Título do Livro. Capítulo 5

Transcrição

1 Capítulo 5 5. Geometria Analítica A Geometria Analítica tornou possível o estudo da Geometria através da Álgebra. Além de proporcionar a interpretação geométrica de diversas equações algébricas Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas Chamamos de reta orientada quando estabelecemos dois sentidos que ela percorre: positivo e negativo. Para identificarmos tais sentidos, admitimos que o positivo é indicado por uma seta e o negativo é o lado oposto. Essa reta também pode ser chamada de eixo quando um ponto O demarca a origem deste. Assim, podemos verificar tais características nas Figura (5.1) e (5.2). Figura 5.1 Sentido de uma reta orientada. Fonte Autores.

2 Figura 5.2 Representação de um eixo x. Fonte Autores. A coordenada x p de um ponto P representa a distância orientada entre os pontos O e P medida na unidade adotada. Dizse que P tem coordenada x p e escreve-se P(x p ). Exemplo 5.1: Determine as coordenadas dos pontos indicados na Figura 5.3. Figura 5.3 Figura referente ao Exemplo 1. Fonte Autores. Solução: O ponto O é a origem do sistema e o associamos à coordenada zero, denotando-o O(0). O ponto B está a 2 unidades da origem O na semirreta positiva do sistema. Assim, sua distância orientada em relação à origem é +2. Logo, sua coordenada é x p = +2 ou P(2).

3 O ponto Q está a 2 unidades da origem O na semirreta negativa do sistema. Portanto, sua distância orientada em relação à origem é 1. Logo sua coordenada é x Q = 1 ou Q( 1). Podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais Re os pontos sobre a reta x, da seguinte maneira: Cada número real corresponde a um único ponto da reta. Cada ponto da reta corresponde a um único número real, chamado de coordenada do ponto. Quando a cada ponto da reta for associada uma coordenada, constituímos um sistema de coordenadas e esta reta é então chamada de eixo de coordenadas, escala numérica ou reta numérica. O conjunto das coordenadas de todos os pontos da escala numérica é chamado de conjunto dos números reais R. É usual representarmos o sistema unidimensional por uma reta horizontal, orientada para direita, e denominá-la por eixo xou eixo das abscissas Distância entre Dois Pontos na Reta Sejam A(x A ) e B(x B ) dois pontos de um eixo de coordenadas unidimensional. Denominamos distância entre os pontos A e B o número real d dado pela equação 5.1. d(a, B) = x b x a (5.1) Exemplo 5.2: Sejam os pontos: A( 3,5), B( 1,8), C(1) e D(2,5), dispostos na Figura 5.4. Calcule as distâncias entre os pontos: A e C; B e D; A e D

4 Solução: Figura 5.4 Figura referente ao Exemplo 5.2 Fonte Autores. Solução: Para calcularmos as três distancias, basta utilizarmos a equação (5.1) e substituirmos os respectivos valores numéricos de A (x A ), B(x B ), C(x C ) e D(x D ) nesta. d(a, C) = x C x A = 1 ( 3,5) = 4,5 (I) d(b, D) = x D x B = 2,5 ( 1,8) = 4,3 (II) d(a, D) = x D x A = 2,5 ( 3,5) = 6,0 (III) Exemplo 5.3: Considere um eixo t de coordenadas para representar o tempo em anos. A origem deste eixo é o ano do nascimento de Cristo e o sentido positivo indica os anos d.c. (depois de Cristo). a) Indique no eixo t e determine as coordenadas dos pontos NA e MA que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa A que nasceu no ano de 30 a.c. e morreu no ano 25 d.c. Calcule a idade que esta pessoa morreu.

5 Figura 5.5 Figura referente ao Exemplo 5.3. Solução: Fonte: Autores. Assumimos que no Ponto NA, t NA = 30 NA( 30) e no Ponto MA, t MA = 25 MA(25). Portanto, podemos calcular o tempo de vida da pessoa A pela equação IV. tv A = d(na, MA) = 25 ( 30) = 55anos (IV) b) Indique no eixo t e determine as coordenadas dos pontos NB e MB que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa B que nasceu no ano de 20 a.c. e morreu no ano 10 d.c. Calcule a idade que esta pessoa morreu. Figura 5.6 Figura referente ao Exemplo 5.3. Fig 5.6: Fonte Autores. Solução: Novamente, identificamos os pontos em questão: NB e MB. Ponto NB, t NB = 20 NB( 20) Ponto MB, t MB = 10 MB(10)

