Exercício Obtenha, em cada caso, o módulo, o argumento e a forma trigonométrica de z: a) z = 1 + i. setor Aula 31. ρ = 1 2 +( 3 ) 2 ρ= 2.

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1 setor Aula NÚMEROS COMPLEXOS: PLANO DE ARGAND-GAUSS Até este ponto, usamos, para representar um número complexo a expressão a + b i, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária Com a, b, c e d reais, temos que: a + bi = c + di a = c e b = d (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Podemos representar cada número complexo simplesmente por um par ordenado (a, b), com a e b reais Assim, temos, por exemplo: + 4i = (, 4) 4 + i = (4, ) = (, 0) i = (0, ) Desse modo, o conjunto C dos números complexos pode ser descrito como sendo um conjunto de pares ordenados de números reais, tais que: (a, b) = (c, d) a = c e b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) O plano de Argand-Gauss é uma representação gráfica do conjunto C ; nele, cada número complexo (a, b), ou seja a + bi, com a e b reais, é representado pelo ponto P de abscissa a e ordenada b O ponto P é chamado de afixo do número complexo b Im(z) P Dado o complexo não nulo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de argumento de z ao número real θ, 0 θ π, a b tal que cosθ = e senθ =, com ρ = z ρ ρ Do item anterior, temos a = ρ cosθ e b = ρ senθ Logo, a + bi = ρ cosθ + i ρ senθ Assim, nessas condições, temos que, todo complexo não nulo z pode ser representado pela expressão ρ(cosθ + i senθ), em que ρ e θ são, nessa ordem, o módulo e o argumento de z Essa representação é chamada de forma trigonométrica (ou forma polar) de z Para todo complexo z, temos que z z = z Exercício Obtenha, em cada caso, o módulo, o argumento e a forma trigonométrica de z: a) z = + i b Im(z) ρ θ Im(z) ρ a P Re(z) θ Re(z) Re(z) Dado o complexo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de módulo de z ao número real não negativo z = a + b Note que, no plano de Argand-Gauss, o módulo de z corresponde à distância da origem a seu afixo a ρ = +( ) ρ= 0 θ π cosθ =, senθ = z = cos π + i sen π 44 θ= π ALFA ANGLO VESTIBULARES

2 b) z = Im(z) ρ θ Re(z) ρ =, θ = π z = (cosπ + i senπ) c) z = i Im(z) θ ρ Re(z) ρ =, θ = 7π 4 π z = cos + i sen 4 7π 4 Livro Unidade IV (Cap ) Caderno de Unidade III Faça o exercício, série Faça o exercício, série ALFA ANGLO VESTIBULARES

3 Aula MÓDULO DE UM NÚMERO REAL: CONCEITO Exemplos: a) 5 = 5 b) 5 = ( 5) = 5 c) 0 = 0,Se x 0, então x = x,se x 0, então x = x OBSERVAÇÕES ) O módulo de um número real é positivo ou nulo ) No eixo real, o módulo de um número x é a distância da origem ao ponto que representa o número x Assim: 0 Sendo x 4, então x 4 4 x é igual a a) b) c) x d) x e) 0 x 4 4 x + ( ) (x 4) 4 x = = = 4 x 4 x = = PROPRIEDADES Sendo a e b reais, tem-se: a) a = a b) a b = a b a a c) = (b 0) b b d) a + b a + b Simplifique: E = + E = + + E = ( ) E = + = Sendo x, simplifique:, x x a) = =,x x, x (x ) b) = =,x x Caderno de Unidade II Resolva os exercícios e, série 6 Resolva os exercícios a seguir x 4 Simplifique para x x Se x, então a expressão E= x x+ + x é igual a a) 0 b) c) d) x e) x Sabendo que y x, simplifique (x y) + (y x) x y ALFA ANGLO VESTIBULARES

4 Aula MÓDULO DE UM NÚMERO REAL (GRÁFICOS) y = x + x Esboçar o gráfico de: y = x x x y = (x ) + x y = x + x y = y = x x x 0 0 x 0 x y = x y = x y 4 y x x 0 y = ( x ) y = x x x y = (x ) y = x y = x + x y 0 x Livro Unidade III Caderno de Unidade II Leia o item 4, cap 7 Resolva o exercício, série 6 Resolva os exercícios 4 e 5, série 6 ALFA ANGLO VESTIBULARES

