Referenciais Cartesianos

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2 Referenciais Cartesianos René Descartes ( ) Filósofo e Matemático Francês. Do seu trabalho enquanto Matemático, destaca-se o estabelecimento da relação entre a Álgebra e a Geometria. Nasceu assim um novo ramo da Matemática: A Geometria Analítica.

3 REFERENCIAIS ORTOGONAL E MONOMÉTRICO O referencial cartesiano no plano é formado : por dois eixos que se intersectam num ponto Origem do referencial pelo eixo horizontal Eixo das abcissas ( Ox) pelo eixo vertical Eixo das ordenadas ( Oy) A unidade de medida pode ser ou não a mesma para os dois eixos

4 COORDENADAS NO PLANO No plano a posição de um ponto fica definida por um par ordenado de números. y 2 A 0 3 x A ( 3, 2 ) abcissa ordenada CONCLUSÃO: Coordenadas do ponto P

5 y Origem Eixo das Abcissas 0 x Eixo das Ordenadas

6 Abcissa negativa Ordenada - positiva y Abcissa positiva Ordenada - positiva 2º Quadrante 0 3º Quadrante 1º Quadrante 4º Quadrante x Abcissa negativa Ordenada - negativa Abcissa positiva Ordenada - negativa

7 NOTA: Os pontos dos eixos coordenados não pertencem a nenhum dos quadrantes. Referencial ortogonal e monométrico (o.m.) Eixos coordenados perpendiculares Unidade de comprimento nos dois eixos é a mesma

8 Fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre dos pontos do plano. P ( x, y ) 2 IR e o conjunto Logo IR IR IR 2 IR IR x,y : x IR y IR

9 EXERCÍCIO: Considera o ponto P ( 2 k, k + 1 ) ; k IR

10 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

11 Distância entre dois pontos na reta numérica Consideremos os pontos A e B da reta numérica seguinte.

12 Distância entre dois pontos no plano EXEMPLO Resolução:

13 CONCLUSÃO Se:

14 EXEMPLO Determina o perímetro do triângulo [ABC]. A Resolução: C B

15 Ponto médio de um segmento de reta [AB] Reta numérica Sejam A e B dois pontos distintos na reta numérica, de abcissas a e b, respetivamente. Seja M o ponto médio de [AB] cuja abcissa é m. 1º caso: a < b 2º caso: a > b Como MA = MB, tem se: m a = b m 2m = a + b a + b m = 2 Como MB = MA, tem se: m b = a m 2m = a + b a + b m = 2 Na reta numérica, dada dois pontos A e B de abcissas a e b, respetivamente, a abcissa M, ponto médio de [AB], é igual a a+b 2

16 Ponto médio de um segmento de reta [AB] Plano Na figura seguinte está representado num referencial ortonormado xoy o segmento de reta AB e o seu ponto médio M.

17 Ponto médio de um segmento de reta [AB] Plano

18 Ponto médio de um segmento de reta [AB] Plano

19 1º EXEMPLO

20 2º EXEMPLO

21 Equações e inequações cartesianas Definição Dado um plano munido de um referencial ortonormado, a equação (inequação) cartesiana de um conjunto C é uma equação (inequação) cujas soluções são as coordenadas dos pontos de C.

22 DOMÍNIO PLANO

23 RETAS PARALELAS A EIXOS COORDENADOS EXEMPLO: Faz corresponder uma reta a cada uma das seguintes equações: RETA CONDIÇÃO a x = -4 b x = 2 c y = 5 d y = 2 e y = -1

24 EXEMPLO: BISSETRIZES Representa num referencial os pontos: A ( -2, -2); B ( -1, -1), C (1, 1 ) e D (2, 2) O que têm em comum os pontos? RESPOSTA: Os pontos A, B, C e D estão sobre a reta, verificamos que as abcissas e as ordenadas de cada ponto são iguais. Todos estes pontos estão alinhados na reta y = x. 1º Q e 3º Q. Bissetriz dos quadrantes ímpares.

25 BISSETRIZES - CONCLUSÃO Bissetriz dos quadrantes ímpares Bissetriz dos quadrantes pares bissetriz bissetriz

26 BISSETRIZES PONTOS SIMÉTRICOS EXEMPLO: Quais as coordenadas dos pontos simétricos do ponto A e B relativamente àquelas retas? RESOLUÇÃO: 1º Reta r Desenhar um segmento de reta [AG], perpendicular à reta r, bissetriz dos quadrantes ímpares, de modo que os pontos A e G estejam equidistantes da reta. E assim sucessivamente para os outros pontos.

27 2º Reta s

28 CONCLUSÃO Seja P (a, b) um ponto num referencial o.m. Oxy. Simétrico do ponto P (a, b) relativamente:

29 SEMIPLANOS Um semiplano é cada uma. das regiões em que fica dividido o plano por uma reta pertencente a esse plano. São portanto conjuntos de pontos que são definidos por condições

30 EXEMPLO: SEMIPLANOS Representa, num referencial cartesiano do plano, o conjunto de todos os pontos que têm a abcissa superior ou igual a 3. y Semiplano fechado x x 3 condição

31 CONCLUSÃO SEMIPLANOS

32 CONCLUSÃO

33 CONCLUSÃO

34 CONJUNTOS DEFINIDOS POR CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO DE CONDIÇÕES EXEMPLO: Representa, num referencial, o conjunto definido por cada uma das seguintes condições: 1. x 3 y 2 3. ~ x x 3 y 2 4. ~ x 2 y 3

35 RESOLUÇÃO 1. x 3 y 2 CONJUNÇÃO y Lê-se e x 3 y x

36 RESOLUÇÃO 2. x 3 y 2 DISJUNÇÃO y Lê-se ou x 3 y x

37 RESOLUÇÃO 3. ~ x - 1 y x - 1 NEGAÇÃO Lê-se NEGAÇÃO DE -1 0 x y ~ x x

38 RESOLUÇÃO 4. ~ x 2 y 3 y x 2 y x y ~ x 2 y 3 0 x

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41 EXEMPLO

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45 EXEMPLO 1

46 EXEMPLO 2

47 EXEMPLO 3

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50 CONCLUSÃO

51 CONCLUSÃO

52 A partir da noção de distância entre dois pontos foi possível deduzir a equação cartesiana de alguns lugares geométricos, como a mediatriz de um segmento de reta e a circunferência. Utilizando, novamente, a noção de distância entre dois pontos, vamos agora estudar um novo lugar geométrico: a elipse

53 Um pouco de história Em Física, para exemplificar o movimento circular uniforme, muitas vezes são utilizadas as órbitas dos planetas à volta do Sol. No entanto, Kepler ( ), matemático e astrónomo alemão, descobriu e publicou em 1609, na sua obra Astronomia Nova, o que viria a ficar conhecido como a 1.ª Lei de Kepler: os planetas descrevem órbitas elíticas em torno do Sol, encontrando-se este sobre um dos focos.

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59 EXEMPLO