Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas

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1 Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas 1 Sistema Unidimensional de Coordenadas Conceito: Neste sistema, também chamado de Sistema Linear, um ponto pode se mover livremente sobre uma reta (ou espaço unidimensional). Para proceder a localização de pontos sobre uma reta origem, uma escala e uma orientação para a reta. é necessário determinar uma Marca-se sobre a reta L um ponto O chamado de origem e adota-se uma unidade de medida. O ponto O divide a reta L em duas semirretas: Uma das semirretas é escolhida para determinar o sentido positivo e é chamada de semirreta positiva. A semirreta oposta à semirreta positiva é chamada de semirreta negativa e o sentido oposto ao sentido positivo é denominado sentido negativo. É usual marcar a semirreta positiva com uma flecha em sua ponta. Ao ponto O associa-se o número zero. Ao ponto U, localizado a uma unidade de medida do ponto O no sentido positivo da reta orientada associa-se o número um. P Assim, é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais e os pontos sobre a reta, da seguinte maneira: Cada número real corresponde a um único ponto da reta. Cada ponto P da reta corresponde a um único número real, chamado de coordenada de P. Cálculo II - 1

2 Coordenada A coordenada de um ponto representa a distância orientada entre os pontos e. Diz-se que tem coordenada e escreve-se. onde é a distância de a medida em termos da unidade adotada., quando o está no semieixo positivo quando o ponto está no semieixo negativo Quando a cada ponto da reta tiver sido associada uma coordenada constitui-se um sistema de coordenadas na reta e esta reta é então chamada de eixo de coordenadas, escala numérica ou reta numérica. É usual denominar o eixo horizontal por eixo ou eixo de abscissas. Conjunto dos Números Reais O conjunto das coordenadas de todos os pontos da escala numérica é chamado de conjunto dos números reais. Cálculo II - 2

3 Exemplo: Não é possível mostrar as coordenadas de todos os pontos na escala numérica de modo explícito. No entanto, podemos imaginá-las dispostas ao longo da reta. Os números racionais podem ser obtidos por subdivisão dos segmentos correspondentes. Os pontos associados a certos irracionais, como 2, podem ser obtidos por construções geométricas. Já para outros irracionais, como, podem ser aproximado com o grau de precisão desejado. Distância Orientada entre dois pontos A e B Sejam e dois pontos de um eixo de coordenadas. Denomina-se distância orientada entre os pontos e o número real dado por É a medida algébrica do segmento de origem em e extremidade em Distância entre dois pontos A e B Sejam e dois pontos de um eixo de coordenadas. Denomina-se distância entre os pontos e o número real dado por. Cálculo II - 3

4 Exemplos: 1) Considere o mapa representado na figura abaixo e seja uma pessoa localizada na esquina da Rua B com a Avenida P (ponto P). Inicialmente ela segue pela Avenida P até a esquina da Rua E (ponto E). A seguir, ela retorna pela Avenida P até a Rua A (ponto A). De acordo com os sistemas de coordenadas indicados, determine as coordenadas dos pontos a distância total percorrida pela pessoa e a que distância de sua posição inicial ela se encontra ao final do percurso. a) Sistema de eixo de coordenadas constituído por uma reta paralela à Avenida P de sentido positivo na direção Oeste-Leste, origem na esquina da Avenida P com a Rua B e unidade de medida uma quadra. Origem do sistema:, O Ponto E está a 3 quadras do ponto O Ponto A está a 1 quadra do ponto no sentido positivo: no sentido negativo: Distância percorrida de até : Distância percorrida de até : Distância total percorrida: Distância da posição de origem: Cálculo II - 4

