Título do Livro. Capítulo 5

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Título do Livro. Capítulo 5"

Transcrição

1 Capítulo 5 5. Geometria Analítica A Geometria Analítica tornou possível o estudo da Geometria através da Álgebra. Além de proporcionar a interpretação geométrica de diversas equações algébricas Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas Chamamos de reta orientada quando estabelecemos dois sentidos que ela percorre: positivo e negativo. Para identificarmos tais sentidos, admitimos que o positivo é indicado por uma seta e o negativo é o lado oposto. Essa reta também pode ser chamada de eixo quando um ponto O demarca a origem deste. Assim, podemos verificar tais características nas Figura (5.1) e (5.2). Figura 5.1 Sentido de uma reta orientada. Fonte Autores.

2 Figura 5.2 Representação de um eixo x. Fonte Autores. A coordenada x p de um ponto P representa a distância orientada entre os pontos O e P medida na unidade adotada. Dizse que P tem coordenada x p e escreve-se P(x p ). Exemplo 5.1: Determine as coordenadas dos pontos indicados na Figura 5.3. Figura 5.3 Figura referente ao Exemplo 1. Fonte Autores. Solução: O ponto O é a origem do sistema e o associamos à coordenada zero, denotando-o O(0). O ponto B está a 2 unidades da origem O na semirreta positiva do sistema. Assim, sua distância orientada em relação à origem é +2. Logo, sua coordenada é x p = +2 ou P(2).

3 O ponto Q está a 2 unidades da origem O na semirreta negativa do sistema. Portanto, sua distância orientada em relação à origem é 1. Logo sua coordenada é x Q = 1 ou Q( 1). Podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais Re os pontos sobre a reta x, da seguinte maneira: Cada número real corresponde a um único ponto da reta. Cada ponto da reta corresponde a um único número real, chamado de coordenada do ponto. Quando a cada ponto da reta for associada uma coordenada, constituímos um sistema de coordenadas e esta reta é então chamada de eixo de coordenadas, escala numérica ou reta numérica. O conjunto das coordenadas de todos os pontos da escala numérica é chamado de conjunto dos números reais R. É usual representarmos o sistema unidimensional por uma reta horizontal, orientada para direita, e denominá-la por eixo xou eixo das abscissas Distância entre Dois Pontos na Reta Sejam A(x A ) e B(x B ) dois pontos de um eixo de coordenadas unidimensional. Denominamos distância entre os pontos A e B o número real d dado pela equação 5.1. d(a, B) = x b x a (5.1) Exemplo 5.2: Sejam os pontos: A( 3,5), B( 1,8), C(1) e D(2,5), dispostos na Figura 5.4. Calcule as distâncias entre os pontos: A e C; B e D; A e D

4 Solução: Figura 5.4 Figura referente ao Exemplo 5.2 Fonte Autores. Solução: Para calcularmos as três distancias, basta utilizarmos a equação (5.1) e substituirmos os respectivos valores numéricos de A (x A ), B(x B ), C(x C ) e D(x D ) nesta. d(a, C) = x C x A = 1 ( 3,5) = 4,5 (I) d(b, D) = x D x B = 2,5 ( 1,8) = 4,3 (II) d(a, D) = x D x A = 2,5 ( 3,5) = 6,0 (III) Exemplo 5.3: Considere um eixo t de coordenadas para representar o tempo em anos. A origem deste eixo é o ano do nascimento de Cristo e o sentido positivo indica os anos d.c. (depois de Cristo). a) Indique no eixo t e determine as coordenadas dos pontos NA e MA que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa A que nasceu no ano de 30 a.c. e morreu no ano 25 d.c. Calcule a idade que esta pessoa morreu.

5 Figura 5.5 Figura referente ao Exemplo 5.3. Solução: Fonte: Autores. Assumimos que no Ponto NA, t NA = 30 NA( 30) e no Ponto MA, t MA = 25 MA(25). Portanto, podemos calcular o tempo de vida da pessoa A pela equação IV. tv A = d(na, MA) = 25 ( 30) = 55anos (IV) b) Indique no eixo t e determine as coordenadas dos pontos NB e MB que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa B que nasceu no ano de 20 a.c. e morreu no ano 10 d.c. Calcule a idade que esta pessoa morreu. Figura 5.6 Figura referente ao Exemplo 5.3. Fig 5.6: Fonte Autores. Solução: Novamente, identificamos os pontos em questão: NB e MB. Ponto NB, t NB = 20 NB( 20) Ponto MB, t MB = 10 MB(10)

6 Em seguida, calculamos o tempo de vida da pessoa B pela equação (V). tv B = d(nb, MB) = 10 ( 20) = 30anos (V) c) Determine quem nasceu e quem morreu primeiro e por quantos anos as pessoas A e B foram contemporâneas (viveram na mesma época). Figura 5.7 Figura referente ao Exemplo 5.3. Fonte Autores. Solução: NA( 30)NB( 20)MB(10)MA(25) A pessoa A nasceu primeiro e a pessoa B morreu primeiro. As duas viveram na mesma época, no período entre o nascimento da última nascer (NB) até a morte da primeira morrer (MA). Assim, é possível calcularmos o período de contemporaneidade pela expressão (VI). T = d(nb, MA) = 10 ( 20) = 30anos (VI) 5.2. Sistema Bidimensional de Coordenadas Cartesianas Neste sistema, um ponto pode se mover livremente em todas as direções de um plano (no espaço bidimensional).

7 O sistema é formado por dois eixos coordenados perpendiculares que se cruzarem na origem. O ponto O de intersecção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. Um dos eixos é denominado de eixo das abscissas e o outro eixo das ordenadas. A representação gráfica do sistema bidimensional cartesiano ou retangular é um plano denominado plano cartesiano. Cada ponto P(x, y),onde x é a abscissa e y é a ordenada de P, pode ser inequivocamente localizado no plano cartesiano mediante um par ordenado (x 0, y 0 ). Para cada ponto distinto P no plano cartesiano há um e apenas um par de coordenadas (x 0, y 0 ). Inversamente, qualquer par de coordenadas (x 0, y 0 ) determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Portanto, no sistema de coordenadas retangulares há uma correspondência biunívoca entre ponto e par ordenado de números reais. Na Figura 5.8, indicamos a localização de um ponto P(x 0, y 0 ), de abscissa x 0 e ordenada y 0, neste plano. Figura 5.8 Plano cartesiano. Fonte: Autores.

8 P x (x 0, 0) é a projeção do ponto P no eixo x. P y (0, y 0 ) é a projeção do ponto P no eixo y. O módulo da abscissa representa a menor distância que P está do eixo y e o módulo da ordenada representa a menor distância que P está do eixo x Distância entre Dois Pontos na Plano Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, indicada por d(a, B), é a medida do segmento de extremidades A e B. Sejam A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) dois pontos no plano cartesiano, como indicado pela figura 5.9. A distância entre eles pode ser determinada aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo em destaque na figura. Figura Distancia entre dois pontos. Fonte: Autores.

