Consequentemente, fica fácil determinar os outros casos. Logicamente:

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1 4.. Posição relativa entre ponto e círculo. A linha, que é o círculo, divide o plano cartesiano em duas partes, a interior e a exterior, assim um ponto tem chance de pertencer a três lugares: P interior de Q exterior de R O objetivo da Geometria Analítica é fazer as deduções sem o auxílio de gráficos ou representações, por isso vamos pensar numa maneira puramente algébrica de determinar a qual região o ponto pertence em relação ao círculo. Comecemos pelo caso mais fácil, por definição o ponto pertencente ao círculo: R d(r,c) r Consequentemente, fica fácil determinar os outros casos. Logicamente: P interior de d(p,c) r Q exterior de d(p,c) r Exemplo: 1. Determine a posição relativa entre os pontos A(,1), B(-3,1) e D(-1,4) em relação ao círculo : (x+1)²+(y-)²= Posição relativa entre reta e círculo. Em relação ao círculo uma reta pode não tocar no círculo, interseccionar em um ponto ou em dois. Por definição a reta t, veja figura ao lado, chama-se reta tangente ao círculo, já que possuem apenas um ponto em comum, D. Já a reta s, que corta o círculo em dois pontos, A e B, é chamada de reta secante. A reta que não corta o círculo, não tem nome específico, façamos referência a ela como reta exterior ao círculo. Para obtermos um dispositivo algébrico para decidir a posição relativa entre reta e círculo, ou seja, se a reta é tangente, secante ou exterior ao círculo poderíamos tentar achar as

2 intersecções dos dois objetos, assim como já fizemos com retas e planos. Agora o problema é que o sistema teria uma equação de º grau, a equação do círculo. (x a)² (y b)² r² y ax b Na verdade, para determinar a posição relativa de reta e círculo, não precisaríamos resolver o sistema, mas apenas saber o número de soluções do sistema. Para obter um dispositivo mais prático, analisaremos a situação da reta tangente Propriedade da reta tangente ao círculo. Se t é tangente ao círculo, o segmento que liga o centro C do círculo ao ponto de intersecção D é perpendicular à reta. Isso define que a medida deste segmento é a distância do ponto C à reta t. Por sua vez, este segmento, já que liga o centro a um ponto do círculo, é o raio do mesmo. Portanto, t é tangente a d(c,t) r do círculo. Consequentemente podemos analisar as retas secantes ou exteriores pelo ponto de vista das distâncias das mesmas até o centro C, s é secante a d(c,s) r e é exterior a d(c,e) r Exemplo: Considere o círculo Γ de equação: Γ : (x 1) + (y ) = 5 e as retas de equação a : x 15y = 0, b : x + y 4 = 0, s : 3x 4y 0 = 0 e h : 6x + 5y + 8 = 0. Determine a posição relativa entre as retas a, b, s e h em relação ao círculo.

3 4.4. Posição relativa entre dois círculos. 1. Esboce, no espaço abaixo, as posições possíveis entre dois círculos, apenas um esquema. Dica: São seis. (Desconsideramos círculos coincidentes).. O número de pontos em que os círculos se interseccionam serve de critério para sabermos a posição relativa entre os círculos? ( ) Sim ( ) Não Justifique sua resposta. Observação: Para determinar a posição relativa entre dois círculos teremos suas equações. Assim obteremos os centros de ambas, assim como a medida de seus raios. Serão essas as informações necessárias para determinar a posição relativa entre dois círculos. 3. Apenas com o centro dos círculos e seus raios é possível identificar alguma das posições relativas? Qual? Justifique sua resposta. Observe a manipulação dos círculos no GeoGebra e compare para cada posição relativa, a distância entre os centros dos círculos, a soma dos raios e a diferença dos raios em módulo: a) Círculos exteriores: i. d(c 1,C ) r 1 + r ii. d(c 1,C ) r 1 r a.1) Para termos dois círculos exteriores é necessário satisfazer às duas condições anteriores? a.) Conclusão: 1 e são exteriores d(c 1, C )

4 b) Círculos Tangentes exteriores: d(c 1,C ) r 1 + r d(c 1,C ) r 1 r b.1) Para termos dois círculos tangentes exteriores é necessário satisfazer às duas condições anteriores? b.) Conclusão: 1 e são tangentes exteriores d(c 1, C ) c) Círculos Tangentes interiores: d(c 1,C ) r 1 + r d(c 1,C ) r 1 r c.1) Para termos dois círculos tangentes interiores é necessário satisfazer às duas condições anteriores? c.) Conclusão: 1 e são tangentes interiores d(c 1, C ) d) Círculos interiores: d(c 1,C ) r 1 + r d(c 1,C ) r 1 r d.1) Para termos dois círculos interiores é necessário satisfazer às duas condições anteriores? d.) Conclusão: 1 e são interiores d(c 1, C ) e) Círculos Secantes: d(c 1,C ) r 1 + r d(c 1,C ) r 1 r e.1) Para termos dois círculos secantes é necessário satisfazer às duas condições anteriores? e.) Conclusão: 1 e são secantes d(c 1, C ) Exemplos: Determine a posição relativa entre os círculos abaixo: a : (x + ) + (y ) = 1 b : (x 1) + (y ) = 4 c: (x ) + (y ) = 1 d : (x 4) + (y 6) = 4 e : (x 8) + (y 5) = 9 f : (x 8) + (y 6) =,5 g : (x 4) + (y 6) = 1 Entre: (1) a e b () b e c (3) d e e (4) d e g (5) e e f (6) f e g