5 Aula 4 MÓDULO DE UM NÚMERO REAL (EQUAÇÕES) Resolver em IR as equações: x = 5 x = 5 x = ou x = 5 x = S = {, } 4 x = x x 0 0 x 0 x x = x x = x x + x = 0 x x = 0 (n/c) x = ± 4 x = ± 4 (n/c) Logo, S = {, } x 4 = 5 x 4 = 5 x = 9 ou x 4 = 5 x = ( x) S = {, } x = x = x + x = 0 x x x x (x ) = 0 x + x = 0 x x + = 0 x = 0 x = (convém) x = (n/c) Logo, S = { } Livro Unidade III Caderno de Unidade II Leia o item, cap 7 Resolva o exercício 6, série 6 Resolva os exercícios 7 e 8, série 6 ALFA ANGLO VESTIBULARES

6 Aula 5 INEQUAÇÕES MODULARES Seja a um número real tal que a 0 Então: ) x a x a ou x a a a x 0 ) x a a x a Nota: se a 0 tem-se que: ) x a é sempre verdade ) x a é sempre falso Resolver em IR: x 5 a a x x S = {x IR x 5 ou x 5 } x x S = {x IR 5 x 5 } x x x 5 ou x 5 x 4 x 6 S = {x IR x 4 ou x 6} Livro Unidade III Caderno de Unidade II Leia o item, cap 7 Resolva o exercício 9, série 6 Resolva o exercício 0, série 6 ALFA ANGLO VESTIBULARES

7 Aula 6 MATRIZES: CONCEITOS BÁSICOS ADIÇÃO Há inúmeras situações em que preparamos grades ou planilhas de m linhas e n colunas para apresentar um conjunto de m n números É claro que, neste contexto, m e n são números inteiros positivos dados Por exemplo, no sistema de matrículas do curso, podemos preparar planilhas para futuros relatórios sobre o número de alunos presentes em cada aula, em cada turma Após o preenchimento de todas as células dessas planilhas, podemos operar com estas planilhas; reagrupar, somar, subtrair, multiplicar, calcular médias etc Cada planilha terá um nome e, nela, cada célula é identificada por sua posição na planilha; um par ordenado (i, j), correspondente à linha e à coluna Assim, por exemplo, numa planilha cujo nome é A, ao afirmarmos que a, = 47, queremos dizer que o valor da célula que se encontra na ª- linha e ª- coluna é 47 Na Matemática, procedemos do seguinte modo: consideramos um conjunto D de pares ordenados (i, j), com i m e j n consideramos as funções com domínio D e contra-domínio C Para estas funções estabelecemos regras que definem a igualdade, a adição, a multiplicação e outros conceitos e chamamos estas funções de matrizes linha linha linha i linha m coluna coluna coluna j coluna n a a a i a m a a a i a m a j a j a ij a mj a n a n a in a mn m n Dizemos que uma matriz com m linhas e n colunas é do tipo m n (leia-se m por n) De modo geral, a ij é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna, em que i m e j n Assim, por exemplo, a, (ou simplesmente a ) é o elemento da ª- linha e ª- coluna, enquanto a é o elemento da ª- linha e ª- coluna IGUALDADE DE MATRIZES Num universo de matrizes do tipo m n, as matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ) são iguais se, e somente se, a ij = b ij, para todo i e j MATRIZ TRANSPOSTA Para cada matriz A = (a ij ) m n, definimos a matriz A t = (a ji ) n m, chamada de transposta de A Exemplo: A = A t = CLASSIFICAÇÃO PELO TIPO Uma matriz que possui apenas uma linha (m = ) é chamada de matriz linha Uma matriz que possui apenas uma coluna (n = ) é chamada de matriz coluna Uma matriz quadrada de ordem n é uma matriz do tipo n n, isto é, uma matriz com n linhas e n colunas ALFA ANGLO VESTIBULARES