9 O quadrado da distancia entre os pontos A e B, é igual a soma dos quadrados das variações x e y determinado pela equação 5.2. [d(a, B)] 2 = x 2 + y 2 (5.2) Com x = x 2 x 1 ; y = y 2 y 1 Dessa forma, d(a,b) será igual a equação (5.3). d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (5.3) Exemplos 5.4: Determine a distância entre os pontosa e B da figura 5.10: Figura Figura referente ao Exemplo 5.4. Fonte: Autores

10 Os pontos A e B estão em uma mesma reta. Por conseguinte, a distância pode ser calculada utilizando a equação (5.1) d(a, B) = x B x A = 8 2 = 6 Exemplo 5.5: Determine a distância entre os pontosa e B da figura 5.11: Figura Figura referente ao Exemplo 5.5 Fonte: Autores Solução: Neste caso são dadas as distâncias nas direções x e y, podemos simplificar o cálculo utilizando diretamente o teorema de Pitágoras, a equação (5.3). d(a, B) = x 2 + y 2 = (4 2) 2 + (2 6) 2 d(a, B) = = 20 = 4 5 = 2 5. (I)

11 5.3. Gráfico de uma Equação Traçar o gráfico de uma equação é representar em um sistema de coordenadas alguns dos pontos que a satisfaça. Exemplo 5.6: Analise as figuras 5.12 e 5.13 e determine a equação da reta visualizada na imagem Figura 5.12 Gráfico I Fonte: Autores

12 Figura 5.13 Gráfico II Fonte: Autores. Figura 5.14 Gráfico III Fonte: Autores.

13 Solução: No Gráfico I, está representado o seguinte conjunto de pontos: G 1 = {( 2; 4), ( 1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 4)} No Gráfico II, foram acrescentados pontos intermediários aos pontos existentes. No Gráfico III, os pontos estão tão próximos que visualizamos o gráfico de uma reta que, devido a limitações gráficas, está representada com comprimento finito. Podemos observar nos gráficos que a coordenada y dos pontos representados é sempre o dobro de sua coordenadax, ou seja, y = 2x. Assim, a reta visualizada no Gráfico III é o gráfico da equação (I) y = 2x À definição algébrica desta reta, chamaremos de reta r, é igual a equação (II). r {P(x, y) R 2 y = 2x} (I) (II) Lê-se: a reta r é o conjunto de todos os pontos P de coordenadas xe y do plano tal que y = 2x Equação da Reta Vimos anteriormente que dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. Isto significa que bastam dois pontos para traçar uma reta, embora ela seja constituída por infinitos pontos. Considere uma reta r que passa pelos pontos P 0 (x 0, y 0 ) e P 1 (x 1, y 1 ), como indicado na Figura 5.15.

14 Figura 5.15 Representação da reta r Fonte: Autores. Denominamos inclinação da reta r ao ângulo α formado entre o eixo das abscissas (x) e a reta, considerado positivo se medido no sentido anti-horário, com 0 α 180. E coeficiente angular ou declividade da reta r ao número real m dado pela equação (5.3). m = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 ; comx 0 < x 1 (5.3) Observe que o coeficiente angular representa a tangente trigonométrica do ângulo α. Devido à variação da inclinação da reta é possível ter uma das seguintes situações: 1) Se α = 0 ou α = 180

15 Figura Reta com r α = 0 ou α = 180 Fonte: Autores. Quando x = x 1 x 0 > 0 e y = y 1 y 0 = 0, o coeficiente angular será igual a zero (5.4). Portanto, teremos uma reta constante. m = y m = 0 (5.4) x

16 2) Se 0 < α < 90 Figura 5.17 Reta r com 0 < α < 90 Fonte: Autores. Quando x = x 1 x 0 > 0 e y = y 1 y 0 > 0, o coeficiente angular será igual maior do zero (5.5). Dessa forma, teremos uma reta crescente. m = y m > 0 (5.5) x

17 3)Se 90 < α < 180 Figura 5.18 Reta r com 90 < α < 180 Fonte Autores. Quando x = x 1 x 0 > 0 e y = y 1 y 0 < 0, o coeficiente angular será menor do que zero (5.6). Por conseguinte, teremos uma reta decrescente m = y m < 0 (5.6) x

18 3) Se α = 90 Figura 5.19 Reta r com α = 90 Fonte Autores. Quando x = x 1 x 0 = 0 e y = y 1 y 0 0, o coeficiente angular não existirá (5.7). Por conseguinte, teremos uma reta paralela ao eixo y. x = x 1 x 0 = 0; y = y 1 y 0 0 m = y m R (5.7) x Quando α = 90, a reta é paralela ao eixo y e sua a declividade não é definida, pois não podemos dividir um número por zero. Portanto, a reta não tem declividade.

19 Equação da Reta dados um Ponto e o Coeficiente Angular Sejam P 0 (x 0, y 0 ) e m, respectivamente, um ponto da reta re o coeficiente angular da reta. Considere o ponto genérico P(x, y) nesta mesma reta, como indicado na figura abaixo. Figura 5.20 Reta r dado um ponto P 0. Fonte: Autores O coeficiente angular da reta r é dado pela equação (5.8). Logo, será igual a (5.9). m = y x m = y y 0 x x 0 (5.8) y y 0 = m (x x 0 ) (5.9)

20 Equação da Reta dados Dois Pontos Sejam P 0 (x 0, y 0 ) e P 1 (x 1, y 1 ) dois pontos conhecidos de uma reta r. Para determinar a equação da reta é necessário calcular previamente o valor do coeficiente angular (5.10). Posteriormente, escolhemos um dos pontos conhecidos e substituímos suas coordenadas e o valor calculado do coeficiente angular na equação da reta (5.11). m = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 (5.10) y y 0 = m (x x 0 ) y y 0 = ( y 1 y 0 x 1 x 0 ) (x x 0 ) (5.11) Equação da Reta na Forma Reduzida Trabalhando algebricamente com a equação da reta dada por y y 0 = m(x x 0 ), obteremos a equação (5.12). y = mx mx 0 + y 0 y = mx + (y 0 mx 0 ) (5.12) Fazendo b = (y 0 mx 0 ), y será igual a equação (5.13): y = mx + b (5.13) Esta forma é conhecida como equação da reta na forma reduzida onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da reta. Tome nota! 1) A equação da reta é um polinômio de primeiro grau em x.

