São tabelas de elementos dispostos ordenadamente em linhas e colunas.

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Otávio Carreiro Pinto
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2 EMENTA (RESUMO) Matrizes Matrizes, determinantes e suas propriedades, Multiplicação de matrizes, Operações com matrizes, Matrizes inversíveis. Sistemas de Equações Lineares Sistemas equações lineares, sistemas equivalentes, sistemas escalonados, sistemas de equações homogêneas. Espaços vetoriais Espaços vetoriais, Propriedades, Subespaços vetoriais. Combinações lineares. Transformações lineares Transformações lineares. Propriedades das transformações lineares.

3 São tabelas de elementos dispostos ordenadamente em linhas e colunas. Dentre suas aplicações podemos citar: a r m a z e n a m e n t o e manipulação de informações em tabelas; Criptografia (codifica e decodifica mensagens); ferramentas para transmissão de imagens e sons digitalizados pela internet. Etc...

4 As matrizes são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino e representadas por parênteses ou colchetes ou duplas barras laterais. ( ) São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em m linhas e n colunas. m número de linhas da matriz n número de colunas da matriz A = (a ij) mxn i,j,m,n N * j número da coluna da matriz, onde 1 j n. i número da linha da matriz, onde 1 i m.

5 j número da coluna da matriz, onde 1 < j < n. i número da linha da matriz, onde 1 < i < m. m número de linhas da matriz n número de colunas da matriz A (a ) A = (a ) ij m x n a a a... a a a a... a a a a... a a a a... a n n = ij m x n = n m1 m2 m3 mn linha 1 linha 2 linha 3 linha m coluna 1 coluna 2 coluna 3 coluna n

6 EXEMPLO 01 Dada a matriz A = (a ij ) 3x2 através de sua lei de formação, escreva essa matriz. a ij i + j, se i j = i j, se i > j SOLUÇÃO a11 a A = (a ij) 3 x 2 = a21 a 22 = 1 4 a31 a32 2 1

7 Matriz Linha É toda matriz com apenas 1 linha, ou seja, é toda matriz do tipo 1 x n π matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4 Matriz Coluna É toda matriz com apenas 1 coluna, ou seja, é toda matriz do tipo m x matriz 2 x 1 matriz 3 x 1 matriz 4 x 1

8 Matriz Nula É toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x matriz 2 x 3 matriz 4 x 2 matriz 3 x 3

9 Matriz Quadrada de ordem n É toda matriz do tipo n x n, isto é, que possui igual número de linhas e colunas. A (a ) a a a... a a a a... a a a a... a a a a... a n n = ij m x n = n n1 n2 n3 nn Diagonal Secundária ( i + j = n + 1 ) Diagonal Principal ( i = j )

11 Matriz Triangular É toda matriz quadrada composta apenas de zeros nos elementos acima ou abaixo da diagonal principal Triangular Superior Triangular Inferior

12 Matriz Diagonal É toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero

13 Matriz Identidade ( ou Unitária ) É toda matriz diagonal, com ordem igual ou superior a 2, em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. I = I3 = I =

14 Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) pxq, essas matrizes serão iguais quando as matrizes forem da mesma ordem e todos os elementos correspondentes de uma e outra forem iguais = ambas são 2 x 2 são iguais ambas são 3 x 3 não são iguais

15 EXEMPLO 03 Determine x, y, z e t, para que se tenha: 2 x y z 10 9 = 4x t 20 t SOLUÇÃO As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Falta agora fazer a igualdade entre os termos correspondentes. x 5 2 = x = 25 x =± 25 =± 5 x = 5 y= 4 ; 10 = 10 ; 3z = 9 z = 3 ; 4x = 20 x = 5 ; t = t 2t = 0 t = 0

16 EXEMPLO 04 Soma de Matrizes É uma operação de soma dos elementos correspondentes de duas matrizes de mesma ordem, gerando uma nova matriz de mesma ordem. SOLUÇÃO As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Então a soma é Calcule a soma de matrizes abaixo

17 I ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C II ) A + B = B + A III) A + 0 = 0 + A IV) A + (-A) = -A + A = 0 Sabendo-se que 0 é uma matriz nula