6 Em seguida, calculamos o tempo de vida da pessoa B pela equação (V). tv B = d(nb, MB) = 10 ( 20) = 30anos (V) c) Determine quem nasceu e quem morreu primeiro e por quantos anos as pessoas A e B foram contemporâneas (viveram na mesma época). Figura 5.7 Figura referente ao Exemplo 5.3. Fonte Autores. Solução: NA( 30)NB( 20)MB(10)MA(25) A pessoa A nasceu primeiro e a pessoa B morreu primeiro. As duas viveram na mesma época, no período entre o nascimento da última nascer (NB) até a morte da primeira morrer (MA). Assim, é possível calcularmos o período de contemporaneidade pela expressão (VI). T = d(nb, MA) = 10 ( 20) = 30anos (VI) 5.2. Sistema Bidimensional de Coordenadas Cartesianas Neste sistema, um ponto pode se mover livremente em todas as direções de um plano (no espaço bidimensional).

7 O sistema é formado por dois eixos coordenados perpendiculares que se cruzarem na origem. O ponto O de intersecção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. Um dos eixos é denominado de eixo das abscissas e o outro eixo das ordenadas. A representação gráfica do sistema bidimensional cartesiano ou retangular é um plano denominado plano cartesiano. Cada ponto P(x, y),onde x é a abscissa e y é a ordenada de P, pode ser inequivocamente localizado no plano cartesiano mediante um par ordenado (x 0, y 0 ). Para cada ponto distinto P no plano cartesiano há um e apenas um par de coordenadas (x 0, y 0 ). Inversamente, qualquer par de coordenadas (x 0, y 0 ) determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Portanto, no sistema de coordenadas retangulares há uma correspondência biunívoca entre ponto e par ordenado de números reais. Na Figura 5.8, indicamos a localização de um ponto P(x 0, y 0 ), de abscissa x 0 e ordenada y 0, neste plano. Figura 5.8 Plano cartesiano. Fonte: Autores.

8 P x (x 0, 0) é a projeção do ponto P no eixo x. P y (0, y 0 ) é a projeção do ponto P no eixo y. O módulo da abscissa representa a menor distância que P está do eixo y e o módulo da ordenada representa a menor distância que P está do eixo x Distância entre Dois Pontos na Plano Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, indicada por d(a, B), é a medida do segmento de extremidades A e B. Sejam A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) dois pontos no plano cartesiano, como indicado pela figura 5.9. A distância entre eles pode ser determinada aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo em destaque na figura. Figura Distancia entre dois pontos. Fonte: Autores.

9 O quadrado da distancia entre os pontos A e B, é igual a soma dos quadrados das variações x e y determinado pela equação 5.2. [d(a, B)] 2 = x 2 + y 2 (5.2) Com x = x 2 x 1 ; y = y 2 y 1 Dessa forma, d(a,b) será igual a equação (5.3). d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (5.3) Exemplos 5.4: Determine a distância entre os pontosa e B da figura 5.10: Figura Figura referente ao Exemplo 5.4. Fonte: Autores

10 Os pontos A e B estão em uma mesma reta. Por conseguinte, a distância pode ser calculada utilizando a equação (5.1) d(a, B) = x B x A = 8 2 = 6 Exemplo 5.5: Determine a distância entre os pontosa e B da figura 5.11: Figura Figura referente ao Exemplo 5.5 Fonte: Autores Solução: Neste caso são dadas as distâncias nas direções x e y, podemos simplificar o cálculo utilizando diretamente o teorema de Pitágoras, a equação (5.3). d(a, B) = x 2 + y 2 = (4 2) 2 + (2 6) 2 d(a, B) = = 20 = 4 5 = 2 5. (I)

11 5.3. Gráfico de uma Equação Traçar o gráfico de uma equação é representar em um sistema de coordenadas alguns dos pontos que a satisfaça. Exemplo 5.6: Analise as figuras 5.12 e 5.13 e determine a equação da reta visualizada na imagem Figura 5.12 Gráfico I Fonte: Autores

