades do Produto 7 Potências de uma matriz 8 Transpostas e Conjugadas Transpostas 10 / 40

11 Considere uma matriz linha (L) e uma matriz coluna (C) ambas com n entradas c 1 c 2 L = [l 1 l 2... l n ], C =. c n Produto interno entre L e C: L.C := l 1.c 1 + l 2.c l n.c n Observe que L C 1 n, C C n 1 e L.C C, isto é C 1 n C n 1 C (L, C) L.C 11 / 40

12 Exemplos (2 + i) L = [(2 i) 3 1] C = 3 1 = L.C = (2 i).(2 + i) ( 1)( 1) = A = 4 3 2, B = = A 2 B 2 = = / 40

13 Sumário 1 Funções Lineares 2 Produto Interno 3 Composição de Funções Lineares 4 Produto de Matrizes 5 Equação Matricial de um Sistema 6 Propriedades do Produto 7 Potências de uma matriz 8 Transpostas e Conjugadas Transpostas 13 / 40

14 Por volta de 1855 Arthur Cayley ficou interessado em composição de funções lineares, mais precisamente as funções lineares relacionadas a sistemas, como vimos anteriormente. Considere os sistemas S 1 { Ax + By = U Px + Qy = V, S 2 { ax + by + cz = u px + qy + rz = v As matrizes dos coeficientes são, respectivamente [ ] [ ] A B a b c M 1 =, M P Q 2 = p q r As funções lineares f ( ) x = y ( ) Ax + By Px + Qy e x g y = z ( ) ax + by + cz px + qy + rz 14 / 40

15 f ( ) x = y ( ) Ax + By Px + Qy A composta das funções lineares: e x g y = z h(u) = (f g)(u) = f (g(u)) x ( ) = f g y ax + by + cz = f px + qy + rz z ( ) A(ax + by + cz) + B(px + qy + rz) = P(ax + by + cz) + Q(px + qy + rz) ( ) (Aa + Bp)x + (Ab + Bq)y + (Ac + Br)z = (Pa + Qp)x + (Pb + Qq)y + (Pc + Qr)z ( ) ax + by + cz px + qy + rz 15 / 40

16 Cayley teve a ideia de representar tais funções lineares a partir das matrizes dos coeficientes de cada um dos sistemas, isto é, as funções f, g e h seriam representadas pelas matrizes: [ ] [ ] A B a b c F = G = P Q p q r [ ] (Aa + Bp) (Ab + Bq) (Ac + Br) H = F G = (Pa + Qp) (Pb + Qq) (Pc + Qr) Daí, foi natural para Cayley chamar a matriz H de composição (ou produto) de F e G: [ ] [ ] [ ] A B a b c (Aa + Bp) (Ab + Bq) (Ac + Br) = P Q p q r (Pa + Qp) (Pb + Qq) (Pc + Qr) Repare, ainda, que cada entrada h ij da matriz H equivale ao produto escalar F i.g j entre a linha i de F e a coluna j de G. 16 / 40

17 Sumário 1 Funções Lineares 2 Produto Interno 3 Composição de Funções Lineares 4 Produto de Matrizes 5 Equação Matricial de um Sistema 6 Propriedades do Produto 7 Potências de uma matriz 8 Transpostas e Conjugadas Transpostas 17 / 40

18 Para realizarmos a composição f g vemos que a imagem da função g e o domínio da função f devem ter alguma interseção. No caso anterior, o contradomínio de g é o conjunto R 2 e o domínio de f também é R 2, o que viabiliza a existência de interseção. Figura: Composição das funções lineares f e g. 18 / 40

19 As funções: f : R 2 R 2, g : R 3 R 2, h = f g : R 3 R 2 Matrizes associadas: F 2 2, G 2 3, H 2 3 Generalizando f : R n R p, g : R m R n, h = f g : R m R p Matrizes associadas: F p n, G n m, H p m 19 / 40

20 Definição (Produto de Matrizes) Sejam as matrizes A = [a ij ] n m e B = [b ij ] m r. O produto A.B é definido por (A 1 B 1 ) (A 1 B 2 )... (A 1 B r ) (A 2 B 1 ) (A 2 B 2 )... (A 2 B r ) A.B = = [(A i A j )] n r... (A n B 1 ) (A n B 2 )... (A n B r ) n r isto é, cada entrada x ij da matriz A.B é o produto interno entre a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B. 20 / 40

21 Exemplo Considerando as matrizes [ ] 4 (2 + i) 2 i 3 A =, B = i em que resulta A.B e B.A? A 2 3 B 3 2 B 3 2 = A.B terá ordem 2 2 A 2 3 = B.A terá ordem / 40

22 Exemplo A = [ 2 i ] (2 + i) B = i [ ] [ ] x11 x A.B = 12 (A1 B = 1 ) (A 1 B 2 ) x 21 x 22 (A 2 B 1 ) (A 2 B 2 ) [ ] (2.4 + i ) (2.(2 + i) + i i) A.B = ( ) (4.(2 + i) i) [ ] (17 + 5i) (4 + 14i) A.B = (34) (26 + 6i) 22 / 40