8 Numa matriz quadrada A de ordem n o conjunto {a, a,, a nn } é chamado de diagonal principal e o conjunto {a n,, a ij,, a n }, com i + j = + n é chamado de diagonal secundária Exemplo: Na matriz diagonal secundária diagonal principal {a, a, a } é a diagonal principal e {a, a, a } é a diagonal secundária MATRIZ IDENTIDADE Chamamos de matriz identidade, ou matriz unidade, de ordem n, denotada por I n, toda matriz quadrada de ordem n em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a e os demais elementos são todos nulos Exemplos: I = [], I = e I = OUTRAS REPRESENTAÇÕES Até aqui, representamos as matrizes mediante tabelas entre colchetes Também é muito comum o uso de parênteses ( ) ou barras duplas ADIÇÃO DE MATRIZES Num universo de matrizes do tipo m n, dadas matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ) definimos a matriz S = A + B = (s ij ) tal que s ij = a ij + b ij, para todo i e j Chamamos de matriz nula aquela em que todos os elementos são nulos Notação: 0 Para cada matriz A = (a ij ), definimos a matriz oposta de A, denotada por A, tal que A + ( A) = 0 Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo, temos as propriedades: ) A + B = B + A (comutativa) ) A + (B + C) = (A + B) + C (associativa) ) (A + B) t = A t + B t MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO Num universo de matrizes do tipo m n, dada a matriz A= (a ij ) e sendo r um número qualquer, temos ra = (r a ij ) Exemplos: A = 4 5 a a a A = a a a a a a A = Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e r e s números quaisquer, temos as propriedades: ) r(sa) = (rs)a ) r(a + B) = ra + rb ) (r + s)a = ra + sa 4) (ra) t = r A t Represente na forma de tabela a matriz A = (a ij ), com a ij = i + j a a a 0 = a a a 0 Para que valores de x e y tem-se que x xy x( x ) 4 6 = x De x = 4 e x(x ) = 6, temos x = De x = e xy = x, temos y = Resposta: x = e y = Dado que A e B são matrizes tais que A + B = =, obtenha A 5 ea B (A + B) + (A B) = A = A = I 0 4 Qual é o elemento da ª- linha e ª- coluna da matriz A + A t, se A = (a ij ) com a ij = i j? x = a + a t x = a + a x = + x = 7 (Resposta) Livro Unidade IV Caderno de Unidade III Leia os itens a 0, cap Leia os exemplos a 8, cap Resolva os exercícios a 4, série Resolva os exercícios 5 a 8, série ALFA ANGLO VESTIBULARES

9 Aulas 7 e 8 MATRIZES: MULTIPLICAÇÃO Dadas as matrizes Am e Bk a a a j ak a a a j ak k = ai ai aij aik am am amj amk b b n = bi bk b b j bn b b j bn bi bij bin bk bkj bkn definimos o produto de A por B, nessa ordem, como sendo a matriz p p p j pn p p p j pn Pm n = pi pi pij pin pm pm pmj pmn em que para todo i e j, i m e j n, EXEMPLOS Com matrizes A e B, temos as matrizes (AB) e (BA) Com matrizes A e B, temos as matrizes (AB) e (BA) Mesmo neste caso, não podemos afirmar que AB é igual a BA PROPRIEDADES Sendo os tipos de A, B e C tais que as operações indicadas abaixo existam temos: A(BC) = (AB)C (associativa) A(B + C) = AB + AC (distributiva pela esquerda) (A + B)C = AC + BC (distributiva pela direita) A I n = A (A do tipo m n) I m A = A (A do tipo m n) (A B) t = B t A t (note as ordens) r(ab) = (ra)b = A(rB) (em que r é um número) 0 0 Dado que A = eb= 0, obtenha AB e 0 BA = = p ij = a i b j + a i b j + a i b j + + a ik b kj Cada elemento p ij da matriz P = A B, é a soma dos produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B Assim, por exemplo, p = a b + a b + a b + + a k b k Note que só existe o produto de A por B, nessa ordem, se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B Dadas as matrizes A m k e B k n, o produto P = A B é uma matriz do tipo m n 0 Dado que A = =, obtenha x tal que 0 x eb 0 AB + BA = AB Devemos ter AB = BA, isto é, 0 x x 0 = x 6 x = x = ALFA ANGLO VESTIBULARES

10 4 Resolva a equação matricial = X 0 De A X m n = B, temos m = e n = x Com X =, temos: y x 4 = 0 y x + y 0x + y = 4 Resulta daí o sistema de equações: x + y = 4 0x + y = De y = e x + y = 4, temos x = Logo, X = Livro Unidade IV Caderno de Unidade III AULA 7 Leia os itens e, cap Leia os exemplos 9 a, cap Resolva o exercício, série 4 Sendo J = Calcule a) J 4 b) J 87 a) J 0 0 = = 0 0 J = I J 4 = I = b) 87 = J 87 = J = J J = I J J 87 0 = J = AULA 8 Leia o item, cap Leia os exemplos a 5, cap Resolva os exercícios 8 e 9, série AULA 7 Resolva os exercícios 5 a 7, série AULA 8 Resolva os exercícios a 5, série Aula x B Respostas da ALFA ANGLO VESTIBULARES