Conceitos de vetores. Decomposição de vetores

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1 Conceitos de vetores. Decomposição de vetores 1. Introdução De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática de grandezas físicas. Figura 1.1 Grandezas como temperatura, pressão, massa, potência e outras podem ser completamente definidas por um único valor numérico. Elas são denominadas escalares porque, na forma gráfica, podem visualizadas como um ponto em uma escala conforme a Figura 1.1(a). Outras grandezas (como velocidade, força, etc) precisam, além do valor escalar, de uma direção e graficamente são representadas por um segmento de reta com seta. São denominadas grandezas vetoriais. Portanto, um vetor define corretamente a grandeza através do seu comprimentoo e do ângulo que faz com uma referência, conforme a Figura1.1(b). 2. Notação Nesta aula, vetores são simbolizadoss por um caractere alfabético, maiúsculo ou minúsculo, em negrito. Exemplos: Vetor a, vetor B, vetor v, etc. Há também o símbolo de seta acima a do caractere, mas aqui não é adotado. Exemplo: Vetor. Em alguns casos, os vetores são designados por letras ou números nas suas extremidades. Exemplo: MN da Figura 1.1 do tópico anterior. O ponto M é a origem do vetor. O módulo do vetor é simbolizado pelo caractere sem negrito. Assim, para o vetor v, v v. Equivale ao comprimento l da Figura 1.1 do tópico anterior. Também denominado valor absoluto, magnitude. Graficamente, os vetores são em geral representados por um segmento de reta com seta conforme Figura 1.1 do tópico anterior. Algumas vezes, por razões de conveniência ou de clareza, precisa-se de uma representação simples para vetores perpendiculares ao plano do próprio documento. São usados os símbolos: vetor na direção do leitor para o papel (ou tela). vetor na direção do papel (ou tela) para o leitor.

2 3. Igualdade e oposição Dois ou mais vetores são iguais se têm idênticos comprimentos e direções. Assim, eles estão em segmentos de reta paralelos, podendo ser coincidentes ou não. Na Figura 3.1, a= =b. Dois vetores são opostos se têm o mesmo comprimento e direções opostas. De forma similar, estarão em segmentos de retas paralelos, coincidentes ou não. A oposição é marcada por sinal negativo: c= -d. Figura 3.1 Notar que esses conceitos de igualdade e oposição de vetores podem não ser suficientes para definir certos fenômenos físicos. Às vezes, é necessária a indicação dos pontos de origem. Exemplo: supõe-se que c e d da Figura 3.1 são forças atuantes em um mesmo corpo. Se estas forças estiverem no mesmo alinhamento, nenhum efeito é observado. Se elas estiverem deslocadas, conforme na figura, há um esforço de rotação (momento) sobre o corpo, tanto maior quanto maior a distância entre eles. Na Figura 3.1, os vetores têm o mesmo comprimento, isto é, a = b = c = d. A diferença de direção é condição suficiente para a desigualdade, independente do comprimento. Por exemplo, b c apesar de b = c. 4. Multiplicação por um escalar A multiplicação ou divisão por um escalar resulta num vetor em segmento de reta paralelo ao vetor original ou coincidente com este último. Figura 4.1

3 Exemplos de multiplicação e divisão por alguns fatores são dados na Figura 4.1. Vetor unitário é um vetor de módulo igual a uma unidade de referência no sistema em que se trabalha. Se u é um vetor unitário, então um vetor genérico a na mesma direção é dado por a = a u = a u A.1 O vetor unitário na mesma direção de um vetor genérico a é também denominadoo versor desse vetor e algumas vezes simbolizado por â. Portanto, â = a / a A Soma e subtração de vetores Para somar graficamente dois vetores a e b conforme Figura 5.1 (regra poligonal), move-se a origem de um até coincidir com o final do outro. Em outras palavras, une-se o sentido (ponta da seta) do 1 o vetor com a base do sentido (parte que não possui seta) do 2 o vetor. A origem e o final restantes definem o a direção e o sentido do vetor representativo da soma vetorial, de acordo com a mesma figura. Figura 5.1 O módulo da soma não é necessariamente igual à soma dos módulos. Se a + b = a + b, então a e b têm a mesma direção. Para a subtração, consideram-se na Figura 5.2 os mesmos vetores a e b da figura anterior. Conforme parte esquerda, faz-se a coincidência das origens e as extremidades restantes formam o vetor da diferença. Figura 5.2 Alternativamente, pode ser obtida segundo a parte direita da figura, isto é, a soma com o oposto:

4 a b = a + ( b). De forma similar à adição, o módulo da diferença não é necessariamente igual à diferença dos módulos. Se a b = a b, então a e b têm a mesma direção. Figura 5.3 Um outro método para a determinação gráfica da soma é a regra do paralelogramo, indicada na parte esquerda da Figura 5.3: Juntam-se as origens e a diagonal do paralelogramoo formado é a soma dos vetores c=a+b. Os vetores a e b formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante c. De acordo com a regra do paralelogramo, se a e b formam entre si um ângulo α, o módulo do vetor resultante c será dado pela expressão: Para vetores no espaço, pode-se usar a similar regra do paralelepípedo, conforme parte direita da mesma figura. Algumas propriedades da soma e da multiplicação por escalar: a + b = b + a (m + n) a = ma + na m (na) = (mn)a a + (b + c ) = (a + b) + c m (a + b) = ma + mb A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 6. Coordenadas de um vetor Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Considerando as regras da soma vetorial, se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vetor, pode-se facilmente verificar que esse vetor é igual à soma dos vetores formados por suass projeções em cada eixo.

5 Assim, na Figura 6.1, Figura 6.1 A = A x + A y A.1 Ou seja, os vetores e A y são os componentes do vetor no sistema de coordenadas. Para determinarmos os módulos das componentes A x e A y, devemos usar as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Seja α o ângulo formado entre A x e A:. onde A x é o módulo da componente horizontal A x do vetor A. Temos ainda. onde A y é o módulo da componente vertical A y do vetor A. Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por A e seus componentes A x e A y. Sejam os vetores unitários nos eixos de coordenadas: u x = i u y = j Então, A = A x i + A y j A.2 A.3 A.4 Os escalares A x e A y são as coordenadas do vetor no sistema.

6 Figura 6.2 No caso de um vetor no espaço conforme Figura 6.2, acrescenta-se uma coordenada: A = A x i + A y j + A z k A.5 Onde u z = k A.6 e os demais conforme A.2 e A.3. Para simplificar a notação, muitas vezes é usada a forma a{x a, Y a, Z a } B.1 Exemplos: a{2, 3, 0}, b{ 1, 12, 8}, etc. O módulo do vetor pode ser dado por suas coordenadas: a = (X a 2 + Y a 2 + Z a 2 ) 1/2 C.1 Condição de paralelismo: se os vetores a e b são paralelos, as suas coordenadas são proporcionais: X b / X a = Y b / Y a = Z b / Z a = c D.1 Se o coeficiente de proporcionalidade c é positivo, eles têm a mesma direção. Se negativo, eles são opostos (obs: se um dos coeficientes de a é nulo, fica subentendido que o correspondente de b também é nulo). Soma de vetores: se vetores são somados, o resultado tem as somas das coordenadas. Seja c = a + b E.1. Então, X c = X a + X b E.2 Y c = Y a + Y b E.3 Z c = Z a + Z b E.4 Multiplicação ou divisão por um escalar: as coordenadas do resultado têm a analogia. Seja c = m a F.1. Então, X c = m X a F.2 Y c = m Y a F.3 Z c = m Z a F.4

7 7. Produto escalar O produto escalar dos vetores a e b é dado pelo produto dos seus módulos multiplicado pelo co-seno do ângulo entre eles. A notação clássica é a b. Figura 7.1 a b = a b cos α A.1 Notar que, graficamente, equivale à projeção de b sobre a multiplicada pelo módulo de a ou vice-versa. Ver Figura 7.1. Se dois vetores fazem um ângulo reto entre si, o seu produto escalar é nulo porque cos 90 = 0. Algumas propriedades do produto escalar: a b = b a (a + b) c = a c + b c (ma) b = m (a b) (ma) (nb) = (mn) a b B.1 B.2 B.4 B.5 No caso particular a a = a 2 C.1, o produto é denominado quadrado escalar do vetor a. Produto escalar em termos de coordenadas: consideram-se os vetores: a {X a, Y a, Z a } b {X b, Y b, Z b }. O produto escalar é dado por: a b = X a X b + Y a Y b + Z a Z b D.1. Vetores podem ser representados em forma de matrizes de coluna. Os vetores a e b abaixo são dados por matrizes 3 1 que contêm suas coordenadas. Matriz transposta de outra matriz é transposta do vetor a, ou seja, a T, é a matriz formada pela troca de linhas com colunas. Portanto, a matriz

