14/03/2013. Cálculo Vetorial. Professor: Wildson Cruz

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8 Estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles eram representados por um segmento de reta orientado. E agora vamos mostrar uma outra forma de representá-los: os segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço.

9 TRATAMENTO ALGÉBRICO Vetores no plano Considere dois vetores v 1 e v 2 não paralelos, representados com a origem no mesmo ponto O, sendo r 1 e r 2 retas representantes. Os vetores u, v, w, t, x e y, representados na figura (próximo slide) em função de v 1 e v 2

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11 De modo geral, dados dois vetores quaisquer v 1 e v 2 não paralelos, para cada vetor representado no mesmo plano de v 1 e v 2, existe somente uma só dupla de números reais a 1 e a 2 tal que v=a 1 v 1 +a 2 v 2 Se o vetor v estiver representado como acima dizemos que v é uma combinação linear de v 1 e v 2. O par de vetores v 1 e v 2 não colinear, é chamado de base no plano.

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15 O vetor a 1 v 1 chamado projeção de v sobre v 1 segunda a direção de v 2. Do mesmo modo a 2 v 2 é a projeção de v sobre v 2 segundo a direção de v 1

16 Na prática utilizamos a bases ortonormais do plano xoy. Uma base {e 1,e 2 } é dita ortonormal se seus vetores forem ortonormais e unitários, isto é, e 1 e 2 e e 1 = e 2 =1

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18 As bases formadas pelos pontos (1,0) e (0,1) são particularmente importante. E estes vetores são simbolizados com i e j e a base { i, j } é chamada de base canônica.

19 Dado o vetor v = x i + y i no qual x e y são as componentes de v em relação à base { i, j }, o vetor xi é a projeção ortogonal de v sobre i (ou sobre o eixo dos x) e yj é a projeção ortogonal de v sobre j (ou sobre o eixo y). Obs. Como a projeção sempre será ortogonal, então diremos somente ortogonal.

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21 Expressão Analítica de um Vetor O vetor no plano é um par ordenado ( x, y) de números reais e se representa por: v=(x, y) que é a expressão analítica de v. A primeira componente x é chamada de abscissa e a segunda, ordenada. Por exemplo, em vez de escrever v= 3i - 5j, pode-se escrever v=(3,-5)

22 Igualdade de Vetores Dois vetores u= (x 1,y 1 ) e v (x 2, y 2 ) são iguais se, e somente se, x 1 =x 2 e y 1 =y 2, daí u = v Na Prática. O vetor w=( 3, y-1 ), é igual ao vetor s=( x+2, 2), Dê as componentes numéricas desse vetores coloque como projeção no plano com origem em O.

23 Atividade Rápida O vetor x=( 3-x, 5 ), é igual ao vetor z=( -2, y+3 ), Dê as componentes numéricas desse vetores coloque como projeção no plano com origem em O.

24 OPERAÇÕES COM VETORES Seja os vetores u= (x 1,y 1 ) e v (x 2, y 2 ) e Є R. Define-se: 1) u + v = (x 1 +x 2, y 1 + y 2 ) 2) u=( x 1, y 1 ) Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número.

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26 Considerando estes vetores, tem-se ainda: -u = (-1) u = (-x 1, -y 1 ) u v = u + ( -v ) = (x 1, y 1 ) + (-x 2,-y 2 ) = ( x 1 -x 2,y 1 y 2 ) a) Para quaisquer vetor u, v e w tem-se: 1) u + v = v + u 2) (u + v) + w = u + (v + w) 3) u + 0 = u 4) u + (-u) = 0

27 b) Para quaisquer vetores u e v e os números reais e β, tem se: 1) (β v) = ( β)v 2) ( u + v )= u + v 3) ( + β ) u = u + β u 4)1v = v

28 Exemplos: 1) Dado os vetores u = (2,-3) e v= (-1,4) determinar 3 u + 2 v e 3 u 2 v 2)Determinar o vetor x na igualdade 3 x + 2 u = 1/2 v + x, sendo u (3,-1) e v =( - 2, 4) 3) Encontrar os números a 1 e a 2 tais que v = a 1 v 1 +a 2 v 2, sendo v (10,2) v 1 =(3,5) e v 2 = (- 1, 2 )

29 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS Considere o vetor AB de origem no ponto A( x 1, y 1 ) e extremidade em B (x 2, y 2 )

30 De acordo com o que já estudamos os vetores AO e OB tem expressões analíticas: AO =(x 1,y 1 ) e OB = (x 2, y 2 ) Por outro lado, o triângulo OAB da figura anterior, vem. AO + AB = OB Assim: AB = OB AO AB = (x 2, y 2 ) - (x 1,y 1 ) AB= (x 2 -x 1, y 2 -y 1 )

31 É importante ressaltar que um vetor tem infinitos representantes que são o segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E dentre os infinitos representantes do vetor AB, o que melhor caracteriza e aquele que tem origem em O (0,0 )e extremidade em P (x 2 -x 1, y 2 -y 1 ) O vetor v = OP é também chamado de vetor posição ou representante natural de AB.

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34 Os segmentos orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor v = P-O = B A= D C = ( 3,1) OBS: Mesmo que os segmentos orientados ocupem posições diferentes, isso é irrelevante. O que importa é que eles tenha o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido para representarem o mesmo vetor.

35 Sempre que tivermos, v = AB ou v = B A Podemos também concluir; B= A + v ou B = A + AB, o vetor transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B. Winterle Pag 25

36 Praticando: 1) Dados os pontos A (1, 2) B (3, -1) e C ( -2, 4), determinar o ponto D de modo que CD= 1/2AB 2) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v = (2, -5) sabendo que sua origem é o ponto A (-1, 3)

37 Referência Winterle, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.