Figura 1: Construção criada utilizando Geogebra

Transcrição

1 Conteúdo: Geometria Analítica Atividade: Material complementar 1 Aluno(s):... N o(s) :... Aluno(s):... N o(s) :... Pontuação:... Professor: Fábio Vinícius Turma:... Data:.../.../... Valor obtido:... [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Caderno [X] Folha [X] Livro [X] Internet [X] Calculadora [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Considere os pontos identificados como Amanda, Bruno, Carlos e Débora, apresentados no sistema cartesiano de coordenadas abaixo, como sendo a localização das moradias dos nossos quatro personagens. Observe que pelas moradias dos personagens Amanda e Bruno passa a Avenida 1 e que paralela a essa Avenida 1 temos as ruas 2 e 3 que passam, respectivamente, pelas moradias de Carlos e Débora. Perpendicular à Avenida 1, temos as ruas 4 e 5 que passam pelas moradias de Amanda e Bruno respectivamente. Em relação as duas circunferências, temos uma delas possui o centro na moradia do Carlos onde a identificamos como Antena 1 e uma outra que possui o centro na moradia do Bruno onde identificamos como Antena 2. Figura 1: Construção criada utilizando Geogebra Com base nessas informações, responda as questões abaixo de novembro de 2018

2 Lista 1 Questão 1. Quais são as coordenadas cartesianas dos pontos identificados pelos personagens de Amanda, Bruno, Carlos e Débora? Questão 2. Quais são as distâncias entre as casas dos personagens envolvidos? Questão 3. Qual é a área da região poligonal limitada pelas casas dos personagens envolvidos? Questão 4. Quais são as equações das cinco retas da construção apresentada anteriormente? Questão 5. Quais são as equações reduzidas das circunferências da Antena 1 e da Antena 2? Questão 6. Quais são as áreas de cobertura das Antenas 1 e 2? Questão 7. As moradias do Carlos e da Débora estão incluídas na área de cobertura da Antena2? Justifique a tua resposta. Questão 8. As moradias do Carlos e da Débora estão em um mesmo semiplano em relação a Avenida 1? Justifique a tua resposta. Questão 9. Quais são as distâncias entre as casas do Carlos e da Débora em relação a Avenida 1? Utilize os itens do resumo abaixo para o desenvolvimento das questões anteriores. (Q2) distância entre dois pontos A(x a ; y a ) e B(x b ; y b ) no plano: d(a, B) = (x a x b ) 2 + (y a y b ) 2 (Q3) área de uma região poligonal dada as coordenadas dos vértices P 1 P 2 P n : x P1 x P2 Área P1 P 2 P n = 1 2 x Pn x P1 y P1 y P2 y Pn y P1 det módulo (Q4) equação geral da reta r dado dois pontos A(x a ; y a ) e B(x a ; y b ): x x a x b x a = y y a y b y a r: ax + by = c (Q4) equação geral de uma reta s dada a reta paralela r: ax + by = c e o ponto P(x p ; y p ) pertencente a s: s r e P s: ax + by = ax p + by p (Q4) equação geral de uma reta t dada a reta perpendicular r: ax + by = c e o ponto Q(x q ; y q ) pertencente a t: t r e Q t: bx + ay = bx q + ay q ou bx ay = bx q ay q (Q5) equação reduzida de uma circunferência λ de centro C(x c ; y c ) e raio r: (x x c ) 2 + (y y c ) 2 = r 2 (Q6) área de uma circunferência: Área circunferência = πr 2 (Q7) posição relativa entre ponto P(x p ; y p ) e circunferência λ: I(interno): (x x P ) 2 + (y y P ) 2 < r 2 e E(externo): (x x P ) 2 + (y y P ) 2 > r 2 (Q8) semiplano positivo (H + ) e semiplano negativo (H ) de uma reta r: ax + by = c H + : ax P + by p > c e H : ax P + by p < c (Q9) distância entre o ponto P(x p ; y p ) e a reta r(ax + by = c): d(p; r) = ax p+by p c a 2 +b de novembro de 2018