21 2) Na equação da reta na forma y = mx + b, se x = 0 tem-se y = b, então o ponto P(0, b) é o ponto de interseção da reta com o eixo dos y, onde b é o coeficiente linear da reta. 3) Se a reta é paralela ao eixo x, m = 0,todos os pontos terão a mesma ordenada y 0. A equação da reta é dada por y = y 0 4) Se a reta é paralela ao eixo y, m, todos os pontos terão a mesma abscissa x 0. A equação da reta é dada por x = x 0. Exemplo 5.7: Determine a equação da reta indicada na figura 5.21, dado m = 0,5. Figura 5.21 Figura referente ao Exemplo 5.7. Solução: Fonte: Autores. Podemos identificar um ponto da reta P 0 (3,4) e o coeficiente angular m = 0,5. Para definirmos a equação da reta, utilizaremos a equação (5.9). y y 0 = m (x x 0 ) y 4 = 1 (x 3) 2

22 y = x = x Posição relativa entre as Retas Sejam r e s duas retas paralelas (r / s) representadas pela figura 5.22 de inclinações α 1 e α 2, respectivamente; não possuindo nenhum ponto em comum. Então, para que a condição seja aceita, os coeficientes seguirão a igualdade (5.14). α 1 = α 2 m 1 = m 2 (5.14) Figura 5.22 Representação de duas retas paralelas. Fonte: Autores. Duas retas r e s representadas pela figura 5.23, de inclinações α 1 e α 2, respectivamente, são ditas concorrentes quando estas se interceptam em um ponto. Os seus coeficientes angulares serão diferentes (5.15). m 1 m 2 (5.15)

23 Figura 5.23 Representação de duas retas concorrentes Fonte: Autores. Há um caso particular de retas concorrentes, o que ocorre quando as retas são perpendiculares (r s) representadas pela figura 5.24 de inclinações α 1 e α 2, respectivamente. Elas possuem um único ponto em comum. Portanto, a relação entre os coeficientes angulares das duas será igual a (5.16). α 1 = α 2 m 1 = 1 m 2 (5.16)

24 Figura 5.24 Representação de duas retas perpendiculares Fonte: Autores. Sejam r e s retas coincidentes (r = s) representadas pela figura 5.25 de inclinações α 1 e α 2, respectivamente. Elas possuem todos os pontos em comum. Portanto, a relação entre os coeficientes angulares e lineares será iguail. Figura 5.25 Representação de duas retas coincidentes. Fonte: Autores. α 1 = α 2 m 1 = m 2, b 1 = b 2 (5.16)

25 Exemplo 5.8: Trace o gráfico das retas r e s e determine a interseção entre elas. Sabendo que: A reta r é a reta de equação y = 0,5x + 8. A reta s é perpendicular à reta r e um de seus pontos é o ponto P(2,2). Solução: A equação da reta r está em sua forma reduzida, y = ax + b. Assim, a é o coeficiente angular (m r ), ou seja, m r = 0,5. A reta s é perpendicular à reta r. Concluímos que o coeficiente angular ( m s ) da reta s é igual a (I). m s = 1 = 1 = 2 m r ( 0,5) Dessa forma, a reta r é uma reta de coeficiente angular m s = 2 e passa pelo ponto P(2,2). Conhecendo o coeficiente angular e um ponto da reta s sua equação pode ser determinada por (II). y y 0 = m s (x x 0 ) y 2 = 2(x (2)) y 2 = 2x 4 y = 2x 2 (I) (II) O ponto de interseção entre as retas pertence à ambas as retas. Por conseguinte, deve satisfazer às equações das retas r e s, ou seja, são iguais a (III). r: y = 0,5x + 8 e s: y = 2x 2 0,5x + 8 = 2x 2 2,5x = 10 x = 4 (III)

26 Sabendo o valor da abscissa do ponto P(x, y), o valor da ordenada fica estabelecido pela substituição em qualquer uma das equações. y = 2x 2 = = 6 ou y = 0,5x + 8 = 0, = = 6 O ponto de interseção é o pontoq(4,6). O gráfico de uma reta pode ser traçado se forem conhecidos 2 de seus pontos pois por 2 pontos passa uma única reta. Dois pontos da reta s são conhecidos: P(2,2) e Q(4,6). O ponto da interseção Q(4,6) também pertence à reta r. Outro ponto qualquer da reta r pode ser obtido por sua equação y = 0,5x + 8. Por exemplo, para x = 2, y = 0, = 7, então o ponto T(2,7) pertence à reta r. O gráfico das retas r e s bem como o ponto de interseção entre elas estão indicados pela figura Figura 5.26 Representação das retas r e s Fonte: Autores

27 5.5. Equação da Circunferência Define-se uma circunferência, de raio r e centro C(x 0, y 0 ), como um conjunto de pontos P(x, y) do plano, tais que d(p, C) = r; representada pela figura Figura 5.27 Circunferência de raio r centro C. Fonte: Autores. Utilizando a Equação (5.3), tem-se que: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r (5.17) Ou: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 (5.18)

28 A Equação (5.18) é chamada de equação da circunferência reduzida. Manipulando algebricamente a Equação (5.18), obtém-se a equação geral da circunferência (5.19). x 2 + y 2 2x. x 0 2y. y 0 + x y 0 2 r 2 = 0 (5.19) Exemplo 5.8: Encontre as equações reduzida e geral da circunferência. Dado que esta passa pelo ponto (3, -2) e possui centro em (1,1). Solução: Para obter as equações da circunferência, é necessário calcular o valor do raio desta. Como a distância entre o centro e qualquer ponto desta é sempre igual ao raio, utiliza-se a equação (5.17). r = (3 1) 2 + ( 2 1) 2 = 13 (I) Calculado o valor do raio, substitui-se o valor deste e centro na equação (5.18) para obter a equação reduzida (II). (x 1) 2 + (y 1) 2 = ( 13) 2 (II) Portanto, a equação geral será dada por (III). x 2 + y 2 2x 2y + 2 = 13 x 2 + y 2 2x 2y 11 = 0 (III)

29 5.6. Equação da Elipse Dados dois pontos F 1 e F 2 (focos da elipse), denomina-se elipse o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a esses dois pontos é a constante 2a, maior que a distância 2c entre esses dois pontos (Ver Figura 5.28), ou seja, PF 1 + PF 2 = 2a (5.20) Figura 5.28 Representação de uma elipse Fonte: Autores Com isso, pode-se extrair alguns elementos da elipse ao observar a Figura 5.29.