12 Figura 5.13 Gráfico II Fonte: Autores. Figura 5.14 Gráfico III Fonte: Autores.

13 Solução: No Gráfico I, está representado o seguinte conjunto de pontos: G 1 = {( 2; 4), ( 1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 4)} No Gráfico II, foram acrescentados pontos intermediários aos pontos existentes. No Gráfico III, os pontos estão tão próximos que visualizamos o gráfico de uma reta que, devido a limitações gráficas, está representada com comprimento finito. Podemos observar nos gráficos que a coordenada y dos pontos representados é sempre o dobro de sua coordenadax, ou seja, y = 2x. Assim, a reta visualizada no Gráfico III é o gráfico da equação (I) y = 2x À definição algébrica desta reta, chamaremos de reta r, é igual a equação (II). r {P(x, y) R 2 y = 2x} (I) (II) Lê-se: a reta r é o conjunto de todos os pontos P de coordenadas xe y do plano tal que y = 2x Equação da Reta Vimos anteriormente que dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. Isto significa que bastam dois pontos para traçar uma reta, embora ela seja constituída por infinitos pontos. Considere uma reta r que passa pelos pontos P 0 (x 0, y 0 ) e P 1 (x 1, y 1 ), como indicado na Figura 5.15.

14 Figura 5.15 Representação da reta r Fonte: Autores. Denominamos inclinação da reta r ao ângulo α formado entre o eixo das abscissas (x) e a reta, considerado positivo se medido no sentido anti-horário, com 0 α 180. E coeficiente angular ou declividade da reta r ao número real m dado pela equação (5.3). m = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 ; comx 0 < x 1 (5.3) Observe que o coeficiente angular representa a tangente trigonométrica do ângulo α. Devido à variação da inclinação da reta é possível ter uma das seguintes situações: 1) Se α = 0 ou α = 180

15 Figura Reta com r α = 0 ou α = 180 Fonte: Autores. Quando x = x 1 x 0 > 0 e y = y 1 y 0 = 0, o coeficiente angular será igual a zero (5.4). Portanto, teremos uma reta constante. m = y m = 0 (5.4) x

16 2) Se 0 < α < 90 Figura 5.17 Reta r com 0 < α < 90 Fonte: Autores. Quando x = x 1 x 0 > 0 e y = y 1 y 0 > 0, o coeficiente angular será igual maior do zero (5.5). Dessa forma, teremos uma reta crescente. m = y m > 0 (5.5) x

17 3)Se 90 < α < 180 Figura 5.18 Reta r com 90 < α < 180 Fonte Autores. Quando x = x 1 x 0 > 0 e y = y 1 y 0 < 0, o coeficiente angular será menor do que zero (5.6). Por conseguinte, teremos uma reta decrescente m = y m < 0 (5.6) x

18 3) Se α = 90 Figura 5.19 Reta r com α = 90 Fonte Autores. Quando x = x 1 x 0 = 0 e y = y 1 y 0 0, o coeficiente angular não existirá (5.7). Por conseguinte, teremos uma reta paralela ao eixo y. x = x 1 x 0 = 0; y = y 1 y 0 0 m = y m R (5.7) x Quando α = 90, a reta é paralela ao eixo y e sua a declividade não é definida, pois não podemos dividir um número por zero. Portanto, a reta não tem declividade.

19 Equação da Reta dados um Ponto e o Coeficiente Angular Sejam P 0 (x 0, y 0 ) e m, respectivamente, um ponto da reta re o coeficiente angular da reta. Considere o ponto genérico P(x, y) nesta mesma reta, como indicado na figura abaixo. Figura 5.20 Reta r dado um ponto P 0. Fonte: Autores O coeficiente angular da reta r é dado pela equação (5.8). Logo, será igual a (5.9). m = y x m = y y 0 x x 0 (5.8) y y 0 = m (x x 0 ) (5.9)

20 Equação da Reta dados Dois Pontos Sejam P 0 (x 0, y 0 ) e P 1 (x 1, y 1 ) dois pontos conhecidos de uma reta r. Para determinar a equação da reta é necessário calcular previamente o valor do coeficiente angular (5.10). Posteriormente, escolhemos um dos pontos conhecidos e substituímos suas coordenadas e o valor calculado do coeficiente angular na equação da reta (5.11). m = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 (5.10) y y 0 = m (x x 0 ) y y 0 = ( y 1 y 0 x 1 x 0 ) (x x 0 ) (5.11) Equação da Reta na Forma Reduzida Trabalhando algebricamente com a equação da reta dada por y y 0 = m(x x 0 ), obteremos a equação (5.12). y = mx mx 0 + y 0 y = mx + (y 0 mx 0 ) (5.12) Fazendo b = (y 0 mx 0 ), y será igual a equação (5.13): y = mx + b (5.13) Esta forma é conhecida como equação da reta na forma reduzida onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da reta. Tome nota! 1) A equação da reta é um polinômio de primeiro grau em x.