5 b) Sistema de eixo de coordenadas constituído por uma reta paralela à Avenida P de sentido positivo na direção Leste-Oeste, origem na esquina da Avenida P com a Rua D e unidade de medida em metros (m). Considere 1 quadra=100 m. Origem do sistema:, O ponto está a 200 m do ponto no sentido positivo do eixo: (200) O ponto está a 100 m do ponto no sentido negativo: O ponto está a 300 m do ponto no sentido positivo do eixo: Distância percorrida de até : Distância percorrida de até : Distância total percorrida: Distância da posição de origem: 2) Nos itens abaixo, considere um eixo de coordenadas com sentido positivo Leste-Oeste de acordo com a rosa dos ventos indicada. a) Um corpo descola-se 3 metros na direção Leste até o ponto, a seguir deslocase 7 metros na direção Oeste até o ponto e depois mais 5 metros na direção Leste até o ponto. Represente e dê as coordenadas dos pontos que descrevem este movimento. Determine a posição final do corpo em relação à sua posição de origem. Como a origem do sistema não foi estabelecida, podemos considerar que a posição inicial do movimento do corpo coincide com a origem do sistema. Inicialmente o corpo descola-se 3 metros na direção Leste até o ponto, ou seja, 3 metros no sentido contrário do eixo de coordenadas, então: Distância orientada Cálculo II - 5

6 A seguir desloca-se 7 metros na direção Oeste até o ponto, ou seja, 7 metros no sentido positivo do eixo de coordenadas. Distância orientada Depois se desloca mais 5 metros na direção Leste até o ponto, ou seja, 5 metros no sentido oposto do eixo de coordenadas. Distância orientada No final do percurso, o corpo se encontra no ponto de coordenada. A coordenada do ponto representa a distância orientada do ponto em relação à origem do sistema de coordenadas. Como a origem do sistema coincide com a origem do movimento, a coordenada -1 significa que o corpo encontra-se a 1 metro na direção Leste de sua posição de origem. b) Outro corpo inicia seu movimento a partir da posição alcançada pelo corpo do item anterior (ponto C). Inicialmente descola-se 5 metros na direção Oeste até um ponto, a seguir desloca-se 2 metros na direção Leste até um ponto e depois mais 6 metros na direção Oeste até um ponto F. Considerando o sistema de coordenadas do item anterior, determine a posição final do corpo em relação à sua posição de origem e em relação à origem do sistema. A distância orientada significa que no final do percurso (ponto ) o corpo está a 9 metros de sua posição inicial (ponto ) no sentido positivo do eixo (direção Oeste). Como a posição inicial do movimento é : A coordenada coordenada representa que o corpo está a 8 metros da origem do sistema de, na direção oeste. Cálculo II - 6

7 3) Considere um eixo de coordenadas para representar o tempo em anos. A origem deste eixo é o ano do nascimento de Cristo e o sentido positivo indica os anos d.c (depois de Cristo). a) Indique no eixo e determine as coordenadas dos pontos NA e MA que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa A que nasceu no ano de 30 a.c. e morreu no ano 25 d.c. Calcule a idade que esta pessoa morreu. Coordenada do ponto, Coordenada do ponto, Tempo de vida: b) Indique no eixo e determine as coordenadas dos pontos e que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa B que nasceu no ano de 20 a.c. e morreu no ano 10 d.c. Calcule a idade que esta pessoa morreu. Coordenada do ponto, Coordenada do ponto, Tempo de vida: c) Determine quem nasceu e quem morreu primeiro e por quantos anos as pessoas A e B foram contemporâneas. A pessoa A nasceu primeiro. A pessoa B morreu primeiro. As pessoas A e B foram contemporâneas no período entre o nascimento da última a nascer até a morte da primeira a morrer Cálculo II - 7

