Questão Resposta 1 e 2 c 3 a 4 a 5 d 6 d 7 d 8 b 9 a 10 c 11 e 12 c 13 c 14 d 15 d 16 b

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1 Questão Resposta 1 e 2 c 3 a 4 a 5 d 6 d 7 d 8 b 9 a 10 c 11 e 12 c 13 c 14 d 15 d 16 b

2 MAT Álgebra Linear para Engenharia I Prova 1-10/04/2013 Nome: NUSP: Professor: Turma: INSTRUÇÕES (1) A prova tem início às 7:30 e duração de 2 horas. (2) Não é permitido deixar a sala sem entregar a prova. (3) Todo material não necessário à prova (mochilas, bolsas, calculadoras, agasalhos, bonés, celulares, livros, etc.) deve ficar na frente da sala. (4) Sobre a carteira devem permanecer apenas lápis, caneta, borracha e documento de identidade com foto. (5) É permitida a entrada na sala até as 8:00 e não é permitida a saída da sala antes das 8:40. (6) As respostas devem ser transferidas para a folha óptica durante as 2 horas de prova (não há tempo extra para o preenchimento da folha óptica). (7) Só destaque o gabarito do aluno (última folha) quando for entregar a prova. Não esqueça de anotar o tipo de prova no gabarito do aluno (para que você possa depois conferir suas respostas com o gabarito oficial). (8) A folha óptica deve ser preenchida com caneta esferográfica azul ou preta. (9) Para o correto preenchimento da folha óptica siga o exemplo abaixo.

3 Questão 1. Seja E uma base ortonormal de V 3. Considere os vetores u = (1, 0, 2) E e v = (1, 1, 1) E. Sabe-se que { a, b, c} é uma base ortogonal de V 3 tal que a e u têm mesma direção e tal que b é combinação linear de u e v. Se c = (x, y, z) E, então a. x + 2z = 0 e y + z = 0 b. x z = 0 e y z = 0 c. x + 2z = 0 e y = 0 d. y + 2x = 0 e x z = 0 e. x + 2z = 0 e y z = 0 Questão 2. Considere as afirmações abaixo acerca de três vetores distintos u, v, w V 3. (I) O conjunto { u + v, u 3 w, v + 3 w} é linearmente dependente. (II) Se u não é combinação linear de v e w, então v não é combinação linear de u e w. (III) Se w não é combinação linear de u e v, então { u, v, w} é linearmente independente. Está correto o que se afirma em a. (III), apenas. b. (I) e (II), apenas. c. (I), apenas. d. (I) e (III), apenas. e. (I), (II) e (III). 2

4 Questão 3. Sejam a, b 1, b 2, b 3, b 4 números reais. Então o sistema linear ax 1 + ax 2 + ax 3 + ax 4 = b 1 x 1 + ax 2 + ax 3 + ax 4 = b 2 x 1 + x 2 + ax 3 + ax 4 = b 3 x 1 + x 2 + x 3 + ax 4 = b 4 tem solução para qualquer escolha de b 1, b 2, b 3 e b 4 se, e somente se, a. a 2 = a b. a = 2 c. a = 0 d. a 2 = 2a e. a = 1 Questão 4. A soma dos elementos da primeira linha da inversa da matriz é a. 1/2 b. 0 c. 1 d. 1 e. 1/2 3

5 Questão 5. Sejam A, B, C os três vértices de um triângulo. Se u = 1 2CA + 1 3CB e X é o ponto da reta que passa por A e B tal que CX é paralelo a u, então a. CX = 3 2CA + CB b. CX = 1 3CA + 2 5CB c. CX = 3 5CA + 2 9CB d. CX = 3 5CA + 2 5CB e. CX = 3 7CA + 2 7CB Questão 6. Sejam u, v, w vetores unitários de V 3. Se a medida, em radianos, do ângulo entre quaisquer dois desses vetores é igual a π 3, então a projeção ortogonal de u + v w sobre u é a. 5 u b. 4 u c. 3 u d. u e. 2 u Questão 7. Sejam u, v V 3 e seja α R. Assinale a alternativa que contém uma afirmação FALSA. a. Se α v = 0, então α = 0 ou v = 0. b. Se u = 0, v = 0 e u v = 0, então u e v são linearmente independentes. c. Se u + v é ortogonal a u v, então u = v. d. u v = 0 se, e somente se, u = 0 ou v = 0. e. Se u e v são ortogonais e têm a mesma norma, então u + v = 2 u. 4