21 2) Na equação da reta na forma y = mx + b, se x = 0 tem-se y = b, então o ponto P(0, b) é o ponto de interseção da reta com o eixo dos y, onde b é o coeficiente linear da reta. 3) Se a reta é paralela ao eixo x, m = 0,todos os pontos terão a mesma ordenada y 0. A equação da reta é dada por y = y 0 4) Se a reta é paralela ao eixo y, m, todos os pontos terão a mesma abscissa x 0. A equação da reta é dada por x = x 0. Exemplo 5.7: Determine a equação da reta indicada na figura 5.21, dado m = 0,5. Figura 5.21 Figura referente ao Exemplo 5.7. Solução: Fonte: Autores. Podemos identificar um ponto da reta P 0 (3,4) e o coeficiente angular m = 0,5. Para definirmos a equação da reta, utilizaremos a equação (5.9). y y 0 = m (x x 0 ) y 4 = 1 (x 3) 2

22 y = x = x Posição relativa entre as Retas Sejam r e s duas retas paralelas (r / s) representadas pela figura 5.22 de inclinações α 1 e α 2, respectivamente; não possuindo nenhum ponto em comum. Então, para que a condição seja aceita, os coeficientes seguirão a igualdade (5.14). α 1 = α 2 m 1 = m 2 (5.14) Figura 5.22 Representação de duas retas paralelas. Fonte: Autores. Duas retas r e s representadas pela figura 5.23, de inclinações α 1 e α 2, respectivamente, são ditas concorrentes quando estas se interceptam em um ponto. Os seus coeficientes angulares serão diferentes (5.15). m 1 m 2 (5.15)

23 Figura 5.23 Representação de duas retas concorrentes Fonte: Autores. Há um caso particular de retas concorrentes, o que ocorre quando as retas são perpendiculares (r s) representadas pela figura 5.24 de inclinações α 1 e α 2, respectivamente. Elas possuem um único ponto em comum. Portanto, a relação entre os coeficientes angulares das duas será igual a (5.16). α 1 = α 2 m 1 = 1 m 2 (5.16)

24 Figura 5.24 Representação de duas retas perpendiculares Fonte: Autores. Sejam r e s retas coincidentes (r = s) representadas pela figura 5.25 de inclinações α 1 e α 2, respectivamente. Elas possuem todos os pontos em comum. Portanto, a relação entre os coeficientes angulares e lineares será iguail. Figura 5.25 Representação de duas retas coincidentes. Fonte: Autores. α 1 = α 2 m 1 = m 2, b 1 = b 2 (5.16)

25 Exemplo 5.8: Trace o gráfico das retas r e s e determine a interseção entre elas. Sabendo que: A reta r é a reta de equação y = 0,5x + 8. A reta s é perpendicular à reta r e um de seus pontos é o ponto P(2,2). Solução: A equação da reta r está em sua forma reduzida, y = ax + b. Assim, a é o coeficiente angular (m r ), ou seja, m r = 0,5. A reta s é perpendicular à reta r. Concluímos que o coeficiente angular ( m s ) da reta s é igual a (I). m s = 1 = 1 = 2 m r ( 0,5) Dessa forma, a reta r é uma reta de coeficiente angular m s = 2 e passa pelo ponto P(2,2). Conhecendo o coeficiente angular e um ponto da reta s sua equação pode ser determinada por (II). y y 0 = m s (x x 0 ) y 2 = 2(x (2)) y 2 = 2x 4 y = 2x 2 (I) (II) O ponto de interseção entre as retas pertence à ambas as retas. Por conseguinte, deve satisfazer às equações das retas r e s, ou seja, são iguais a (III). r: y = 0,5x + 8 e s: y = 2x 2 0,5x + 8 = 2x 2 2,5x = 10 x = 4 (III)

