Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012

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1 Prof. Luiz Antonio do Nascimento Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação a.b = b.a Propriedade associativa Adição (a + b) + c = a + ( b + c) Multiplicação (ab)c = a(bc) Elemento Neutro Adição a + 0 = a Multiplicação a. 1 = a Elemento oposto e elemento inverso Adição a (chamado oposto) tal que a + ( a) = 0 Multiplicação 1 a ou a- ¹ (chamado inverso) tal que a. 1 a =1 Propriedade distributiva a (b + c ) = ab + ac (b + c) a = ba + ca A foi concebida por René Descartes. União da Álgebra à Geometria que possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um Sistema de Coordenadas. As figuras podem ser representadas de pares ordenados (figuras planas), ternos ordenados (figuras sólidas) e equações (igualdades) ou inequações (desigualdades). 1

2 Representação Geométrica dos Números Representação através de uma reta numerada. Na reta graduada existe um Ponto de Origem (Ponto Zero) onde os pontos da direita representam os números positivos e os da esquerda os números negativos. Coordenadas Cartesianas Unidimensional Um dos elementos básicos da geometria é o ponto e para representar um ponto de maneira linear pode-se utilizar um Sistema de Coordenadas (Reta Real). Na reta numerada é definido um ponto O chamado Origem onde os números à direita são positivos e à esquerda negativos. A reta r é chamada eixo das abscissas. Os números são chamados abscissas dos pontos. abscissa do ponto A = -1 abscissa da origem O = 0 abscissa do ponto A = 1 Também chamado de Plano Cartesiano e Sistemas de Sistema de Coordenadas Retangulares ou Coordenadas Ortogonais. Um Ponto no Plano pode ser representado por um par ordenado (x, y). Sistema constituído de duas retas perpendiculares (reta horizontal chamada eixo x e reta vertical chamada eixo y). O ponto de intersecção é o ponto O (Origem). 2

3 Sistema de coordenadas cartesianas no plano. No par ordenado (x, y): o x é chamado de abscissa (ou coordenada x). o y é chamada ordenada (ou coordenada y). o x e y são as coordenadas de um ponto no espaço. Coordenadas do ponto P O sistema de coordenadas cartesiano é dividido em quatro partes chamadas de quadrante. 1º quadrante = x > 0 e y > 0 2º quadrante = x < 0 e y > 0 3º quadrante = x < 0 e y < 0 4º quadrante = x > 0 e y < 0 3

4 Pares ordenados dos pontos A, B, C e D no plano. Coordenadas Cartesianas Tridimensional Sistema de coordenadas onde um Ponto pode ser representado no Espaço um terno ordenado (x, y, z): o x é chamado de abscissa (ou coordenada x). o y é chamada ordenada ou afastamento (ou coordenada y). o z é chamado cota (ou coordenada z). Coordenadas Cartesianas Representação de um ponto no sistema de coordenadas unidimensional, bidimensional e tridimensional: 4

5 Tipos de Sistemas de Coordenadas Coordenadas Absolutas: Coordenadas baseadas no ponto de origem (0,0,0). Coordenadas Relativas Coordenadas baseadas em um ponto arbitrário baseado no último ponto (soma-se as coordenadas a partir do ponto arbitrário). Sistemas de Coordenadas retangulares bidimensionais Sistemas em que se utiliza X e Y como referência dos eixos principais. (0,0). Sistemas de Coordenadas Polares bidimensionais Sistemas em que se utiliza a distância de origem de um ponto e um ângulo em relação ao eixo X. Outros tipos de Coordenadas Conceito A geometria analítica diz respeito a definição e representação de formas geométricas de modo numérico e a extração de informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode ser um vetor. 5

6 Origem Os estudos iniciais da devemse ao filósofo e matemático francês René Descartes, inventor do sistema de coordenadas cartesianas, que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. René Descartes, que fez um progresso significante em seus métodos em um ensaio chamado Geometria, que foi um dos anexos publicados no seu Discurso do Método, em Origem Os estudos iniciais da devemse ao filósofo e matemático francês René Descartes ( ), inventor do sistema de coordenadas cartesianas, que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos em duas ou três dimensões. As figuras elementares da geometria são o ponto a reta e o plano. Ponto elemento que indica uma posição no plano ou no espaço. Representado por letras maiusculas A, B, C,... Reta caminho mais curto entre dois pontos. Uma linha infinita a uma dimensão que tem comprimento e não tem largura. Representado por letras minusculas a, b, c,... 6

7 Plano (superfície plana) conjunto infinito de pontos a duas dimensões. Possui comprimento e largura e não tem espessura. Um plano é como uma folha de papel que se estende infinitamente em todas as direções. Representado por um paralelograma. Representado por uma letra minuscula do alfabeto grego geralmente o α e o β. Espaço conjunto infinito de planos. Possui três dimensões (comprimento, largura e espessura). Figuras no espaço podem ser representadas através da perspectiva. Segmento conjunto formado por todos os pontos de uma reta entre dois pontos denominados extremidades do segmento. A figura mais simples construída por segmentos é o triângulo que é formado por três pontos que não pertencem a uma mesma reta e pelos três segmentos determinados por estes três pontos. Os três pontos são chamados de vértices e os segmentos de lados. 7

8 Eixo uma reta orientada. O sentido positivo da reta é o do sentido do eixo. Segmento Orientado um segmento de reta de extremos pertencentes a um eixo. Segmentos Coincidentes dado dois segmentos orientados AB e CD se A=C e B=D e é escrito (A,B)=(C,D). Segmento Nulo é o segmento cuja extremidade coincide com a origem (A,A). Segmentos Opostos dois segmentos orientados que possuem mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos contrários. (A,B) e (B,A). Módulo de um segmento (ou valor absoluto ou magnitude) comprimento de um segmento. Distância entre dois pontos. Ex.: Distância de A à C. A C D E F G B Representa-se o módulo por AC = 2. Medida Algébrica é o produto de um módulo por +1 ou -1 conforme o sentido do segmento coincida ou não com o sentido do eixo que o contém. Sentido de um segmento orientação do segmento da origem para a extremidade. Direção de um segmento inclinação do segmento que é determinado pelo eixo que o contém. Dois segmentos têm a mesma direção quando pertencem a um mesmo eixo ou a eixos paralelos entre si. 8

9 Abscissa de um ponto distância entre um ponto de origem e outro ponto qualquer em um eixo. Abscissa do ponto P: X P = OP Medida Algébrica de um segmento medida das diferenças de suas abscissas. AB = X B X A Ponto Médio de um Segmento ponto que divide o segmento em dois com o mesmo módulo. X M = X A +X B 2 Divisão de um segmento em n partes iguais utilizar a razão K. K = X B X A n X C = K + X A X D = K + X C. Equipolência de segmentos dois segmentos são equipolentes quando têm a mesma medida (módulo), a mesma direção e o mesmo sentido. Classe de Equivalência conjunto de todos os infinitos segmentos equipolentes no espaço. Todos os segmentos que formam uma classe de equipolência têm o mesmo módulo, direção e sentido qualquer que seja a sua origem. Vetor representação de uma classe de equivalência. 9