8 Segundo a regra da multiplicação de matrizes, o produto a T b é a matriz 1 1 abaixo. Portanto, na notação matricial, o produto escalar é dado por: a b = a T b E.1. Ângulo entre dois vetores cos α = a b X a X b + Y a Y b + Z a Z b = 2 2 a b (X a + Y a + Z 2 a ) 1/2 2 2 (X b + Y b + Z 2 b ) 1/2 F.1 Condição de perpendicularidade Se a e b são perpendiculares entre si, então a b = 0. Se a b = 0, a e b são perpendiculares entre si. Figura 7.2 Significado físico do produto escalar Há inúmeros exemplos de aplicação de produto escalar em fenômenos físicos. Seja o caso do trabalho de uma força: No esquema da Figura 7.2, se um ponto material se desloca de 0 até 1 sob ação de uma força F constante, então o produto escalar de F pelo vetor 01 é o trabalho executado por essa força. Produto escalar e soma de vetores A Figura 7.3 dá a representação gráfica da soma simples c = a + b. Por trigonometria, deduz-se a relação: OC 2 = OB 2 + BC 2. E pode-se tambémm verificar: Figura 7.3

9 OC = c. OB = OA + AB = a + b cos φ. BC = b sen φ. Substituindo, c 2 = a a b cos φ + b 2 cos 2 φ + b 2 Simplificando, c 2 = a 2 + b a b cos φ. Mas a b cos φ é o produto escalar dos vetores a e b. Portanto, em módulo, a soma é dada por: c 2 = a 2 + b a b #G.1#. sen 2 φ. Produto escalar e subtração de vetores O caso de c = a b equivale a c = a + ( b) conforme Figura 7.4. Tem-se OC 2 = OA 2 + AC 2. OC = c. OA = a b cos φ. AC = b sen φ. Figura 7.4 c 2 = (a b cos φ) 2 + b 2 sen 2 φ c 2 = a 2 + b 2 cos 2 φ 2 a b cos φ + b 2 Simplificando, sen 2 φ. c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos φ, porque cos 2 φ + sen 2 φ = 1. De forma similar ao caso anterior, c 2 = a 2 + b 2 2 a b H.1.

10 8. Produto vetorial Sejam, conforme Figura 8.1, a e b dois vetores no mesmo plano. O produto vetorial deles, simbolizado por a b, é um vetor tal que: Figura 8.1 1) Seu módulo é igual à área do paralelogramo 0123, isto é, a b = a b sen α A.1. 2) É perpendicular ao plano dos vetores a e b. 3) A direção é dada pela regra da mão direita, considerando que a é o multiplicando e b, o multiplicador. A expressão produto vetorial indica que é realmente um vetor, ao contrário do produto escalar. Desde que a direção é determinada pela regra anterior, fica evidente que a ordem dos fatores não é indiferente. Assim, b a = (a b) significa que não há propriedade comutativa. B.1. Isso Algumas propriedades do produto vetorial: a a = 0 (a + b) c = a c + b c (ma) b = m(a b) (ma) (nb) = mn (a b) C.1 C.2 C.3 C.4 Produto vetorial em função de coordenadas Sejam os vetores: a { X a, Y a, Z a } b { X b, Y b, Z b } Conforme visto em página anterior, eles podem ser representados em forma de matriz:

11 O produto vetorial pode ser calculado pelo determinante da matriz abaixo, onde i, j, k são os vetores unitários do sistema de coordenadas. O resultado desse determinante será uma soma de i, j, k multiplicados por números que indicam as coordenadas do produto vetorial. O produto vetorial pode ser também calculado com o uso do seguinte produto de matrizes. Notar que é o produto de um matriz 3 3 por uma 3 1, resultando em uma matriz 3 1 com as coordenadas do produto vetorial. Significado físico do produto vetorial Figura 8.2 Há vários exemplos físicos. Este é o caso do momento mecânico: Seja, conforme Figura 8.2, uma força F cuja distância até o ponto 0 é dada pelo vetor 01. O produto vetorial desses dois vetores dá o momento da força em relação ao ponto 0. Segundo leis da mecânica clássica, um corpo está em equilíbrio estático se a soma das forças e a soma dos momentos atuantes são nulas. Se todas as forças atuantes estão no mesmo plano ou em planos paralelos, basta considerar os produtos dos módulos das forças pelas distâncias no cálculo dos momentos. Caso contrário, a condição de equilíbrio só pode ser verificada com os momentos vetoriais.