26 Sabendo o valor da abscissa do ponto P(x, y), o valor da ordenada fica estabelecido pela substituição em qualquer uma das equações. y = 2x 2 = = 6 ou y = 0,5x + 8 = 0, = = 6 O ponto de interseção é o pontoq(4,6). O gráfico de uma reta pode ser traçado se forem conhecidos 2 de seus pontos pois por 2 pontos passa uma única reta. Dois pontos da reta s são conhecidos: P(2,2) e Q(4,6). O ponto da interseção Q(4,6) também pertence à reta r. Outro ponto qualquer da reta r pode ser obtido por sua equação y = 0,5x + 8. Por exemplo, para x = 2, y = 0, = 7, então o ponto T(2,7) pertence à reta r. O gráfico das retas r e s bem como o ponto de interseção entre elas estão indicados pela figura Figura 5.26 Representação das retas r e s Fonte: Autores

27 5.5. Equação da Circunferência Define-se uma circunferência, de raio r e centro C(x 0, y 0 ), como um conjunto de pontos P(x, y) do plano, tais que d(p, C) = r; representada pela figura Figura 5.27 Circunferência de raio r centro C. Fonte: Autores. Utilizando a Equação (5.3), tem-se que: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r (5.17) Ou: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 (5.18)

28 A Equação (5.18) é chamada de equação da circunferência reduzida. Manipulando algebricamente a Equação (5.18), obtém-se a equação geral da circunferência (5.19). x 2 + y 2 2x. x 0 2y. y 0 + x y 0 2 r 2 = 0 (5.19) Exemplo 5.8: Encontre as equações reduzida e geral da circunferência. Dado que esta passa pelo ponto (3, -2) e possui centro em (1,1). Solução: Para obter as equações da circunferência, é necessário calcular o valor do raio desta. Como a distância entre o centro e qualquer ponto desta é sempre igual ao raio, utiliza-se a equação (5.17). r = (3 1) 2 + ( 2 1) 2 = 13 (I) Calculado o valor do raio, substitui-se o valor deste e centro na equação (5.18) para obter a equação reduzida (II). (x 1) 2 + (y 1) 2 = ( 13) 2 (II) Portanto, a equação geral será dada por (III). x 2 + y 2 2x 2y + 2 = 13 x 2 + y 2 2x 2y 11 = 0 (III)

29 5.6. Equação da Elipse Dados dois pontos F 1 e F 2 (focos da elipse), denomina-se elipse o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a esses dois pontos é a constante 2a, maior que a distância 2c entre esses dois pontos (Ver Figura 5.28), ou seja, PF 1 + PF 2 = 2a (5.20) Figura 5.28 Representação de uma elipse Fonte: Autores Com isso, pode-se extrair alguns elementos da elipse ao observar a Figura 5.29.

30 Figura 5.29 Representação da Elipse e seus elementos Elementos da Elipse: Eixo Maior A 1 2 = 2a Eixo Menor B 1 2 = 2b Distância Focal F 1 2 = 2c Centro da Elipse C(x o, y o ) Fonte: Autores A partir da relação fundamental (5.21) resultante do triângulo abc, é possível obter a equação (5.22) da excentricidade da elipse. a 2 = b 2 + c 2 (5.21)

31 e = c a (5.22) Com os elementos da elipse identificados, é possível definir a equação desta, as quais são divididas em duas situações: 1) Eixo maior paralelo ao eixo x. Pela Figura 5.30, conclui-se que F 1 (x c c, y c ) e F 2 (x c + c, y c ). Figura 5.30 Representação do eixo maior paralelo ao eixo x Fonte: Autores A equação para esse caso será dada por (5.23). (x x c ) 2 a 2 + (y y c )2 b 2 = 1 (5.23)

32 2) Eixo maior paralelo ao eixo y Pela Figura 5.31, conclui-se que F 1 (x c, y c c) e F 2 (x c, y c + c). Figura 5.31 Representação do eixo maior paralelo ao eixo y Fonte: Autores A equação para esse caso será dada por (5.24). (x x c ) 2 b 2 + (y y c )2 a 2 = 1 (5.24) Exemplo 5.9: Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x y 2 = 225.