8 2 Sistema Bidimensional de Coordenadas Conceito: Neste sistema, um ponto pode se mover livremente em todas as direções de um plano (ou espaço bidimensional). 2.1 Sistema Bidimensional de Coordenadas Cartesianas Este sistema, também conhecido com sistema de coordenadas retangulares, é representado por duas retas orientadas denominadas eixos coordenados, perpendiculares entre si. Usualmente, representa-se um eixo na horizontal com orientação positiva para a direita e o outro na posição vertical com sentido positivo para cima. O eixo horizontal ou mais comumente eixo x ou eixo dos x é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical ou mais comumente eixo y ou eixo dos y é denominado eixo das ordenadas. O ponto de interseção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. Os eixos coordenados dividem o plano em quatro quadrantes. Ao ponto associam-se a coordenada zero, para o eixo dos x, e a coordenada zero, para o eixo dos y. Sobre o eixo das abscissas, a partir da origem no sentido positivo do eixo, marca-se o ponto, correspondente à unidade de comprimento do eixo e associa-se a abscissa um. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas, a partir da origem no sentido positivo do eixo, marca-se o ponto, correspondente à unidade de comprimento do eixo e associa-se a ordenada um. Os comprimentos e, que representam a escala utilizada, respectivamente, no eixo e no eixo não necessitam ter exatamente o mesmo tamanho. Cálculo II - 8

9 Cada ponto do plano está associado a um único par ordenado, onde é a abscissa de e a ordenada de. Abscissa e a ordenada são chamadas de componentes da coordenada de. Em correspondência, um par ordenado de números reais corresponde a um único ponto do plano. A abscissa representa a distância orientada do eixo dos ao ponto. A ordenada representa a distância orientada do eixo dos ao ponto. ( ) Projeção ortogonal de sobre o eixo dos ( ) Projeção ortogonal de sobre o eixo dos ( ) Projeção ortogonal de sobre o eixo dos ( ) Projeção ortogonal de sobre o eixo dos Nesta correspondência biunívoca entre um ponto geométrico ordenado de números reais a ele associado diz-se que: no plano e o par tem coordenada e escreve-se ; é a representação geométrica ou gráfica do par ordenado ; A coordenada é a representação analítica de P; e são as componentes da coordenada de ; O plano cartesiano é a representação geometria do conjunto ou, lêse produto cartesiano de por. Cálculo II - 9

10 Distância entre dois pontos no plano cartesiano. Sejam e dois pontos no plano cartesiano. Denomina-se distância entre os pontos e o número real dado por Exemplos: 1) Considere o mapa representado na figura abaixo e sejam duas pessoas localizadas na esquina da Rua D com a Avenida P (ponto P). Uma destas pessoas deseja ir para a esquina da Avenida R com a Rua E (ponto A) e a outra deseja ir para a esquina da Avenida Q com a Rua A (ponto B). Cálculo II - 10

11 a) Considere um sistema de coordenadas cartesiano com origem no ponto de eixo horizontal com orientação Leste e eixo vertical de orientação Norte, sendo a unidade de medida 1 metro (m). Considere 100 m=1 quadra. Com base neste sistema determine quantos metros as duas pessoas andaram para alcançarem o objetivo, as coordenadas da posição final e a distância que elas se encontram do ponto de origem do percurso. Percurso de até 100 metros na direção Leste (mesmo sentido do eixo dos ) até o ponto, mais 200 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos ). Distância percorrida Distância do ponto de origem, medida direta de até ( ) Percurso de até 300 metros na direção Oeste (sentido contrário ao do eixo ) até o ponto, mais 100 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos ). Distância percorrida Distância do ponto de origem, medida direta de até ( ) Cálculo II - 11

12 b) Considere um sistema de coordenadas cartesiano com origem na esquina da Avenida Q com a Rua C de eixo horizontal com orientação Oeste e eixo vertical de orientação Norte, sendo a unidade de medida igual a 1 metro. Considere 100 m = 1 quadra. Com base neste sistema determine quantos metros (m) as duas pessoas andaram para alcançarem o objetivo, as coordenadas da posição final e a distância que elas se encontram do ponto de origem do percurso. Inicialmente vamos determinar a coordenada do ponto que indica a posição inicial das pessoas neste novo sistema. O ponto P está a 100 m do ponto de origem do sistema na direção Sul (sentido contrário ao do eixo ) e a 100 m na direção Leste (sentido contrário ao do eixo dos x), logo. Percurso de até 100 metros na direção Leste (sentido contrário ao do eixo ) até o ponto mais, 200 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos ). Distância percorrida Distância do ponto de origem do percurso, medida direta de até ( ) ( ) ( ) Percurso de até 300 metros na direção Oeste (mesmo sentido do eixo ) até o ponto mais, 100 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos ). Distância percorrida Cálculo II - 12