30 Figura 5.29 Representação da Elipse e seus elementos Elementos da Elipse: Eixo Maior A 1 2 = 2a Eixo Menor B 1 2 = 2b Distância Focal F 1 2 = 2c Centro da Elipse C(x o, y o ) Fonte: Autores A partir da relação fundamental (5.21) resultante do triângulo abc, é possível obter a equação (5.22) da excentricidade da elipse. a 2 = b 2 + c 2 (5.21)

31 e = c a (5.22) Com os elementos da elipse identificados, é possível definir a equação desta, as quais são divididas em duas situações: 1) Eixo maior paralelo ao eixo x. Pela Figura 5.30, conclui-se que F 1 (x c c, y c ) e F 2 (x c + c, y c ). Figura 5.30 Representação do eixo maior paralelo ao eixo x Fonte: Autores A equação para esse caso será dada por (5.23). (x x c ) 2 a 2 + (y y c )2 b 2 = 1 (5.23)

32 2) Eixo maior paralelo ao eixo y Pela Figura 5.31, conclui-se que F 1 (x c, y c c) e F 2 (x c, y c + c). Figura 5.31 Representação do eixo maior paralelo ao eixo y Fonte: Autores A equação para esse caso será dada por (5.24). (x x c ) 2 b 2 + (y y c )2 a 2 = 1 (5.24) Exemplo 5.9: Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x y 2 = 225.

33 Solução: Primeiro, é necessário que a equação dada esteja no padrão da equação (5.23). 9x y 2 = 225 x ( ) x y2 9 = 1 (I) (II) Com isso: a 2 = 25 e b 2 = 9 (III) Utilizando a equação (5.21), obtém-se o valor de c. 25 = 9 + c 2 c = ±4 (IV) Portanto, as coordenadas dos focos serão F 1 (4, 0) e F 2 ( 4, 0)

34 Exercícios Propostos 1) Um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( 6,3). Determine as coordenadas do ponto P. 2) Um ponto móvel P ( 2 + t, 4t + 2) desloca-se no plano 3 cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo t(com t 0). Qual a distância percorrida pelo ponto entre os tempos t = 0 e t = 6? 3) Determine o ponto de interseção das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y 5 = 0 4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(1, 2) e que tem coeficiente angular igual a 1. 5)Considere os pontos A(0,0), B(2,3) e C(4,1). Determine as equações das retas r e s que são, respectivamente, paralela e perpendicular à reta AC e que passam pelo ponto B. 6) As retas r e s são perpendiculares e se interceptam no ponto (2,4). A reta s contém o ponto (0,5). Determine a equação da reta r. 7) Calcule a área do triângulo formado pela interseção das retas: r: 2x + y = 1; s: x = 2; t: y = 1. Trace o gráfico das retas em um mesmo plano cartesiano e destaque o triângulo. 8) Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0) e P(3, h). Determine a expressão que representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h.

35 9) Uma reta passa pelo ponto P (8, 2) e tem uma inclinação de 45º. Qual é a equação dessa reta? 10) Os pontos A (1, 2), B (3, 1) e C (2, 4) são os vértices de um triângulo. Determinar as equações das retas suportes aos lados desse triângulo. 11) Determinar a posição da reta r, de equação 2x 3y + 5 = 0, em relação à reta s, de equação 4x 6y 1 = 0. 12) Clarence desenhou o triângulo determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5), B(3;2) e C(7;2). Quais valores de área e perímetro que Clarice encontrou? 13) Qual a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semi-eixo positivo ox um ângulo de 60? 14) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(0,0), B(2,2) e C(2,-2). Se ax+by=c é a equação cartesiana da reta que contém a altura deste triângulo relativa ao lado AB, determine 5b/a. 15) Qual é área do circulo que é limitado pela equação x 2 + y 2 + 4x 2y 4 = 0? 16) Qual é distância do centro da circunferência, de equação x 2 4x + y 2 8y + 11 = 0, ao ponto (3,4)? 17) Os pontos A(4, 2) e B(2,0) são extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro (a,b) e raio r. Determine a equação reduzida dessa circunferência. 18) Determine a excentricidade da elipse de equação 16x y = 0.

36 19) O centro de uma elipse È o ponto (2; -4)e o vértice e o foco no mesmo semi-eixo são os pontos (2; -4)e (1; -4), respectivamente. Determine a equação da elipse, sua excentricidade, o comprimento de seu eixo menor. 20) Reduzir a equação da elipse e determinar as coordenadas do centro, vértices e focos, os comprimentos dos seus eixos maior e menor e sua excentricidade: a) x 2 + 4y 2 6x + 16y + 21 = 0 b) 9x 2 + 4y 2 8y 32 = 0

37 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A( 2,0) 2) 10 u. c. 3) P(1,1) 4) y = x 1 5)r: y x = 1, s: y + 4x = ) r: y 2x = 0 7)A = 4 u. a. 8) d = 9 + h² 9) y = x 6 10) AB: y = x + 5, AC: y = 2x, BC: y = 3x ) As retas r e s são paralelas 12) Perímetro: 12, Área=6. 13) 3 x y = ) 5 15) S = 9π 16) 1

38 17) (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 2 18) 0,6 19) (x 2) (y+4)2 7 = 1; e = 3 4 ; 2b = ) a) (x 3)2 4 + (y+2)2 1 = 1; centro (3, 2); vértices (5, 2) e (1, 2); focos (3 + 3, 2) e (3 3, 2); 2a = 4; 2b = 2; e = 3 2 b) x (y 1)2 9 = 1; centro (0,1); vértices (0,4) e (0, 2) focos (0, 1 + 5) e (0, 1 5); 2a = 6; 2b = 4; e = 5 3

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 )

. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 ) Estudo da Reta no R 2 Condição de alinhamento de três pontos: Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja, dados A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), eles estão sempre alinhados. y. B(x

Leia mais

Aplicações Diferentes Para Números Complexos

Aplicações Diferentes Para Números Complexos Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Aplicações Diferentes Para Números Complexos Capítulo II Aplicação 2: Complexos na Geometria Na rápida revisão do capítulo I desse artigo mencionamos

Leia mais

Assunto: Estudo do ponto

Assunto: Estudo do ponto Assunto: Estudo do ponto 1) Sabendo que P(m+1;-3m-4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores de m. resp: -4/3

Leia mais

Matemática Básica Intervalos

Matemática Básica Intervalos Matemática Básica Intervalos 03 1. Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Geometricamente correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, dados dois números

Leia mais

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas.

