Q1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam π 1 e π 2 os planos dados pelas equações

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1 Q1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam π 1 e π 2 os planos dados pelas equações π 1 : x 2y + 3z = 1 e π 2 : x + z = 2 no sistema de coordenadas Σ. Seja r a reta dada pela interseção de π 1 e π 2 e seja s a reta que passa pelo ponto que tem coordenadas (1, 1, 1) no sistema Σ e é paralela ao vetor que tem coordenadas (1, 0, 1) na base E. A distância entre as retas r e s é igual a: (a) 1 6 ; (b) 1 6 ; (c) 1 2 ; (d) 1; (e) 1 2. Q2. Seja fixada uma orientação no espaço E 3. Considere as seguintes afirmações: (I) v ( w z ) = w ( z v ), para quaisquer v, w, z V 3 ; (II) v ( v w) = 0, para quaisquer v, w V 3 ; (III) (λ v ) w = λ( v w), para quaisquer v, w V 3 e qualquer λ R. (a) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras; (b) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; (c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; (d) apenas a afirmação (I) é verdadeira; (e) todas as afirmações são verdadeiras.

2 Q3. Sejam n um inteiro positivo e V um espaço vetorial de dimensão n. Considere as seguintes afirmações: (I) se um subconjunto B de V com n elementos gera V, então B é uma base de V ; (II) dados um inteiro positivo k menor ou igual a n e vetores dois a dois distintos v 1, v 2,..., v k V, vale que a dimensão do subespaço [v 1, v 2,..., v k ] é igual a k; (III) se A e B são subconjuntos linearmente independentes de V que geram o mesmo subespaço de V, então A e B têm o mesmo número de elementos. (a) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira; (b) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras; (c) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira; (d) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras; (e) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras. Q4. Sejam v, w V 3 vetores não nulos. Considere as seguintes afirmações: (I) proj v (λ w) = λ proj v w, para todo λ R; (II) proj λ v w = λ proj v w, para todo λ R não nulo; (III) proj v w = v se, e somente se, os vetores v e w são linearmente dependentes. (a) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras; (b) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira; (c) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras; (d) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras; (e) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras.

3 Q5. Considere a matriz ( ) 0 1 A = 1 0 e os subespaços de M 2 (R) definidos por: S 1 = { B M 2 (R) : AB = BA } e S 2 = { B M 2 (R) : AB = BA }. (a) dim(s 1 S 2 ) = 2 e dim(s 1 + S 2 ) = 3; (b) dim(s 1 S 2 ) = 1 e S 1 + S 2 = M 2 (R); (c) dim(s 1 S 2 ) = 1 e dim(s 1 + S 2 ) = 3; (d) S 1 S 2 = {0} e S 1 + S 2 = M 2 (R); (e) S 1 S 2 = {0} e dim(s 1 + S 2 ) = 3. Q6. Seja B = { e 1, e 2, e 3 } uma base de V 3. Assinale a alternativa em que a base C tenha a mesma orientação que B: (a) C = { e 2 e 1, e 3 e 2, e 3 }; (b) C = { e 3, e 2, e 1 }; (c) C = { e 1 + e 2, e 2 e 3, 2 e 3 }; (d) C = { e 2, e 3, e 1 }; (e) C = { e 3, e 1, e 2 }. Q7. Seja m R e considere o subconjunto { ( ) ( m A =, ), ( ) } 2 0 m 1 m 1 do espaço vetorial M 2 3 (R). Temos que A é linearmente independente se, e somente se: (a) m 2; (b) m 1; (c) m = 1; (d) m 0; (e) m = 2.

4 Q8. Seja a R e considere o subconjunto B = {1 + at + t 2, a t 2, a a 2 t, 1 at 2 } do espaço vetorial P 2 (R). Temos que B gera P 2 (R) se, e somente se: (a) a 1; (b) a 0 e a 1; (c) a {0, 1, 1}; (d) a 1 e a 1; (e) a 0 e a 1. Q9. Seja V o espaço vetorial das funções f : R R e considere os elementos de V definidos por f 1 (x) = sen(2x), f 2 (x) = x sen x, f 3 (x) = 1 + sen x cos x, f 4 (x) = sen 2 x, f 5 (x) = cos 2 x e f 6 (x) = cos(2x), para todo x R. A dimensão do subespaço de V gerado por é igual a: (a) 5; (b) 3; (c) 4; (d) 2; (e) 6. {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 }

5 Q10. Considere no espaço E 3 um cubo cujos vértices são A, B, C, D, E, F, G, H, em que ABCD, ADHE e ABF E são faces desse cubo, como ilustrado na figura abaixo: E H F G A D B C Seja M o ponto médio do segmento CG e considere a base de V 3 dada por: B = { } BH, CF, DM. A soma das coordenadas do vetor DF na base B é igual a: (a) 1; (b) 7 5 ; (c) 3 2 ; (d) 1 3 ; (e) 7 2. Q11. Seja A uma matriz real 5 5 tal que det(a) = 1 e denote por A t a sua transposta. Se B = 2A 7 A t, então det(b) é igual a: (a) 2; (b) 32; (c) 128; (d) 32; (e) 2.

6 Q12. Seja ABCD um tetraedro no espaço E 3 e considere os vetores: v = AB, w = AC e z = AD. Suponha o espaço E 3 orientado de modo que a base { v, w, z } seja positiva. Se o volume do tetraedro ABCD é igual a 3, então o produto misto é igual a: (a) 6; (b) 3; (c) 36; (d) 6; (e) 36. [ v + z, v 2 w, z ] Q13. Seja ABC um triângulo equilátero de lado unitário no espaço E 3 e considere uma base B = { e 1, e 2, e 3 } de V 3 em que e 1 = AB, e2 = AC e e 3 seja um vetor ortogonal a e 1 e a e 2 tal que e 3 = 2. Se v é o vetor com coordenadas (1, 1, 1) na base B e w é o vetor com coordenadas ( 1, 0, 1) na base B, então v w é igual a: (a) 1 2 ; (b) 5 2 ; (c) 0; (d) 1; (e) 1 2. Q14. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam r e s as retas dadas pelas equações r : x 1 = y = z 1 e s : x + 3 = y + 1 = z 2 2 no sistema de coordenadas Σ. Seja π o plano que passa pela origem O e que é paralelo às retas r e s. A distância do ponto que tem coordenadas (1, 1, 1) no sistema Σ ao plano π é igual a: (a) 1 5 ; (b) 1 5 ; (c) 1; (d) 1 11 ; (e) 1 11.

7 Q15. Seja m R e considere o sistema linear homogêneo em 5 incógnitas reais cuja matriz de coeficientes é: m m 2 m Seja S R 5 o conjunto solução desse sistema. (a) dim(s) = 2 se, e somente se, m = 1; (b) dim(s) = 3 se, e somente se, m = 1; (c) dim(s) = 3 se, e somente se, m = 0 ou m = 1; (d) dim(s) = 3 se, e somente se, m = 0; (e) dim(s) = 2 se, e somente se, m = 0 ou m = 1. Q16. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Seja π o plano que passa pelo ponto que tem coordenadas ( 1, 0, 1) no sistema Σ e que é normal ao vetor que tem coordenadas (1, 2, 1) na base E. Dado a R, temos que o ponto que tem coordenadas (a, 2, a) no sistema Σ pertence a π se, e somente se: (a) a = 2; (b) a = 0; (c) a = 1; (d) a = 1; (e) a = 2.