forças em relação a um ponto P E 3 como sendo o vetor M P V 3 dado por: Considere o sistema formado pelas forças

Transcrição

1 Nesta prova considera-se fixada uma orientação do espaço e um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal positiva de V 3. A menos de menção explícita em contrário, equações de retas e planos e coordenadas de pontos estão escritas no sistema Σ e coordenadas de vetores estão escritas na base E. Q1. Em Mecânica, se F 1, F 2,..., F n V 3 são forças aplicadas, respectivamente, a pontos A 1, A 2,..., A n E 3, define-se o momento desse sistema de forças em relação a um ponto P E 3 como sendo o vetor M P V 3 dado por: M P = P A 1 F 1 + P A 2 F P A n F n. Considere o sistema formado pelas forças F 1 = (1, 0, 0) e F2 = (0, 1, 0) aplicadas, respectivamente, aos pontos A 1 = (0, 0, 0) e A 2 = (1, 0, 0) e seja M P o momento desse sistema de forças em relação a um ponto P E 3. (a) existe um ponto P E 3 tal que M P = 0; (b) o módulo do vetor M P é independente do ponto P E 3 ; (c) para qualquer ponto P E 3, o vetor M P é uma combinação linear de F 1 e F 2 ; (d) se P E 3 é um ponto que minimiza o módulo de M P, então M P não é uma combinação linear de F 1 e F 2 ; (e) se P E 3 é um ponto que minimiza o módulo de M P, então M P 0 e M P é uma combinação linear de F 1 e F 2. Q2. Seja r a reta que passa pela origem e é paralela ao vetor (1, 1, 0). Se P = (a, b, c) é um ponto do plano π : x y z = 0 tal que a distância de P à reta r seja igual a 1, então: (a) c 2 = 1; (b) c 2 = 1 3 ; (c) c 2 = 2; (d) c = 0; (e) c 2 = 2 3.

2 Q3. Considere os pontos P = (1, 0, 0), Q = (3, 0, 0) e a reta r : X = (2, 0, 0) + λ(1, 1, 1), λ R. Seja π um plano tal que d(p, π) = d(q, π) = 1, a reta r não intersecte π e o ponto ( 0, 2, 0 ) não pertença a π. Se a, b, c R são tais que uma equação geral para π é ax + by + cz + 2 = 0, então a + b c é igual a: (a) 1; (b) 2; (c) 2; (d) 1; (e) 3. Q4. Considere a reta r : x 1 = y 1 = z e os pontos A = (2, 1, 2) e B = (4, 3, 4). Seja C = (x 0, y 0, z 0 ) o ponto de r tal que os ângulos BÂC e A BC sejam congruentes. Temos que x 0 +y 0 +z 0 é igual a: (a) 27 7 ; (b) 17 7 ; (c) 7 9 ; (d) 16 7 ; (e) 6 7. Q5. Considere um tetraedro ABCD no espaço E 3 cujo volume seja igual a 16. Seja M o ponto médio do segmento CD e seja P o ponto do segmento BD tal que a distância de B a P seja igual ao triplo da distância de P a D. Temos que o volume do tetraedro ABP M é igual a: (a) 12; (b) 10; (c) 6; (d) 4; (e) 8.

3 Q6. Considere os vetores v = (1, 1, 0), w = ( 1, 1, 0), o plano π : X = (1, 0, 0) + λ v + µ w, λ, µ R e a base B = { v, w, v w} de V 3. Uma equação geral para o plano π no sistema de coordenadas (O, B) é: (a) z = 0; (b) x + y + z = 0; (c) x y z + 2 = 0; (d) x + y = 0; (e) x + y + z 1 = 0. Q7. Considere o plano π : x + y + z = 1 e seja P = (x 0, y 0, z 0 ) o ponto simétrico à origem O em relação ao plano π, isto é, o ponto P tal que o vetor OP seja ortogonal a π e o ponto médio do segmento OP esteja em π. Temos que x 0 + y 0 z 0 é igual a: (a) 2; (b) 2 3 ; (c) 1 3 ; (d) 2; (e) 3. Q8. Considere as seguintes afirmações: (I) para quaisquer v, w, z V 3 e quaisquer λ, µ R, vale que: [ v, λ v + w, z + µ w ] = [ v, w, z ]; (II) para quaisquer v, w, z V 3, vale que: ( v w) z = v ( w z ); (III) para quaisquer v, w, z V 3, vale que: [ v, w, z ] = v w z. (a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; (b) apenas a afirmação (III) é verdadeira; (c) apenas a afirmação (II) é verdadeira; (d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; (e) apenas a afirmação (I) é verdadeira.