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas. Definição Uma matriz do tipo m n (lê-se m por n), com m e n, sendo m e n números inteiros, é uma tabela formada por m n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Estes elementos podem estar entre parênteses

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Produtos Notáveis; Equações; Inequações; Função; Função Afim; Paridade;

Leia mais

TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA

TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de primeiro grau Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime

Leia mais

Aula 5. Uma partícula evolui na reta. A trajetória é uma função que dá a sua posição em função do tempo:

Aula 5. Uma partícula evolui na reta. A trajetória é uma função que dá a sua posição em função do tempo: Aula 5 5. Funções O conceito de função será o principal assunto tratado neste curso. Neste capítulo daremos algumas definições elementares, e consideraremos algumas das funções mais usadas na prática,

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência)

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência) EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência) ************************************************************************************* 1) (U.F.PA) Se a distância

Leia mais

Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo:

Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo: Circunferência Trigonométrica É uma circunferência de raio unitário orientada de tal forma que o sentido positivo é o sentido anti-horário. Associamos a circunferência (ou ciclo) trigonométrico um sistema

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 1 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 1 Professor Marco Costa 1 1. (Fgv 2005) No plano cartesiano, considere o feixe de paralelas 2x + y = c em que c Æ R. a) Qual a reta do feixe com maior coeficiente linear que intercepta a região determinada pelas inequações: ýx

Leia mais

1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS

1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA X 1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS 1.2 Triângulo equilátero circunscrito A seguir, nós vamos analisar a relação entre alguns polígonos regulares e as circunferências.

Leia mais

Conteúdo programático por disciplina Matemática 6 o ano

Conteúdo programático por disciplina Matemática 6 o ano 60 Conteúdo programático por disciplina Matemática 6 o ano Caderno 1 UNIDADE 1 Significados das operações (adição e subtração) Capítulo 1 Números naturais O uso dos números naturais Seqüência dos números

Leia mais

ÁLGEBRA. Aula 5 _ Função Polinomial do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

ÁLGEBRA. Aula 5 _ Função Polinomial do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora 1 ÁLGEBRA Aula 5 _ Função Polinomial do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora 2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Uma função polinomial do 1º grau (ou simplesmente, função do 1º grau) é uma relação

Leia mais

TRIGONOMETRIA CICLO TRIGONOMÉTRICO

TRIGONOMETRIA CICLO TRIGONOMÉTRICO TRIGONOMETRIA CICLO TRIGONOMÉTRICO Arcos de circunferência A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é um arco de circunferência (ou apenas arco). A e B são denominados extremidades

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA TEXTO: CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO AUTORES: Mayara Brito (estagiária da BOM) André Brito (estagiário da BOM) ORIENTADOR:

Leia mais

MATEMÁTICA PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS CÔNICAS

MATEMÁTICA PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS CÔNICAS QUESTÕES: CÔNICAS 01. Determine o centro, o comprimento do eixo maior, o comprimento do eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos, a excentricidade e o gráfico das elipses: (x 6)² y² (y 4)²

Leia mais

Módulo de Equações do Segundo Grau. Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano

Módulo de Equações do Segundo Grau. Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano Módulo de Equações do Segundo Grau Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano Equações do o grau: Resultados Básicos. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. A equação ax + bx + c = 0, com

Leia mais

21- EXERCÍCIOS FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU

21- EXERCÍCIOS FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU 1 21- EXERCÍCIOS FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU 1. O gráfico do trinômio y = ax 2 + bx + c. Qual a afirmativa errada? a) se a > 0 a parábola possui concavidade para cima b) se b 2 4ac > 0 o trinômio possui duas

Leia mais

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ)

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ) P L A N O S PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares A equação ax + by + cz = d na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano π, sendo v = ( a, b, c) um vetor normal a

Leia mais

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Exercícios propostos: aulas 01 e 02 GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO GA - LISTA DE EXERCÍCIOS 001 1. Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dado A = (2, 1), B = (-1, 3) e C = (4, -2). 2. Provar que

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Aula 01 Introdução a Geometria Plana Ângulos Potenciação Radiciação Introdução a Geometria Plana Introdução: No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos:

Leia mais

Unidade 3 Função Afim

Unidade 3 Função Afim Unidade 3 Função Afim Definição Gráfico da Função Afim Tipos Especiais de Função Afim Valor e zero da Função Afim Gráfico definidos por uma ou mais sentenças Definição C ( x) = 10. x + Custo fixo 200 Custo

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes

Exercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes . (Unicamp 05) Considere a matriz A A e A é invertível, então a) a e b. b) a e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b. a 0 A, b onde a e b são números reais. Se. (Espcex (Aman) 05) O polinômio q(x) x x deixa resto

Leia mais

MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE

MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: 2. Se M = ( a ij ) 3x2 é uma

Leia mais

O Plano. Equação Geral do Plano:

O Plano. Equação Geral do Plano: O Plano Equação Geral do Plano: Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = (a, b, c), n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano (figura ao lado). Como n π, n é ortogonal a todo vetor

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. ROTEIRO Esta aula tem por base o Capítulo 2 do livro de Taha (2008): Introdução O modelo de PL de duas variáveis Propriedades

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear Professor: André Luiz Galdino Aluno(a): 4 a Lista de Exercícios 1. Podemos entender transformações lineares

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 3 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 3 Professor Marco Costa 1 1. (Fgv 97) Uma empresa produz apenas dois produtos A e B, cujas quantidades anuais (em toneladas) são respectivamente x e y. Sabe-se que x e y satisfazem a relação: x + y + 2x + 2y - 23 = 0 a) esboçar

Leia mais

A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é

A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é Questão 01 - (UNICAMP SP) No plano cartesiano, a reta de equação = 1 intercepta os eios coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas (4, 4/) b) (, ) c) (4, 4/) d) (, ) Questão

Leia mais

2.1 - Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes.

2.1 - Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes. Matemática Básica 09 Trigonometria 1. Introdução A palavra Trigonometria tem por significado do grego trigonon- triângulo e metron medida, associada diretamente ao estudo dos ângulos e lados dos triângulos,

Leia mais

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos.

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos. VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA II

GEOMETRIA ANALÍTICA II Conteúdo 1 O PLANO 3 1.1 Equação Geral do Plano............................ 3 1.2 Determinação de um Plano........................... 7 1.3 Equação Paramétrica do Plano........................ 11 1.4 Ângulo

Leia mais

Função. Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos

Função. Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos Função Trigonométrica II Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos Resumo das Principais Relações I sen cos II tg sen cos III cotg tg IV sec cos V csc sen VI sec tg VII csc cotg cos sen Arcos e subtração

Leia mais

Figura 4.1: Diagrama de representação de uma função de 2 variáveis

Figura 4.1: Diagrama de representação de uma função de 2 variáveis 1 4.1 Funções de 2 Variáveis Em Cálculo I trabalhamos com funções de uma variável y = f(x). Agora trabalharemos com funções de várias variáveis. Estas funções aparecem naturalmente na natureza, na economia

Leia mais

Aula 2 Sistemas de Coordenadas & Projeções Cartográficas. Flávia F. Feitosa

Aula 2 Sistemas de Coordenadas & Projeções Cartográficas. Flávia F. Feitosa Aula 2 Sistemas de Coordenadas & Projeções Cartográficas Flávia F. Feitosa Disciplina PGT 035 Geoprocessamento Aplicado ao Planejamento e Gestão do Território Junho de 2015 Dados Espaciais são Especiais!