3 Respostas da Lista 1 Questão 1. Quais são as coordenadas cartesianas dos pontos identificados pelos personagens de Amanda, Bruno, Carlos e Débora? Amanda (4; 6) Bruno (6; 2) Carlos (6; 5) Débora (2; 2) Questão 2. Quais são as distâncias entre as casas dos personagens envolvidos? d(a; B) = (4 6) 2 + (6 2) 2 = ( 2) = = 20 = 4 5 = 2 5 4,47 uc d(a; C) = (4 6) 2 + (6 5) 2 = ( 2) = = 5 2,24 uc d(a; D) = (4 2) 2 + (6 2) 2 = = = 20 = 4 5 = 2 5 4,47 uc d(b; C) = (6 6) 2 + (2 5) 2 = ( 3) 2 = = 9 = 3 uc ou 5 2 = 3 uc d(b; D) = (6 2) 2 + (2 2) 2 = = = 16 = 4 uc ou 2 6 = 4 = 4 uc d(c; D) = (6 2) 2 + (5 2) 2 = = = 25 = 5 uc Questão 3. Qual é a área da região poligonal limitada pelas casas dos personagens envolvidos? 4 6 A ABCD = det módulo = = = = = 1 22 = 11 ua 2 Questão 4. Quais são as equações das cinco retas da construção apresentada anteriormente? Avenida 1: x 4 = y 6 x 4 = y x 4 = y 6 2x + 8 = y 6 2x + y = 14 2 Rua 2: 2x + y = c = = 17 Rua 2: 2x + y = 17 Rua 3: 2x + y = c = = 6 Rua 3: 2x + y = 6 Rua 4: x + 2y = c = = 8 Rua 4: x + 2y = 8 Rua 5: x + 2y = c = = 2 Rua 5: x + 2y = 2 Questão 5. Quais são as equações reduzidas das circunferências da Antena 1 e da Antena 2? Antena 1: (x 6) 2 + (y 5) 2 = d(c; A) 2 (x 6) 2 + (y 5) 2 = 5 Antena 2: (x 6) 2 + (y 2) 2 = d(b; C) 2 (x 6) 2 + (y 2) 2 = 9 Questão 6. Quais são as áreas de cobertura das Antenas 1 e 2? Área da Antena1 = π( 5) 2 = 5π ua e Área da Antena2 = π2 2 = 4π ua de novembro de 2018

4 Questão 7. As moradias do Carlos e da Débora estão incluídas na área de cobertura da Antena2? Justifique a tua resposta. Carlos: (x 6) 2 + (y 2) 2 = 9 (6 6) 2 + (5 2) 2 = = = 9 = 9 Débora: (x 6) 2 + (y 2) 2 = 9 (2 6) 2 + (2 2) 2 = ( 4) = = 16 > 9 Questão 8. As moradias do Carlos e da Débora estão em um mesmo semiplano em relação a Avenida 1? Justifique a tua resposta. Carlos: 2x + y = = = 17 > 14 e Débora: 2x + y = = = 6 < 14 Questão 9. Quais são as distâncias entre as casas do Carlos e da Débora em relação a Avenida 1? d(c; Av1) = = 3 = 3 = ,34 uc e d(d; Av1) = = 8 = 8 = 8 5 3,58 uc Lista 2 Questão 1. Quais são as coordenadas cartesianas dos pontos identificados pelos personagens de Amanda, Bruno, Carlos e Débora? Questão 2. Quais são as distâncias entre as casas dos personagens envolvidos? Questão 3. Qual é a área da região poligonal limitada pelas casas dos personagens envolvidos? Questão 4. Quais são as equações das cinco retas da construção apresentada anteriormente? Questão 5. Quais são as equações reduzidas das circunferências da Antena 1 e da Antena 2? Questão 6. Quais são as áreas de cobertura das Antenas 1 e 2? Questão 7. As moradias do Amanda e da Débora estão incluídas na área de cobertura da Antena2? Justifique a tua resposta. Questão 8. As moradias do Amanda e da Débora estão em um mesmo semiplano em relação a Rua 2? Justifique a tua resposta. Questão 9. Quais são as distâncias entre as casas do Amanda e da Débora em relação a Rua 2? de novembro de 2018