4 Q9. Considere o plano π : x + y z + 1 = 0 e as retas concorrentes { x y = 0, r : x = y = z + 1 e s : z + 1 = 0. Se P é o ponto na interseção de r e s, então a distância de P ao plano π é igual a: (a) 3 3 ; (b) 2 3 ; (c) 1 6 ; (d) 1 3 ; (e) 2 6. Q10. Sejam v, w V 3 vetores não nulos e P e Q pontos do espaço E 3. Considere o sistema de equações { P X v = 0, QX w = 0 na incógnita X E 3 e as seguintes afirmações: (I) se P Q e v w = 0, então o sistema não tem solução; (II) se P = Q e v w = 0, então o sistema tem infinitas soluções; (III) se v w 0, então o sistema tem uma única solução. (a) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira; (b) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras; (c) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras; (d) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira; (e) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras.

5 Q11. Considere o ponto P = (2, 4, 8), o plano π : x + y + z + 2 = 0 e a reta r : X = P + λ(2, 1, 1), λ R. Se Q P é o ponto de r tal que d(p, π) = d(q, π), então a soma das coordenadas de Q é igual a: (a) 15; (b) 18; (c) 22; (d) 2; (e) 14. Q12. Considere as retas reversas { x z = 1, r : y 2z = 2 { x z = 2, e s : y + z = 1. Se P = (x 1, y 1, z 1 ) r e Q = (x 2, y 2, z 2 ) s são os pontos tais que a distância de P a Q seja mínima, então x 1 + x 2 é igual a: (a) 5 6 ; (b) 1 5 ; (c) 1 6 ; (d) 1 3 ; (e) 1 4. Q13. Seja m R e considere as retas: r : X = (1, 1, 1) + λ(1, m, 0), λ R, s : X = (1, 0, 2) + λ(2, m, 1), λ R. Temos que r e s são reversas se, e somente se: (a) m 1; (b) m = 1; (c) m 1; (d) m 2; (e) m 0.

6 Q14. Considere no espaço E 3 um cubo cujos vértices são A, B, C, D, E, F, G, H, em que ABCD, ADHE e ABF E são faces desse cubo, como ilustrado na figura abaixo: E H F G A D B C Sejam B e C as bases de V 3 dadas por: B = { } { } DA, DC, DH e C = DE, BD, DG. Se M BC é a matriz real 3 3 tal que M BC [ v ] C = [ v ] B, para todo v V 3, então o determinante de M BC é igual a: (a) 1; (b) 1; (c) 3; (d) 2; (e) 2. Q15. Considere as seguintes afirmações: (I) para quaisquer v, w, z V 3, se v e w são linearmente independentes, z v = 0 e z w = 0, então z = 0; (II) para quaisquer v, w V 3, vale que ( v + w) ( v w) = 2 w v; (III) para quaisquer v, w V 3, se v w = 0 e v w = 0, então v = 0 ou w = 0. (a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; (b) apenas a afirmação (III) é verdadeira; (c) apenas a afirmação (I) é verdadeira; (d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; (e) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

7 Q16. Seja π o plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e contém a reta r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 0), λ R. Se s é a reta dada pela interseção de π com o plano y = 0, então um vetor diretor para s é: (a) (1, 1, 0); (b) (0, 0, 1); (c) (1, 0, 0); (d) ( 1, 0, 1); (e) (1, 0, 1).