Leia mais

Unidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos. Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica

Unidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos. Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica Unidade 10 Trigonometria: Conceitos Básicos Arcos e ângulos Circunferência trigonométrica Arcos e Ângulos Quando em uma corrida de motocicleta um piloto faz uma curva, geralmente, o traçado descrito pela

Leia mais

UNIDADE II UNIDADE II O Plano: Sistema de Coordenadas Cartesianas

UNIDADE II UNIDADE II O Plano: Sistema de Coordenadas Cartesianas UNIDADE II UNIDADE II O Plano: Sistema de Coordenadas Cartesianas O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos.

Leia mais

Ondas EM no Espaço Livre (Vácuo)

Ondas EM no Espaço Livre (Vácuo) Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal de Santa Catarina Campus São José Área de Telecomunicações ELM20704 Eletromagnetismo Professor: Bruno Fontana da Silva 2014-1 Ondas EM

Leia mais

FUNÇÕES. É uma seqüência de dois elementos em uma dada ordem. 1.1 Igualdade. Exemplos: 2 e b = 3, logo. em. Represente a relação.

FUNÇÕES. É uma seqüência de dois elementos em uma dada ordem. 1.1 Igualdade. Exemplos: 2 e b = 3, logo. em. Represente a relação. PR ORDENDO É uma seqüência de dois elementos em uma dada ordem Igualdade ( a, ( c,d) a c e b d Eemplos: E) (,) ( a +,b ) a + e b, logo a e b a + b a b 6 E) ( a + b,a (,6), logo a 5 e b PRODUTO CRTESINO

Leia mais

Lista de Exercícios: Geometria Plana. Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é:

Lista de Exercícios: Geometria Plana. Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: Lista de Exercícios: Geometria Plana Questão 1 Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: A( ) 20 cm 2. B( ) 10 cm 2. C( ) 24 cm 2. D( )

Leia mais

Comecemos por relembrar as propriedades das potências: = a x c) a x a y = a x+y

Comecemos por relembrar as propriedades das potências: = a x c) a x a y = a x+y . Cálculo Diferencial em IR.1. Função Exponencial e Função Logarítmica.1.1. Função Exponencial Comecemos por relembrar as propriedades das potências: Propriedades das Potências: Sejam a e b números positivos:

Leia mais

Se inicialmente, o tanque estava com 100 litros, pode-se afirmar que ao final do dia o mesmo conterá.

Se inicialmente, o tanque estava com 100 litros, pode-se afirmar que ao final do dia o mesmo conterá. ANÁLISE GRÁFICA QUANDO y. CORRESPONDE A ÁREA DA FIGURA Resposta: Sempre quando o eio y corresponde a uma taa de variação, então a área compreendida entre a curva e o eio do será o produto y. Isto é y =

Leia mais

Resolução do exemplo 8.6a - pág 61 Apresente, analítica e geometricamente, a solução dos seguintes sistemas lineares.

Resolução do exemplo 8.6a - pág 61 Apresente, analítica e geometricamente, a solução dos seguintes sistemas lineares. Solução dos Exercícios de ALGA 2ª Avaliação EXEMPLO 8., pág. 61- Uma reta L passa pelos pontos P 0 (, -2, 1) e P 1 (5, 1, 0). Determine as equações paramétricas, vetorial e simétrica dessa reta. Determine

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta. a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD.

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta. a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD. Questão Se Amélia der R$,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do

Leia mais

CARTOGRAFIA. Sistemas de Coordenadas. Prof. Luiz Rotta

CARTOGRAFIA. Sistemas de Coordenadas. Prof. Luiz Rotta CARTOGRAFIA Sistemas de Coordenadas Prof. Luiz Rotta SISTEMA DE COORDENADAS Por que os sistemas de coordenadas são necessários? Para expressar a posição de pontos sobre uma superfície É com base em sistemas

Leia mais

Equações paramétricas da Reta

Equações paramétricas da Reta 39 6.Retas e Planos Equações de Retas e Planos Equações da Reta Vamos supor que uma reta r é paralela a um vetor V = a, b, c) não nulo e que passa por um ponto P = x, y, z ). Um ponto P = x, pertence a

Leia mais

4.4 Limite e continuidade

4.4 Limite e continuidade 4.4 Limite e continuidade Noções Topológicas em R : Dados dois pontos quaisquer (x 1, y 1 ) e (x, y ) de R indicaremos a distância entre eles por då(x 1, y 1 ), (x, y )è=(x 1 x ) + (y 1 y ). Definição

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 2 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 2 Professor Marco Costa 1 1. (Fgv 2001) a) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x +y -4x=0 e o ponto P(3,Ë3). Verificar se P é interior, exterior ou pertencente à circunferência. b) Dada a circunferência

Leia mais

FUNÇÃO DO 2º GRAU PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS

FUNÇÃO DO 2º GRAU PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS Questão 01) FUNÇÃO DO º GRAU A função definida por L(x) = x + 800x 35 000, em que x indica a quantidade comercializada, é um modelo matemático para determinar o lucro mensal que uma pequena indústria obtém

Leia mais

Matemática A. Versão 1. Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste. Teste Intermédio de Matemática A.

Matemática A. Versão 1. Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste. Teste Intermédio de Matemática A. Teste Intermédio de Matemática A Versão 1 Teste Intermédio Matemática A Versão 1 Duração do Teste: 90 minutos 7.01.011 11.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/004, de 6 de Março Na sua folha de respostas,

Leia mais

Sejam P1(x1,y1) e P2(x2,y2) pontos pertencentes ao plano. A equação da reta pode ser expressa como: ou

Sejam P1(x1,y1) e P2(x2,y2) pontos pertencentes ao plano. A equação da reta pode ser expressa como: ou Sejam P1(x1,y1) e P2(x2,y2) pontos pertencentes ao plano. A equação da reta pode ser expressa como: ou y = ax + b ax y = b Desta forma, para encontrarmos a equação da reta que passa por entre esses dois

Leia mais

Aula 3 Função do 1º Grau

Aula 3 Função do 1º Grau 1 Tecnólogo em Construção de Edifícios Aula 3 Função do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega 2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Uma função polinomial do 1º grau (ou simplesmente, função do 1º grau) é uma relação

Leia mais

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1 Capítulo 7 Na aula anterior definimos o produto interno entre dois vetores e vimos como determinar a equação de uma reta no plano de diversas formas. Nesta aula, vamos determinar as bissetrizes de duas

Leia mais

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA. 01) Dados os vetores e, determine o valor da expressão vetorial. Resp: A=51