23 Exemplo 4 (2 + i) B = 5 6 A = 3 2i [ 2 i ] B.A = y 11 y 12 y 13 y 21 y 22 y 23 = (B 1 A 1 ) (B 1 A 2 ) (B 1 A 3 ) (B 2 A 1 ) (B 2 A 2 ) (B 2 A 3 ) y 31 y 32 y 33 (B 3 A 1 ) (B 3 A 2 ) (B 3 A 3 ) (4.2 + (2 + i).4) (4.i + (2 + i).3) (4.3 + (2 + i).1) B.A = ( ) (5.i + 6.3) ( ) ( i.4) (3.i + 2i.3) ( i.1) (16 + 4i) (6 + 7i) (14 + i) B.A = (34) (18 + 5i) (21) (6 + 8i) (9i) (9 + 2i) 23 / 40

24 No exemplo, vemos que A.B B.A Na verdade, se A tem ordem n m e B tem ordem m p com n p, existe A.B sem que exista B.A! 24 / 40

25 Sumário 1 Funções Lineares 2 Produto Interno 3 Composição de Funções Lineares 4 Produto de Matrizes 5 Equação Matricial de um Sistema 6 Propriedades do Produto 7 Potências de uma matriz 8 Transpostas e Conjugadas Transpostas 25 / 40

26 Considere um sistema linear com n equações e m variáveis a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b 2. a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n Observe que, sendo A = [a rs ] n m a matriz dos coeficientes do sistema e X = [x i ] m 1 a matriz coluna cujas entradas são as variáveis do sistema, então o primeiro membro de cada uma das equações acima é um produto interno: 26 / 40

27 a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = [ a 11 a x 1 x ] 2 a 1m. = A 1 X = b 1 x m a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = [ a 21 a x 1 x ] 2 a 2m. = A 2 X = b 2 x m... x 1 a n1 x 1 + a n2 x a nmx m = [ a n1 a n2... x ] 2 a nm = An X = bn. x m Portanto, A.X = B é a Equação Matricial do sistema. 27 / 40

28 Dado um sistema linear com n equações e m variáveis a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n a 11 a a 1m x 1 b 1 a 21 a a 2m.... x 2. = b 2 A.X = B. a n1 a n2... a nm x m b n. 28 / 40

29 Sumário 1 Funções Lineares 2 Produto Interno 3 Composição de Funções Lineares 4 Produto de Matrizes 5 Equação Matricial de um Sistema 6 Propriedades do Produto 7 Potências de uma matriz 8 Transpostas e Conjugadas Transpostas 29 / 40

30 No produto de matrizes não vale a lei do cancelamento A = [ 2 1 ], B = [ 1 0 ] [ ] 1, C = 1 A.C = B.C com C 0 A B 30 / 40

31 Também não vale a comutatividade [ ] [ ] Considere A = e B = [ ] 2 8 A.B = 3 12 [ ] 14 0 B.A = 13 0 Portanto, AB BA 31 / 40

32 Propriedades válidas: Distributividade à Esquerda: Sejam as matrizes A n m, B m p, C m p. Então A(B + C) = AB + AC Distributividade à Direita: Sejam as matrizes D n m, E n m, F m p. Então (D + E).F = DF + EF Associatividade: Sejam A n m, B m p, C p k. Então A.(B.C) = (A.B).C Elemento Neutro: A n m.i m = A e I n.a n m = A 32 / 40

33 Sumário 1 Funções Lineares 2 Produto Interno 3 Composição de Funções Lineares 4 Produto de Matrizes 5 Equação Matricial de um Sistema 6 Propriedades do Produto 7 Potências de uma matriz 8 Transpostas e Conjugadas Transpostas 33 / 40

34 Para matrizes quadradas, podemos usar uma notação análoga a usada para escalares (reais ou complexos). Se A C n n então A 0 = I n A 2 = A.A, A 3 = A.A.A,..., A n = A.A. }{{.A} com n Z + n vezes Daí, é correto escrever: A r.a s = A r+s, r, s Z + (A r ) s = A r.s, r, s Z + 34 / 40

35 Sumário 1 Funções Lineares 2 Produto Interno 3 Composição de Funções Lineares 4 Produto de Matrizes 5 Equação Matricial de um Sistema 6 Propriedades do Produto 7 Potências de uma matriz 8 Transpostas e Conjugadas Transpostas 35 / 40

36 Sejam A, B matrizes compatíveis para o produto A.B. Então (AB) T = B T.A T (AB) = B A 36 / 40

37 Exemplo Seja A uma matriz de ordem n m. Mostrar que A T.A é simétrica. Com efeito, se A tem ordem n m então A T é uma matriz de ordem m n. Portanto, o produto A T.A existe e terá ordem m m. Sendo essa uma matriz quadrada, mostrar que ela é simétrica significa mostrar que ela e sua transposta são iguais. Isto é: (A T.A) T = A T.A Partindo do primeiro membro, temos: (A T.A) T = A T.(A T ) T = A T.A 37 / 40

38 Exemplo Seja A uma matriz de ordem n m. A.A T é simétrica? E A.A? E A.A? 38 / 40

39 Exemplo Considere o seguinte sistema de equações: 2x 1 + x 2 + x 3 = 3 4x 1 + 2x 3 = 10 2x 1 + 2x 2 = 2 (a) Escreva a equação matricial do sistema (AX = B). (b) Escreva a solução S do sistema na forma coluna e verifique, usando multiplicação de matrizes, que S satisfaz a equação AX = B. (c) Escreva B como uma combinação das colunas de A. 39 / 40

40 Exemplo Seja e j a j-ésima coluna unitária, isto é, a j-ésima coluna de uma matriz identidade de ordem n. Para uma matriz arbitrária A n n descreva os seguintes produtos: (a) A.e j (b) e T i.a (c) e T i.ae j 40 / 40