13 Distância do ponto de origem do percurso, medida direta de até ( ) ( ) ( ) 2) Se são três pontos no plano, então pertence ao segmento de reta se, e somente se,. Utilize esta informação e determine se pertence ao segmento de reta : a) Então,, logo pertence ao segmento de reta 3) Verifique se o triângulo de vértices ABC é isósceles, equilátero ou escaleno. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Triângulo isósceles (dois lados iguais) Cálculo II - 13

14 Translação de eixos Se dois sistemas cartesianos de coordenadas têm eixos correspondentes que são paralelos e possuem as mesmas direções positivas, então um sistema é obtido do outro por translação de eixos. ou Rotação de eixos Se dois sistemas cartesianos de coordenadas têm a mesma origem e os eixos coordenados não possuem as mesmas direções positivas, então um sistema é obtido do outro por rotação de eixos. ou Onde é o ângulo que o semieixo positivo faz com o semieixo positivo. Por convenção, o ângulo é considerado positivo quando a rotação do sistema em relação à origem é no sentido anti-horário e negativo quando a rotação é no sentido horário. Cálculo II - 14

15 .. Cálculo II - 15

16 Exemplos: 1. Considere um sistema obtido por translação do sistema. O sistema foi transladado 3 unidades no sentido contrário do eixo dos e 4 unidades no sentido positivo do eixo dos. Para cada um dos pontos abaixo determine suas coordenadas no sistema sendo conhecidas suas coordenadas no sistema. a) Ponto origem do sistema b) Ponto c) Ponto Cálculo II - 16

17 2. Considere um sistema obtido por translação do sistema. O sistema foi transladado 4 unidades na direção positiva do eixo dos e 2 unidades na direção negativa do eixo dos. Para cada um dos pontos abaixo determine suas coordenadas no sistema sendo conhecidas suas coordenadas no sistema a) Ponto origem do sistema b) Ponto c) Ponto Cálculo II - 17

18 3. Considere um sistema obtido pela rotação de 225 o do sistema. Para cada um dos pontos abaixo determine suas coordenadas no sistema sendo conhecidas suas coordenadas no sistema. a) Ponto b) Ponto c) Ponto ( ) Cálculo II - 18

19 4. Considere um sistema obtido pela rotação de -30 o do sistema. Para cada um dos pontos abaixo determine suas coordenadas no sistema sendo conhecidas suas coordenadas no sistema a) Ponto ( ) b) Ponto ( ) ( ) ( ) c) Ponto ( ) Cálculo II - 19

20 2.2 Sistema Bidimensional de Coordenadas Polares O sistema de coordenadas polares no plano tem como referenciais um ponto fixo denominado polo e uma semirreta orientada fixa com origem em denominada eixo polar e um raio. O eixo polar Considere um ponto genérico no plano e seja o raio r a distância entre o polo e o ponto, assim. Se, então pertence a uma única semirreta determinada com a origem em. Seja o ângulo formado entre o eixo polar e esta semirreta, medido a partir do eixo polar. Como o ângulo tem vértice no pólo e o seu lado inicial é o eixo polar ele é dito estar na posição padrão ou fundamental. Assim, a semirreta constitui o lado terminal do ângulo na posição fundamental. Os ângulos são geralmente medidos em radiano e são considerados positivos quando medidos no sentido anti-horário. Lado terminal do ângulo r ) O eixo polar Lado inicial do ângulo ângulo na posição fundamental A cada ponto do plano pode-se associar um par de números reais e denominados coordenadas polares de. Denota-se, onde é a coordenada radial (raio) de, que é a distância de em relação ao pólo, e é a coordenada angular ou ângulo polar de. As coordenadas polares ) estabelecem a posição do ponto em relação a uma grade formada por círculos concêntricos com centro em e semirretas partindo de. O valor de localiza P num círculo de raio, o valor de localiza numa semirreta que é o lado terminal do ângulo na posição fundamental, e é determinado pela interseção do círculo com a semirreta. Cálculo II - 20