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA. 01) Dados os vetores e, determine o valor da expressão vetorial. Resp: A=51 1 LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA 01) Dados os vetores e, determine o valor da expressão vetorial. A=51 02) Decomponha o vetor em dois vetores tais que e, com. 03) Dados os vetores, determine

Leia mais

AULA DO CPOG. Progressão Aritmética

AULA DO CPOG. Progressão Aritmética AULA DO CPOG Progressão Aritmética Observe as seqüências numéricas: 2 4 6 8... 12 9 6 3... 5 5 5 5... Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma

Leia mais

Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Circunferência. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Circunferência. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte Circunferência. 8 ano/e.f. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda Elementos Básicos de Geometria - Parte. Circunferência. 1 Exercícios Introdutórios Exercício

Leia mais

2y 2z. x y + 7z = 32 (3)

2y 2z. x y + 7z = 32 (3) UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 0-03 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão Três amigos, André, Bernardo arlos, reúnem-se para disputar um jogo O objetivo do jogo é cada jogador acumular pontos, retirando

Leia mais

Álgebra Linear Aplicada à Compressão de Imagens. Universidade de Lisboa Instituto Superior Técnico. Mestrado em Engenharia Aeroespacial

Álgebra Linear Aplicada à Compressão de Imagens. Universidade de Lisboa Instituto Superior Técnico. Mestrado em Engenharia Aeroespacial Álgebra Linear Aplicada à Compressão de Imagens Universidade de Lisboa Instituto Superior Técnico Uma Breve Introdução Mestrado em Engenharia Aeroespacial Marília Matos Nº 80889 2014/2015 - Professor Paulo

Leia mais

GEOMETRIA DO TAXISTA. (a -b )² + (a -b )²

GEOMETRIA DO TAXISTA. (a -b )² + (a -b )² GEOMETRI O TXIST Geometria do Taxista é uma geometria não-euclidiana, no sentido em que a noção de distância não é a mesma e acordo com o desenho abaixo, suponhamos um motorista de táxi que apanha um cliente

Leia mais

1.10 Sistemas de coordenadas cartesianas

1.10 Sistemas de coordenadas cartesianas 7 0 Sistemas de coordenadas cartesianas Definição : Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um v v conjunto formado por um ponto e uma base { } v3 Indicamos um sistema de coordenadas cartesianas

Leia mais

GEOMETRIA DESCRITIVA... o que é e para que serve!

GEOMETRIA DESCRITIVA... o que é e para que serve! GEOMETRIA DESCRITIVA... o que é e para que serve! Desde sempre, o homem, na sua necessidade de comunicação, procurou encontrar um meio de representar as formas dos objectos que o rodeavam. Assim, Gaspar

Leia mais

MATEMÁTICA (11º ano) Exercícios de Exames e Testes Intermédios Equações de retas e planos

MATEMÁTICA (11º ano) Exercícios de Exames e Testes Intermédios Equações de retas e planos MATEMÁTICA (11º ano) Exercícios de Exames e Testes Intermédios Equações de retas e planos 1 Seja um número real. Considere, num referencial o.n., a reta e o plano definidos, respetivamente, por e Sabe-se

Leia mais

8 -SISTEMA DE PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR - UTM

8 -SISTEMA DE PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR - UTM 8 -SISTEMA DE PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR - UTM Introdução: histórico; definições O Sistema de Projeção UTM é resultado de modificação da projeção Transversa de Mercator (TM) que também é

Leia mais

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A 4. Função O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ESTUDO DA RETA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ESTUDO DA RETA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ESTUDO DA RETA 1. SEJA O CUBO DADO NA FIGURA ABAIXO CUJOS VÉRTICES AB PERTENCEM À LT. PERGUNTA-SE: A) QUE TIPO DE RETAS PASSA PELAS ARESTAS EF, EC, EG. B) QUE TIPO DE RETAS PASSA

Leia mais

Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L.

Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. Mas antes de começar, atente para as seguintes dicas:

Leia mais

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios)

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios) UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros eercícios) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Eercícios

Leia mais

C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O. matemática. Calculando áreas de figuras geométricas planas

C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O. matemática. Calculando áreas de figuras geométricas planas C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O 05 matemática Calculando áreas de figuras geométricas planas Elizabete Alves de Freitas Governo Federal Ministério da Educação Projeto

Leia mais

UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 1

UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 1 ANÁLISE GRÁFICA UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 0.. Introdução Neste capítulo abordaremos princípios de gráficos lineares e logarítmicos e seu uso em análise de dados. Esta análise possibilitará

Leia mais

M =C J, fórmula do montante

M =C J, fórmula do montante 1 Ciências Contábeis 8ª. Fase Profa. Dra. Cristiane Fernandes Matemática Financeira 1º Sem/2009 Unidade I Fundamentos A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e

Leia mais

Planos e Retas. Equações do Plano e da Reta. Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins

Planos e Retas. Equações do Plano e da Reta. Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins Planos e Retas Uma abordagem exploratória das Equações do Plano e da Reta Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins Na geometria, um plano é determinado se

Leia mais

Lados de um triângulo retângulo. MA092 Geometria plana e analítica. Mudando o ângulo. Trabalhando no plano Cartesiano

Lados de um triângulo retângulo. MA092 Geometria plana e analítica. Mudando o ângulo. Trabalhando no plano Cartesiano Lados de um triângulo retângulo MA092 Geometria plana e analítica. Catetos de um triângulo retângulo em função da hipotenusa e do ângulo θ: sen(θ) = y z y = z sen(θ) Francisco A. M. Gomes cos(θ) = x z

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA 1 GRÁFICOS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA 1 GRÁFICOS UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA Prof. Irineu Hibler 1 GRÁFICOS Os gráficos desempenham na Física Experimental um papel preponderante. Mais facilmente pelos

Leia mais

Prof. Vinícius C. Patrizzi ESTRADAS E AEROPORTOS

Prof. Vinícius C. Patrizzi ESTRADAS E AEROPORTOS Prof. Vinícius C. Patrizzi ESTRADAS E AEROPORTOS GEOMETRIA DE VIAS Elementos geométricos de uma estrada (Fonte: PONTES FILHO, 1998) CURVAS HORIZONTAIS Estudo sobre Concordância Horizontal: O traçado em

Leia mais

Unidade 11 Geometria Plana I. Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer

Unidade 11 Geometria Plana I. Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer Unidade 11 Geometria Plana I Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer Congruência e Semelhança de Figuras Planas TRIÂNGULOS SEMELHANTES Dois

Leia mais

Geometria Diferencial de Curvas Espaciais

Geometria Diferencial de Curvas Espaciais Geometria Diferencial de Curvas Espaciais 1 Aceleração tangencial e centrípeta Fernando Deeke Sasse Departamento de Matemática CCT UDESC Mostremos que a aceleração de uma partícula viajando ao longo de

Leia mais

A unidade de freqüência é chamada hertz e simbolizada por Hz: 1 Hz = 1 / s.