5 Conteúdo: Geometria Analítica Atividade: Exercício de fixação de Geometria Analítica para as listas 1 e 2 Aluno(s):... N o(s) :... Aluno(s):... N o(s) :... Pontuação:... Professor: Fábio Vinícius Turma:... Data:.../.../... Valor obtido:... [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Caderno [X] Folha [X] Livro [X] Internet [X] Calculadora [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Exercício de fixação Questão 1. Determinar a distância entre os pontos A(8; 3) e B( 4; 8). Gabarito: d(a;b) = 13 unidades de comprimento. Questão 2. Determinar a classificação quanto aos lados, o perímetro e a área do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(1; 5), B( 2; 8) e C(4; 1). Gabarito: Isósceles, 16 u.c. e 12 unidades de área. Questão 3. Determinar a classificação quanto aos ângulos, o perímetro e a área do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(6; 8), B(1; 4) e C(6; 4). Gabarito: Retângulo, 30 u.c e 30 u.a. Questão 4. Determinar as coordenadas do ponto médio M do segmento AB de extremidades A( 2; 6) e B(8; 4). Gabarito: M(3; 1). Questão 5. Determinar a área e as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, considerando A(7; 4), B( 1;8) e C(3; 10). Gabarito: 48 u.a. e G(3; 2). Questão 6. Conhecendo os pontos A, B e C, verifique, em cada item, se pertencem à mesma reta. a) A(3; 2), B(0; 1) e C( 3; 4); b) A( 3; 1), B(0; 5) e C(1; 2); c) A( 2; 5), B( 5; 6) e C( 8; 7); d) A(1; 1), B(2; 1) e C(3; 2). Gabarito: a) pertencem à mesma reta; b) não pertencem à mesma reta; c) pertencem à mesma reta; d) não pertencem à mesma reta. Questão 7. Determine a equação geral da reta que contém os pontos: a) A(1; 1) e B(0; 2) b) A(1; 2) e B(2; 5) c) A(2; 4) e B(0; 3) d) A( 2; 5) e B(4; 3) Gabarito: a) x + y 2 = 0; b) 3x + y 1 = 0; c) x 2y + 6 = 0; d) 4x + 3y 7 = 0. Questão 8. Sabe-se que o ponto A pertence à reta s e esta é paralela a r. Determine a equação geral da reta s, em cada caso: a) A(1; 3) e r: 2x y 5 = 0; b) A( 2; 3) e r: 5x + 4y + 2 = 0; c) A(2; 2) e r: 2x y + 3 = 0; d) A(1; 3) e r: x 3y + 4 = 0. Gabarito: a) s: 2x y 5 = 0; b) s: 5x + 4y + 22 = 0; c) s: 2x y 6 = 0 e d) s: x 3y 10 = de novembro de 2018