21 Diferentemente do sistema de coordenadas cartesianas, um ponto tem muitas representações no sistema de coordenadas polar. Se um ponto tem o ponto, coincide com o pólo independente do ângulo. As coordenadas são coordenadas polares de um mesmo ponto, uma vez que representa uma volta completa. Podemos generalizar dizendo que se n é um número inteiro qualquer então. Também é conveniente admitir negativo, convencionando que o ponto está localizado a unidades do polo, mas numa semirreta oposta a de, isto é, no sentido oposto do lado terminal do ângulo polar, ou seja, ponto sobre o raio. Exemplos Os pontos e R indicados na figura acima poderiam, entre outras formas, serem representados pelas seguintes coordenadas polares: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo II - 21

22 Conversão de Coordenadas Para converter coordenadas polares em cartesianas, ou vice-versa, é usual considerar o polo do sistema polar coincidente com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar do sistema polar ao longo do eixo positivo. Assim, o eixo positivo é a semirreta. ou Observações: Se está na posição fundamental então Se então para Exemplos 1. Converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas: a) b) ( ) c) ( ) Cálculo II - 22

23 2. Converta as coordenadas cartesianas dadas para coordenadas polares. Considere a representação do ponto cujo ângulo polar esteja em sua posição fundamental e medido no sentido anti-horário: a) Como o ponto está no primeiro quadrante, logo b) ( ) ( ) ( ) Como o ponto está no terceiro quadrante, logo c) ( ) ( ) ( ) Como o ponto está no quarto quadrante, logo d) Como o ponto pertence ao eixo negativo logo Cálculo II - 23

24 3 Sistema Tridimensional de Coordenadas Cartesianas Conceito É um sistema no qual um ponto pode se mover livremente em todas as posições do espaço (ou espaço tridimensional). Este sistema, tem como referenciais três planos mutuamente perpendiculares que se interceptam em três retas mutuamente perpendiculares e num ponto comum Escolhamos três retas orientadas mutuamente perpendiculares e denotemos por O o ponto de interseção entre elas (chamado ponto de origem do sistema). Estas retas, ditas eixos coordenados, são designadas como eixo dos (eixo das abscissas), eixos dos (eixo das ordenadas) e eixos dos (eixo das cotas). Na forma usual de representação, os eixos dos x e dos y formam um plano horizontal e o eixo dos z é ortogonal a este plano. No sistema de coordenadas dextrogiro, a direção do eixo dos z é dada pela regra da mão direita. Sistema de Coordenadas Dextrogiro Regra da Mão Direita: se curvar os dedos da mão direita em torno de z rodando do sentido positivo do eixo dos x para o sentido positivo do eixo dos y, então o polegar indica o sentido positivo de z. ( ) Os planos que contêm os eixos coordenados são chamados de planos coordenados. Plano contém os eixos dos x e dos y Plano contém os eixos dos y e dos z Plano contém os eixos do x e dos z Cálculo II - 24

25 Estes planos dividem o espaço em 8 partes chamadas octantes. Podemos representar um ponto P no espaço pelo terno ordenado, onde a, b e c são chamadas de coordenadas do ponto P. Coordenadas de um ponto P no espaço é a distância orientada do ponto ao plano é a distância orientada do ponto ao plano é a distância orientada do ponto ao plano OBS: Um terno ordenado de números reais está associado a um único ponto do sistema de coordenadas. Ao ponto de origem do sistema O está associado o terno (0,0,0). Nesta correspondência biunívoca entre um ponto geométrico no espaço e o terno ordenado de números reais a ele associado diz-se que: tem coordenada e escreve-se ; é a representação geométrica ou gráfica do terno ordenado ; A coordenada é a representação analítica de P;, e são as componentes da coordenada de ; O espaço cartesiano é a representação geometria do conjunto ou, lê-se produto cartesiano de por por (espaço euclidiano tridimensional. Cálculo II - 25