A unidade de freqüência é chamada hertz e simbolizada por Hz: 1 Hz = 1 / s. Movimento Circular Uniforme Um movimento circular uniforme (MCU) pode ser associado, com boa aproximação, ao movimento de um planeta ao redor do Sol, num referencial fixo no Sol, ou ao movimento da Lua

Leia mais

Um espelho é uma superfície muito lisa e que permita alto índice de reflexão da luz que incide sobre ele. Espelhos possuem formas variadas:

Um espelho é uma superfície muito lisa e que permita alto índice de reflexão da luz que incide sobre ele. Espelhos possuem formas variadas: * 16/03/16 Um espelho é uma superfície muito lisa e que permita alto índice de reflexão da luz que incide sobre ele. Espelhos possuem formas variadas: * *Definição *Um espelho plano é aquele em que a superfície

Leia mais

Capítulo1 Tensão Normal

Capítulo1 Tensão Normal - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Referências Bibliográficas:

Leia mais

1ª) Lista de Exercícios de Laboratório de Física Experimental A Prof. Paulo César de Souza

1ª) Lista de Exercícios de Laboratório de Física Experimental A Prof. Paulo César de Souza 1ª) Lista de Exercícios de Laboratório de Física Experimental A Prof. Paulo César de Souza 1) Arredonde os valores abaixo, para apenas dois algarismos significativos: (a) 34,48 m (b) 1,281 m/s (c) 8,563x10

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada TPC nº 6 (entregar no dia 14 01

Leia mais

Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE)

Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Apostila Organizada por: Ludmilla Rangel Cardoso Silva Kamila Gomes Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo

Leia mais

Autoria: Fernanda Maria Villela Reis Orientadora: Tereza G. Kirner Coordenador do Projeto: Claudio Kirner. Projeto AIPRA (Processo CNPq 559912/2010-2)

Autoria: Fernanda Maria Villela Reis Orientadora: Tereza G. Kirner Coordenador do Projeto: Claudio Kirner. Projeto AIPRA (Processo CNPq 559912/2010-2) Autoria: Fernanda Maria Villela Reis Orientadora: Tereza G. Kirner Coordenador do Projeto: Claudio Kirner 1 ÍNDICE Uma palavra inicial... 2 Instruções iniciais... 3 Retângulo... 5 Quadrado... 6 Triângulo...

Leia mais

e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br

e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br Assunto: Cálculo de Lajes Prof. Ederaldo Azevedo Aula 3 e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br 3.1. Conceitos preliminares: Estrutura é a parte ou o conjunto das partes de uma construção que se destina a

Leia mais

A. Equações não lineares

A. Equações não lineares A. Equações não lineares 1. Localização de raízes. a) Verifique se as equações seguintes têm pelo menos uma solução nos intervalos dados: i) (x - 2) 2 ln(x) = 0, em [1, 2] e [e, 4]. ii) 2 x cos(x) (x 2)

Leia mais

Exercícios e questões de Álgebra Linear

Exercícios e questões de Álgebra Linear CEFET/MG Exercícios e questões de Álgebra Linear Versão 1.2 Prof. J. G. Peixoto de Faria Departamento de Física e Matemática 25 de outubro de 2012 Digitado em L A TEX (estilo RevTEX). 2 I. À GUISA DE NOTAÇÃO

Leia mais

6.2. Volumes. Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO

6.2. Volumes. Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6.2 Volumes Nesta seção aprenderemos a usar a integração para encontrar o volume de um sólido. SÓLIDOS IRREGULARES Começamos interceptando S com um plano e obtemos uma região plana

Leia mais

Adição de probabilidades. O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e):

Adição de probabilidades. O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e): Adição de probabilidades O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e): Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se, e somente se, A B

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 20

Álgebra Linear I - Aula 20 Álgebra Linear I - Aula 0 1 Matriz de Mudança de Base Bases Ortonormais 3 Matrizes Ortogonais 1 Matriz de Mudança de Base Os próximos problemas que estudaremos são os seguintes (na verdade são o mesmo

Leia mais

Trigonometria. Relação fundamental. O ciclo trigonométrico. Pré. b c. B Sabemos que a 2 = b 2 + c 2, dividindo os dois membros por a 2 : a b c 2 2 2

Trigonometria. Relação fundamental. O ciclo trigonométrico. Pré. b c. B Sabemos que a 2 = b 2 + c 2, dividindo os dois membros por a 2 : a b c 2 2 2 Trigonometria Relação fundamental C b a A c B Sabemos que a = b + c, dividindo os dois membros por a : a b c = + a a a sen + cos = Temos também que: b c senα= e cosα= a a Como b tgα= c, concluímos que:

Leia mais

Seu pé direito nas melhores Faculdades

Seu pé direito nas melhores Faculdades 10 Insper 01/11/009 Seu pé direito nas melhores Faculdades análise quantitativa 40. No campeonato brasileiro de futebol, cada equipe realiza 38 jogos, recebendo, em cada partida, 3 pontos em caso de vitória,

Leia mais

Corrente elétrica, potência, resistores e leis de Ohm

Corrente elétrica, potência, resistores e leis de Ohm Corrente elétrica, potência, resistores e leis de Ohm Corrente elétrica Num condutor metálico em equilíbrio eletrostático, o movimento dos elétrons livres é desordenado. Em destaque, a representação de

Leia mais

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU Os sistemas a seguir envolverão equações do 2º grau, lembrando de que suas soluções constituem na determinação do par ordenado { (x, y )(x, y ) }. Resolver um sistema envolvendo

Leia mais

Resumo: Estudo do Comportamento das Funções. 1º - Explicitar o domínio da função estudada

Resumo: Estudo do Comportamento das Funções. 1º - Explicitar o domínio da função estudada Resumo: Estudo do Comportamento das Funções O que fazer? 1º - Explicitar o domínio da função estudada 2º - Calcular a primeira derivada e estudar os sinais da primeira derivada 3º - Calcular a segunda

Leia mais

Capítulo 4. Retas e Planos. 4.1 A reta

Capítulo 4. Retas e Planos. 4.1 A reta Capítulo 4 Retas e Planos Neste capítulo veremos como utilizar a teoria dos vetores para caracterizar retas e planos, a saber, suas equações, posições relativas, ângulos e distâncias. 4.1 A reta Sejam

Leia mais

Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos

Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos 1. (Fgv 013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é

Leia mais

Ensinando a trigonometria através de materiais concretos

Ensinando a trigonometria através de materiais concretos UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA SEMANA DA MATEMÁTICA 2014 Ensinando a trigonometria através de materiais concretos PIBID MATEMÁTICA 2009 CURITIBA

Leia mais