6 Questão 8. Sejam u, v, w V 3 vetores não nulos com { u, v} linearmente independente. Nessas condições, pode-se afirmar que a. se { u, v, w} é linearmente independente, então { u + v + w, u v, 2 u + w} é linearmente independente. b. se { u, v, w} é uma base ortogonal de V 3, então proj w ( u + v) = 0. c. se proj u v = 0, então proj u w = 0. d. se w é ortogonal a u e a v, então { u, v, w} pode não ser uma base de V 3. e. os vetores u + v e u v são ortogonais. Questão 9. Dado k R, a respeito do sistema linear x 2 x 3 + kx 4 = 2 x 1 + x 3 kx 4 = 3 kx 1 + 4x 2 + x 3 = 1 é correto afirmar que a. o sistema possui apenas uma variável livre, qualquer que seja k. b. se k = 5, então o sistema possui apenas duas variáveis livres. c. se k = 5, então o sistema é incompatível, d. se k = 5, então o sistema possui apenas duas variáveis livres. e. se k = 5, então o sistema é incompatível. 5

7 Questão 10. A segunda linha da matrix X que satisfaz é a. [ ] b. [ ] c. [ ] d. [ ] e. [ ] X = Questão 11. Sejam m e n inteiros positivos e sejam A M m,n (R) e B M m,1 (R). Considere o sistema linear AX = B e o sistema linear homogêneo associado AX = 0. Considere as afirmações abaixo. (I) Se AX = B não tem solução, então AX = 0 só tem a solução trivial. (II) Se AX = 0 tem infinitas soluções, então AX = B tem infinitas soluções. (III) Se m < n, ambos os sistemas têm infinitas soluções. Assinale a alternativa correta. a. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. b. Apenas a afirmação (I) é verdadeira. c. Todas as afirmações são verdadeiras. d. Apenas a afirmação (II) é verdadeira. e. Todas as afirmações são falsas. 6

8 Questão 12. O valor de k para que o sistema x + 2y 4z + 3w = 0 x + 3y 2z 2w = 0 x + 5y + (5 k)z 12w = 0 tenha exatamente duas variáveis livres é a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 6 Questão 13. Seja E uma base de V 3 e seja α R. Considere as seguintes afirmações a respeito dos vetores u = (α, 1, 1) E, v = (1, 0, α) E e w = (1, α, 1) E. (I) Se α = 1, então { u, v, w} é uma base de V 3. (II) O conjunto { u, v} é linearmente independente para todo α R. (III) O conjunto { u, w} é linearmente independente para todo α R. Está correto o que se afirma em a. (II), apenas. b. (I) e (III), apenas. c. (I) e (II), apenas. d. (I), (II) e (III). e. (III), apenas. 7

9 Questão 14. Seja E uma base de V 3 e considere os vetores v 1 = (1, 2, 0) E, v 2 = (0, 1, 1) E e v 3 = (2, 3, 1) E. Se α, β, γ R são tais que α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0 e γ = 0, então αβ 1 é igual a a. 2 b. 1/2 c. 1/2 d. 2 e. 1/4 Questão 15. Seja E uma base ortonormal de V 3. Considere o triângulo ABC tal que AB = (1, 2, 3) E e BC = (4, 0, 2) E. Então, a medida da altura relativa ao lado BC do triângulo ABC é igual a a. 10 b. 19 c. 5 d. 3 e

10 Questão 16. Considere o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H representado na figura abaixo. A B D C E F H Se X é o ponto da aresta BF tal que BX = 2 XF e Y é o ponto da aresta HG tal que YG = 4 HY, então as coordenadas do vetor XY com respeito à base { EA, EH, EF} de V 3 são ( a. 1 2, 1, 1 ) ( 4 b. 1 ) 3, 1, 4 ( 5 c. 1 3, 1, 1 ) ( 5) 1 d. 3, 1, 4 ( 5) 1 e. 2, 1, 3 4 G 9

11 Gabarito do Aluno Nome: NUSP: Tipo de prova: Questão a b c d e