26 Exemplos: 1. Localize os pontos dados no sistema de coordenadas cartesianas no espaço: O 2. Represente a posição de um móvel em cada uma das etapas de sua trajetória descrita abaixo. Considere que a posição inicial do móvel coincida com a origem do sistema cartesiano. Determine as coordenadas da posição final do objeto. A) Inicialmente o objeto se move no sentido positivo do eixo dos uma distância de 3 unidades. B) Depois se move 4 unidades no sentido contrário ao eixo dos. C) Finalmente se move no sentido positivo do eixo dos uma distância de 2 unidades. Cálculo II - 26

27 Projeções do Ponto P nos Planos Coordenados Seja Se traçarmos uma reta perpendicular do ponto ao plano, encontramos um ponto chamado projeção de no plano Se traçarmos uma reta perpendicular do ponto ao plano, encontramos um ponto chamado projeção de no plano Se traçarmos uma reta perpendicular do ponto ao plano, encontramos um ponto chamado projeção de no plano Exemplo: 1. Dado o ponto determine os pontos que representam as projeções do ponto nos planos, e, respectivamente. Distância entre dois pontos no espaço. Sejam e dois pontos no espaço. Denomina-se distância entre os pontos e o número real dado por Cálculo II - 27

28 Exemplo 1. Suponha que uma pessoa esteja em um determinado ponto de uma cidade e caminhe 2 quadras para o Norte (ponto ), depois 3 quadras para Leste (ponto ) e depois suba até o 20º andar de um edifício (ponto ). Considere 1 quadra=100 metros e 1 andar = 3 metros. Considere um sistema de coordenadas cartesiano cuja origem coincida com a posição de inicial do movimento, o eixo dos tem sentido positivo na direção Norte e o eixo dos tem sentido positivo na direção Oeste. Com base neste sistema determine a coordenada da posição final desta pessoa, quantos metros ela percorreu e a que distância ela se encontra do ponto de partida. L S N O Percurso de até 2 quadras=200 na direção Norte (no sentido do eixo ) até o ponto. Percurso de até 3 quadras=300 na direção Leste (no sentido do contrário do eixo ) até o ponto. Percurso de até 20 andares=20.3=60 para cima (no sentido positivo do eixo ) até o ponto. Distância percorrida Distância do ponto de origem do percurso, medida direta de até ( ) ( ) Cálculo II - 28

29 2. Considere um sistema cartesiano tridimensional com eixos representando a longitude, a latitude e a altitude de um determinado ponto, nesta ordem. A longitude e latitude estão em graus e a altitude em metros. O ponto,origem do sistema tem coordenadas, o eixo longitude tem sentido positivo para Leste, o eixo latitude tem sentido positivo para Norte e o sentido positivo do eixo altitude indica que o ponto está acima do nível do mar. O avião sai da cidade e sua rota é voar para Leste, para norte e subir 600 metros. O avião sai da cidade e sua rota é voar para o Sul, para Oeste e subir 650 m. Determine as coordenadas no final da rota de cada avião e identifique os continentes. Com base nestas informações verifique se houve acidente aéreo. Avião A: Origem: : América do Sul Rota: para Leste: sentido positivo da longitude (+ ) para Norte: sentido positivo da latitude (+ ) Subir : sentido positivo da altitude (+ ) Final da rota:,,650) Europa Avião B: Origem: : Ásia Rota: para Sul: sentido negativo da latitude ( ) para Oeste: sentido negativo da longitude ( ) Subir : sentido positivo da altitude (+ ) Final da rota:,,850) Europa Não houve acidente, pois embora os aviões estejam na mesma longitude e latitude eles estão em altitudes diferentes. Cálculo II - 29