Espaços Vectoriais. Espaços Vectoriais

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1 Espaços Vectoriais Espaço vectorial sobre um corpo V - conjunto não vazio de objectos, chamados vectores F - conjunto de escalares, com estrutura de corpo Em V definimos duas operações: - adição de elementos de V x, y V, então x + y V - multiplicação escalar de um elemento de F por um elemento de V a F, x V, então a.x V ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 1 Espaços Vectoriais Espaço vectorial sobre um corpo EV1: x + y = y + x EV2: (x + y) + z = x + (y + z) EV3: existe um vector O em V tal que x + O = x EV4: para cada x em V existe y tal que x + y = O (y = -x) EV5: 1.x = x EV6: a,b F, x V a(b.x) = (ab).x EV7: a F, x, y V a.(x + y) = ax + ay EV8: a,b F, x V (a + b).x = a.x + b.x ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 2

2 Espaços Vectoriais Exemplos V = M n = conjunto das matrizes quadradas de ordem n adição de matrizes multiplicação de um escalar por uma matriz V = P n = conjunto dos polinónios de grau menor ou igual a n adição de polinómios multiplicação de um escalar por um polinómio ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 3 Exemplos Espaços Vectoriais V = R n (n 1) = conjunto dos n-tuplos de números reais adição: (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1+ b 1, a 2+ b 2,..., a n +b n ) multiplicação escalar: c(a 1, a 2,..., a n ) = (ca 1, ca 2,..., ca n ) V = C = conjunto dos números complexos... adição de números complexos multiplicação de um escalar (real ou complexo) por um número complexo ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 4

3 Espaços Vectoriais Em todo o espaço vectorial V sobre o corpo F, são verdadeiras as afirmações: se x + z = y + z, então x = y o vector zero, O, é único em cada espaço o oposto aditivo de x (-x) é único 0x = O, para cada x V (-a)x = - (ax) = a(-x) para todo a F, x V ao = O para todo a F ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 5 Subespaços Subespaço de V: subconjunto de V que também é espaço vectorial Subespaços triviais: {O}, V Teorema 1: Seja V um espaço vectorial e W um subconjunto de V. Então W é subespaço vectorial de V se e só se as 3 condições seguintes se verificarem para as operações definidas em V: (a) O W (b) x + y W para todo x W e y W (c) a.x W para todo a F e x W ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 6

4 Subespaços Combinação de subespaços vectoriais Se S1 e S2 são subespaços vectoriais de V S1 S2 é subespaço de V (Teorema 2) S1 S2 não é necessariamente subespaço de V Soma de dois subespaços não vazios é um subespaço de V S1 + S2 = { x + y : x S1 e y S2} Soma directa de dois subespaços S1 + S2 = { x + y, x S1, y S2} S1 S2 = {O} S1 + S2 = V V = S1 S2 (V é a soma directa de S1 e S2) ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 7 Combinação linear de elementos de V Combinação linear de elementos de um espaço vectorial V - espaço vectorial S - subconjunto não vazio de elementos de V y é uma combinação linear de elementos de S se existe um número finito de elementos de S, x 1, e n escalares a 1, a 2,..., a n tais que y = a 1 x 1 + a a n x n ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 8

5 Teorema 3 Combinação linear de elementos de V Sendo S um subconjunto não vazio de um espaço vectorial V, o conjunto W de todas as combinações lineares de elementos de S é um subespaço de V. W é ainda o mais pequeno subespaço de V que contém S, isto é, W é subconjunto de qualquer subespaço de V que contenha S. W = span(s) = subespaço gerado pelos elementos de S = variedade linear gerada por S S gera V span(s) = V os elementos de S geram V ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 9 Dependência linear Dependência e independência linear Um subconjunto S de um espaço vectorial V diz-se linearmente dependente se existe um número finito de vectores distintos x 1, de S e escalares a 1, a 2,..., a n não todos nulos, tais que a 1 x 1 + a a n x n = O Os elementos de S são linearmente dependentes. Independência linear Um subconjunto de S que não é linearmente dependente diz-se linearmente independente. ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 10

6 Dependência e independência linear Factos verdadeiros relativos à dependência/independência linear: qualquer conjunto que contenha o vector O é linearmente dependente o conjunto vazio é sempre linearmente independente um conjunto constituído por um único vector é linearmente independente considerando S1 S2 V se S1 é linearmente dependente, então S2 é linearmente dependente se S2 é linearmente independente, então S1 é linearmente independente ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 11 Bases Base para um espaço vectorial V Uma base β para um espaço vectorial é um subconjunto linearmente independente de V que gera V Teorema 5 Seja V um espaço vectorial e β = { x 1, } um subconjunto de V. Então β é uma base para V se e só se cada vector y de V puder ser expresso de forma única como uma combinação linear de vectores de β, ou seja, puder ser expresso na forma y = a 1 x 1 + a a n x n para escalares únicos a 1, a 2,..., a n ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 12

7 Bases Bases canónicas (exemplos) V = R 2 β = {(1, 0), (0, 1)} V = R 3 β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} V = R n β = {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),... (0, 0,..., 1} V = M 2 2 β = 1 0 0, , , V = P (conj. polinómios) β = { 1, x,, x 3,...} base infinita V = P n β = { 1, x, } ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 13 Bases Consequência muito importante : β = { x 1, } = base para V y = elemento de V y = a 1 x 1 + a a n x n y determina um conjunto de n escalares que representam y de forma única ( a 1, a 2,...,... a n ) ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 14

8 Bases Teorema 6 (Teorema da substituição) Seja V um espaço vectorial com uma base β = { x 1, } com n elementos. Seja S = { y 1, y 2,..., y m } um subconjunto linearmente independente de V contendo exactamente m elementos, com m n. Então existe um subconjunto S1 de β contendo exactamente n-m elementos tal que S S1 gera V. ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 15 Deste teorema: Bases Se V é espaço vectorial tendo uma base β com exactamente n elementos, então: qualquer conjunto com mais do que n elementos é linearmente dependente qualquer base para V tem exactamente n elementos qualquer conjunto linearmente independente de V com exactamente n elementos é uma base para V ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 16

9 Dimensão de um espaço vectorial Dimensão de um espaço vectorial V -dim(v) é o número de elementos de qualquer base do espaço vectorial Espaço vectorial de dimensão finita tem uma base com um número finito de elementos Ex: dim({o}) = 0; dim(r n ) = n; dim(m m n )=mn Espaço vectorial de dimensão infinita EV que não é de dimensão finita Ex: dim(ev polinómios reais) = ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 17 Dimensão de um espaço vectorial Conjuntos linearmente independentes Bases Conjuntos geradores ÁLGEBRA Espaços vectoriais - 18