5 4.5. Exercícios. 1. Determine a posição relativa dos pontos A(1,1), B ( 3,9) e C(4,0) em relação ao círculo x + (y ) = 16.. Determine a posição relativa entre reta e círculo em cada caso: (a) r: x 3y = 0 e : (x+) + (y 1) = 1 (b) r: y = x + 1 e : x + y y 5 = 0. (c) r: x = 0 e : 4x + 4y 56x + 4y = 0. (d) r: 4x + 3y + 4 = 0 e : (x ) + (y 1) = Obtenha a equação da reta t, tangente ao círculo : x + y = 4 e paralela a s: x + y =. 4. Determine a equação do círculo inscrita no triângulo de vértices A(0,0), B(0,4) e C (4,0). 5. Qual a equação do círculo de centro em C (4,4) e é tangente à reta x + y 8 = 0?

6 6. Determine se o quadrilátero formado pelas intersecções das retas r: x + y =, s: x 3y = 10, t: x + y = 6 e u: x 3y = 6 é um quadrado; um retângulo; um losango; ou um somente um paralelogramo. Justifique. 7. Dentre os círculos descritos pelas equações abaixo, determine para cada par a que posição relativa entre círculos se refere: exteriores, tangentes exteriores, secantes, tangentes interiores, interiores e concêntricas. Justifique sua resposta analiticamente (sem o esboço dos gráficos). 1: (x 1) +(y 1) = 3: (x + 3) + (y 3) = : x y 4: x y 5: (x 3) + (y + 1) = 5 6: (x 4) + (y + 1) = 1 7: (x 1) + (y 1) = 16 (a) 1 e (b) e 5 (c) 5 e 6 (d) 3 e 4 (e) 1 e 7 (f) 1 e 5 8. Dada o círculo : x + y = 9, determine a equação de: (a) Um círculo de raio r = 4 que seja tangente exterior a ; (b) Um círculo de centro em (1,1) que seja interior a ; (c) Um círculo de centro em (4, 4) que seja tangente exterior a ; 9. Calcule a área comum aos círculos 1: x + y = 9 e : (x+3) +(y 3) = No projeto de um parque de diversão o engenheiro quer colocar duas rodas gigantes de tamanhos diferentes uma próxima a outra. Ele as representou no plano cartesiano como círculos de equação: 1 : (x ) + (y 4) = 5 e : (x 4,5) + (y 1,5) = 1,69. Há algum problema no projeto do parque quanto a essas rodas gigantes? Justifique sua resposta. 11. Obtenha as equações das retas tangentes a 1: (x + 5) + y = 16 e que passam pela origem do plano cartesiano. 1. Os círculos 1: x + y 16x 16y + 63 = 0 e : x + y 1 = 0 possuem pontos de intersecção? Justifique sua resposta de maneira mais econômica possível sem uso de gráficos. 13. Resolva o seguinte problema algebricamente, escolhendo uma posição no plano cartesiano conveniente, que facilite as coordenadas e as coordenadas dos pontos: Se uma corda AB é perpendicular a um diâmetro CD de um círculo o ponto M de intersecção entre a corda e o diâmetro é ponto médio da corda AB. 14. Um avião militar está aproximando-se de uma região inimiga. O radar mostra a aproximação perigosa de três aviões. Considere que o avião é centro do círculo : x² + y² - 6x -4y - 5 = 0, imagine o radar como o plano cartesiano ortogonal. O raio do círculo é a distância mínima necessária para os mísseis teleguiados serem capazes de atingir um alvo, em qualquer direção que estejam em relação a trajetória do avião. Os aviões inimigos estão localizados no radar como os pontos A(7,4), B(1, 1) e C (6, 1).

7 Qual avião apresenta maior perigo? Justifique sua resposta com base na posição relativa entre ponto e circunferência. 15. (Ufrgs) A equação x² + y² + 4x 6y + m = 0 representa um círculo se e somente se: (a) m > 0 (b) m < 0 (c) m > 13 (d) m > 13 (e) m < A bandeira da Turquia é composta de uma lua crescente e uma estrela num fundo vermelho. A lua crescente pode ser esboçada pela composição de dois círculos. A bandeira deve ser inserida no plano cartesiano ortogonal, fazendo com que a circunferência maior seja tangente ao eixo oy, que o círculo menor é tangente interno ao maior e que os centros dos círculos estejam no eixo ox, com abscissas positivas. Sabendo que o diâmetro do maior é 18 cm e o do menor é 14 cm, determine: (a) as equações dos dois círculos. (b) a área da "lua crescente". 17. Na figura ao lado, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro do círculo de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t passa por P, é tangente ao círculo e forma um ângulo com a reta s. Se PQ = R, então qual o COEFICIENTE ANGULAR da reta t? P s t 18. Determine a equação do círculo circunscrito ao triângulo ABC, em que A(1,4), B(4,1) e C(5,4). 19. Determine a equação do círculo inscrito ao triângulo ABC, em que A(,5), B(0,1) e C(10,0) Respostas da lista 4.0. Todas as justificativas a cargo dos responsáveis pelos exercícios no site da turma. 1. (a) C ( 5, ) e r = 4 (b) Não. (c) Não. (d) C (5, 3) e r = 6. (e) C (0, 3) e r = 5. (f) Não. (g) Não.. x + y x + 10y + 15 = (x 5) + (y 1) = y = 3(x ) secante 7. ( 6+ 10, 1), ( 6, )