33 Solução: Primeiro, é necessário que a equação dada esteja no padrão da equação (5.23). 9x y 2 = 225 x ( ) x y2 9 = 1 (I) (II) Com isso: a 2 = 25 e b 2 = 9 (III) Utilizando a equação (5.21), obtém-se o valor de c. 25 = 9 + c 2 c = ±4 (IV) Portanto, as coordenadas dos focos serão F 1 (4, 0) e F 2 ( 4, 0)

34 Exercícios Propostos 1) Um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( 6,3). Determine as coordenadas do ponto P. 2) Um ponto móvel P ( 2 + t, 4t + 2) desloca-se no plano 3 cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo t(com t 0). Qual a distância percorrida pelo ponto entre os tempos t = 0 e t = 6? 3) Determine o ponto de interseção das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y 5 = 0 4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(1, 2) e que tem coeficiente angular igual a 1. 5)Considere os pontos A(0,0), B(2,3) e C(4,1). Determine as equações das retas r e s que são, respectivamente, paralela e perpendicular à reta AC e que passam pelo ponto B. 6) As retas r e s são perpendiculares e se interceptam no ponto (2,4). A reta s contém o ponto (0,5). Determine a equação da reta r. 7) Calcule a área do triângulo formado pela interseção das retas: r: 2x + y = 1; s: x = 2; t: y = 1. Trace o gráfico das retas em um mesmo plano cartesiano e destaque o triângulo. 8) Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0) e P(3, h). Determine a expressão que representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h.

35 9) Uma reta passa pelo ponto P (8, 2) e tem uma inclinação de 45º. Qual é a equação dessa reta? 10) Os pontos A (1, 2), B (3, 1) e C (2, 4) são os vértices de um triângulo. Determinar as equações das retas suportes aos lados desse triângulo. 11) Determinar a posição da reta r, de equação 2x 3y + 5 = 0, em relação à reta s, de equação 4x 6y 1 = 0. 12) Clarence desenhou o triângulo determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5), B(3;2) e C(7;2). Quais valores de área e perímetro que Clarice encontrou? 13) Qual a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semi-eixo positivo ox um ângulo de 60? 14) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(0,0), B(2,2) e C(2,-2). Se ax+by=c é a equação cartesiana da reta que contém a altura deste triângulo relativa ao lado AB, determine 5b/a. 15) Qual é área do circulo que é limitado pela equação x 2 + y 2 + 4x 2y 4 = 0? 16) Qual é distância do centro da circunferência, de equação x 2 4x + y 2 8y + 11 = 0, ao ponto (3,4)? 17) Os pontos A(4, 2) e B(2,0) são extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro (a,b) e raio r. Determine a equação reduzida dessa circunferência. 18) Determine a excentricidade da elipse de equação 16x y = 0.

36 19) O centro de uma elipse È o ponto (2; -4)e o vértice e o foco no mesmo semi-eixo são os pontos (2; -4)e (1; -4), respectivamente. Determine a equação da elipse, sua excentricidade, o comprimento de seu eixo menor. 20) Reduzir a equação da elipse e determinar as coordenadas do centro, vértices e focos, os comprimentos dos seus eixos maior e menor e sua excentricidade: a) x 2 + 4y 2 6x + 16y + 21 = 0 b) 9x 2 + 4y 2 8y 32 = 0

37 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A( 2,0) 2) 10 u. c. 3) P(1,1) 4) y = x 1 5)r: y x = 1, s: y + 4x = ) r: y 2x = 0 7)A = 4 u. a. 8) d = 9 + h² 9) y = x 6 10) AB: y = x + 5, AC: y = 2x, BC: y = 3x ) As retas r e s são paralelas 12) Perímetro: 12, Área=6. 13) 3 x y = ) 5 15) S = 9π 16) 1

38 17) (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 2 18) 0,6 19) (x 2) (y+4)2 7 = 1; e = 3 4 ; 2b = ) a) (x 3)2 4 + (y+2)2 1 = 1; centro (3, 2); vértices (5, 2) e (1, 2); focos (3 + 3, 2) e (3 3, 2); 2a = 4; 2b = 2; e = 3 2 b) x (y 1)2 9 = 1; centro (0,1); vértices (0,4) e (0, 2) focos (0, 1 + 5) e (0, 1 5); 2a = 6; 2b = 4; e = 5 3