6 Questão 9. Determinar o valor de k e w para que as retas r: 2x 3y + 1 = 0 e s: (k 1)x 3y + w = 0 sejam: a) paralelas coincidentes; b) paralelas distintas. Gabarito: a) k = 3 e w = 1; b) k = 3 e w 1. Questão 10. Determinar o valor de k para que as retas r: 5x + 2y + 1 = 0 e s: (k 1)x 5y + 4 = 0 sejam perpendiculares. Gabarito: k = 3. Questão 11. Sabe-se que o ponto A pertence à reta s e esta é concorrente e perpendicular a r. Determine a equação geral da reta s, em cada caso: a) A(1; 2) e r: x y + 4 = 0; b) A(2; 2) e r: 4x 3y + 1 = 0; c) A(2; 3) e r: 7x y + 4 = 0; d) A(1; 2) e r: 3x 4y + 3 = 0. Gabarito: a) s: x + y 3 = 0; b) s: 3x + 4y + 2 = 0; c) s: x + 7y + 19 = 0 e d) s: 4x + 3y + 2 = 0. Questão 12. Classifique as retas r e s conforme suas posições relativas: a) r: 2x y + 20 = 0 e s: 2x y + 1 = 0 b) r: x + 2y 5 = 0 e s: x + 2y 5 = 0 c) r: 3x + 3y 3 = 0 e s: 3x 3y + 1 = 0 d) r: x 5y + 3 = 0 e s: 5x + y 1 = 0 e) r: 5x + 2y + 1 = 0 e s: 2x + 5y + 4 = 0 Gabarito: a) paralelas distintas; b) paralelas coincidentes; c) paralelas distintas; d) concorrentes e perpendiculares e e) concorrentes e não-perpendiculares. Questão 13. Determine a distância entre o ponto P e a reta r, nos casos abaixo: a) P(6; 2) e r: 3x 4y + 5 = 0; b) P(2; 3) e r: 2x + 2y 7 = 0; c) P(0; 0) e r: 3x 4y = 10. Gabarito: a) 3; b) 0 e c) 2. Questão 14. Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio r e centro C, em cada caso: a) r = 3 e C(2; 0) b) r = 2 e C(1; 3) c) r = 1 e C( 3; 2) d) r = 3 e C(0; 2) e) r = 2 e C(0; 0) Gabarito: a) (x 2) 2 + y 2 = 9; b) (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 4; c) (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 1; d) x 2 + (y 2) 2 = 0 e e) x 2 + y 2 = 4. Questão 15. Identifique, se possível, a posição do ponto P em relação à circunferência, nos seguintes casos: a) P( 1; 5) e λ: (x + 3) 2 + (y 2) 2 = 25; b) P( 2; 1) e λ: (x 3) 2 + (y 4) 2 = 25; c) P( 1; 2) e λ: (x + 3) 2 + (y + 6) 2 = 100; d) P(3; 5) e λ: (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 49; e) P( 3; 4) e λ: (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 1; f) P( 2; 2) e λ: (x 1) 2 + (y + 2) 2 = 9. Gabarito: a) P λ; b) P é externo à λ; c) P é interno à λ; d) P é interno à λ; e) P é externo à λ e f) P λ de novembro de 2018

7 Conteúdo: Geometria Analítica Atividade: Demonstração da área de um triângulo dada as coordenadas de seus vértices Aluno(s):... N o(s) :... Aluno(s):... N o(s) :... Pontuação:... Professor: Fábio Vinícius Turma:... Data:.../.../... Valor obtido:... [X] Para o lar [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais [X] Caderno [X] Folha [X] Livro [X] Internet [X] Calculadora [X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Área = (x b x c ) (y c y a ) 1 2 (x a x c ) (y c y a ) 1 2 (x b x a ) (y b y a ) 1 2 (x b x c ) (y c y b ) = 1 x b y c 3ª parcela 1 2 x b y b 1 x b y a 6ª parcela x b y a 6ª parcela 1 x c y c x a y b 1ª parcela +1 x c y a 1 2 x a y c 2ª parcela 5ª parcela 1 2 x a y a 1 2 x b y c 3ª parcela x a y a x c y c 1 2 x c y a 2ª parcela x b y b x c y c 1 2 x c y b 4ª parcela = 1 2 [x a y b + x c y a + x b y c x c y b x a y c x b y a ] = 1 2 [x a y b 1 + y a 1 x c + 1 x b y c 1 y b x c x a 1 y c y a x b 1] = 1 x a y a 1 2 x b y b 1 x c y c de novembro de 2018