18 Multiplicação de Escalar por Matriz É uma operação similar a uma soma de matrizes, onde todas essas matrizes são iguais. Portanto, basta multiplicar o escalar por cada elemento da matriz. EXEMPLO 05 Calcule o resultado da multiplicação de escalar por matriz indicada abaixo SOLUÇÃO =

19 I ) ( λ. µ ).A = λ.(µ.a) II ) ( λ + µ ).A = λ.a + µ.a III) ( λ - µ ).A = λ.a - µ.a IV) λ.( A + B ) = λ.a + λ.b V) 1. A = A VI) 0.A = 0 (matriz nula) Onde: λ e µ são escalares

20 Oposta de Matriz É obtida multiplicando o escalar -1 pela matriz dada. EXEMPLO 06 Calcule o resultado da oposta da matriz indicada abaixo SOLUÇÃO ( 1). =

21 Subtração de Matrizes É uma operação de soma de uma matriz com a oposta da segunda. EXEMPLO 07 Calcule o resultado da diferença de matrizes indicada abaixo SOLUÇÃO =

22 Transposição de Matrizes Dada uma matriz A = (a ij ) m x n sua transposta é a matriz A t = (a ji ) n x m. Na prática é a operação de troca de posição dos elementos da linha i para a coluna i. EXEMPLO 12 Obtenha a transposta da matriz abaixo A = t A SOLUÇÃO =

23 Matriz Simétrica Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta, A = A t, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.! # # "# a b b d! $ # & # &;# %& # # " a b c b d e c e f $ & & & & & % Matriz Anti-Simétrica É uma matriz em que A = -A t, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são simétricos. Os elementos da diagonal principal são iguais a zero. " $ $ # $ 0 a!a 0 " % $ ' $ '; $ &' $ $ # 0 a b!a 0!c!b c 0 % ' ' ' ' ' &

Matriz Simétrica Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta, A = A t, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são

24 Matriz Simétrica Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta, A = A t, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.! # # "# a b b d! $ # & # &;# %& # # " a b c b d e c e f $ & & & & & % Matriz Anti-Simétrica É uma matriz em que A = -A t, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são simétricos. Os elementos da diagonal principal são iguais a zero. " $ $ # $ 0 a!a 0 " % $ ' $ '; $ &' $ $ # 0 a b!a 0!c!b c 0 % ' ' ' ' ' &

25 I ) ( A + B ) t = A t + B t II ) ( λ.a ) t = λ.a t III) (A t ) t = A IV) (-A) t = -A t Cuidado com a Propriedade V, que ela induz ao erro! V) (A.B) t = B t.a t Onde: λ é um escalar

Só é possível efetuar o produto de duas matrizes, se o número de colunas da primeira for igual ao número de

26 Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) m x n e B = (b ij ) p x q, chama-se produto das matrizes A e B, a matriz C = (c ij ) m x q, onde só é possível efetuar essa operação se n = p. Só é possível efetuar o produto de duas matrizes, se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz produto é obtida pelo número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.

27 I ) AI = IA = A (I é a matriz Identidade) II ) ( A.B ).C = A.( B.C ) (associatividade) III ) ( A + B ).C = A.C + B.C (distributividade à direita) IV) C.( A + B ) = C.A + C.B (distributividade à esquerda) V) ( α.a ).B = A.(α.B ) = α (A.B) onde α IR VI) A.B B.A, em geral. Se A.B = B.A, então A e B comutam. VII) Se A.B = 0 (não é necessário que A = 0 ou B = 0)

4 5 1 3 4 3 x 2 2 x 3 = Matriz Produto é 3 x 3 Produto possível Matriz

28 EXEMPLO 08 Calcule o resultado do produto de matrizes indicado abaixo SOLUÇÃO x 2 2 x 3 = Matriz Produto é 3 x 3 Produto possível Matriz Produto é da forma:

29 BIBLIOGRAFIAS STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987; BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. Álgebra linear 3a edição Ed. Harbra São Paulo SP STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987; KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.

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