O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

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1 Hewlett-Packard O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA Aulas 01 a 05

2 Sumário EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA... 3 Ponto interno a uma circunferência... 3 Ponto pertencente a uma circunferência... 3 Ponto externo a uma circunferência POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA... 4 Reta secante a uma circunferência... 4 Reta tangente a uma circunferência... 4 Reta externa a uma circunferência GABARITO

3 AULA 01 Obs.3: Para reescrever uma equação da forma geral para reduzida geralmente é utilizada a técnica de completar quadrados. Como completar quadrados? EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA Considere um plano cartesiano xoy, com O 0, 0. Uma circunferência contida nesse plano, de centro C x0, y0 e raio R, com R 0, tem sua equação perfeito: Visto isso, podemos completar quadrados adicionando o que falta na expressão, conforme ilustra o exemplo a seguir: reduzida na forma x x0 y y0 Para completar quadrados vamos relembrar inicialmente de como desenvolvemos um quadrado R Em que x, y representa um ponto qualquer desta circunferência. Obs.1: Um ponto pertence a uma circunferência se, e somente se, ele for uma das soluções de sua equação reduzida. Vamos completar quadrados na expressão. Comparando com o produto notável perceba que temos os dois primeiros termos da parte a direita se considerarmos que, assim o termo que está faltando, seria o. Adicionando e subtraindo este termo, para não alterar o valor da expressão, temos: 1.1. Verifique se os pontos A 3, e B 4, 5 pertencem a circunferência x 3 y de equação 16. Assim a expressão que não tinha um quadrado perfeito agora passou a ter. 1.. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C, 1 e raio 5. EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA A equação reduzida de uma circunferência pode ser reescrita na forma 1.3. Encontre, em cada caso, a equação geral e a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r. a) C 1, e r 1. b) C, 3 e r 4 x y x0 x y0 y x0 y0 R 0. Se substituirmos x0 por a, y0 por b e x 0 d) C, 1 e r y0 R por c, teremos a equação geral da circunferência, que será escrita como segue. x y ax by c 0 Obs.: Nem todas as equações da forma x y ax by c 0 representam equações de circunferência, para verificar é necessário reescrever a mesma na forma reduzida e verificar se existe a circunferência descrita pela equação. C 0, 0 e r Obtenha a equação reduzida da circunferência que tem um diâmetro com extremidades 1, 3 e 5, Determine o centro e o raio da circunferência de equação x y 4x 6 y A circunferência encontra-se no terceiro quadrante e, tendo raio 3, tangencia os eixos coordenados. Qual é sua equação reduzida? Página

4 1.7. É única a circunferência que passa pelos pontos, 5, 1, 6 e 3, 0? Qual é a sua equação reduzida? Ponto externo a uma circunferência Um ponto P x, y é externo a uma circunferência de centro C x0, y0 e raio R quando a distância 1.8. Dada a circunferência x 1 y 5 0, ache entre P e C é maior que R, ou seja, dpc R. o ponto diametralmente oposto a 1, 1. TAREFA 1 No capítulo Circunferência fazer as questões do Praticando em Sala de Aula (PSA) de 1 a 4, 6, 9, 10 e 11. AULA 0 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA Ponto interno a uma circunferência Um ponto P x, y é interno a uma circunferência de centro C x0, y0 e raio R quando a distância entre P e C é menor que R, ou seja, dpc R. Outro modo de determinar a posição relativa entre um ponto e uma circunferência Outro modo de verificar a posição relativa entre um ponto P e uma circunferência é substituir o ponto na equação da circunferência, aí teremos três possibilidades de resultado. Se o número obtido no lado esquerdo for menor que o obtido no lado direito, então P é interno à circunferência; Se o número obtido no lado esquerdo for igual ao obtido no lado direito, então P pertence à circunferência; Se o número obtido no lado esquerdo for maior que o obtido no lado direito, então P é externo à circunferência; Ponto pertencente a uma circunferência Um ponto P x, y pertence a uma circunferência de centro C x0, y0 e raio R quando a distância entre P e C é igual a R, ou seja, dpc R..1 Determine em cada item a seguir a posição relativa entre o ponto P e a circunferência. a) P, 3 e : x y 1 16 b) P 3, 5 e : x y 1 8 P, 1 e : x 1 y 18. Seja p um número real, determine os valores de p para os quais o ponto 3, p circunferência de seja interno à equação x y 4x y Página 3

5 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA Reta secante a uma circunferência Uma reta s é secante a uma circunferência de centro C x0, y0 e raio R quando a distância entre s e C é menor que R, ou seja, dc, s R. Obs.4: Neste caso a reta e a circunferência não terão pontos de intersecção. Outro modo de determinar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência Obs.4: Neste caso a reta e a circunferência terão dois pontos de intersecção. Reta tangente a uma circunferência Uma reta s é tangente a uma circunferência de centro C x0, y0 e raio R quando a distância entre s e C é igual a R, ou seja, dc, s R. Outro modo de verificar a posição relativa entre um reta r e uma circunferência é resolver o sistema linear determinado por suas equações. Se obtivermos duas soluções distintas, então a reta s é secante à circunferência; Se obtivermos duas soluções iguais, então a reta s é tangente à circunferência; Se não obtivermos solução real, então a reta s é externa à circunferência;.3 Determine a posição relativa entre a reta r e a circunferência em cada item a seguir. a) r : x 0 e :4x 4 y 5 ; b) r :x 3 y 3 0 e : x y 4x 8 y 7 0 ; r : x y 5 0 e : x y x y 16 0 ; d) r :x 4 y 1 0 e : x 5 y 16. Obs.4: Neste caso a reta e a circunferência terão exatamente um ponto de intersecção. Reta externa a uma circunferência Uma reta s é externa a uma circunferência de centro C x0, y0 e raio R quando a distância entre s e C é maior que R, ou seja, dc, s R..4 Discuta em função do parâmetro real k a posição relativa entre a circunferência : x y 4x 6 y 5 0 e a reta r : x y k 0..5 Determine a equação da reta tangente a circunferência de equação x y 1 5 e que passa pelo ponto dado em cada item a seguir. Página 4

6 a) P 5, 3 ; b) P 3, 4 TAREFA No capítulo Circunferência fazer as questões do Praticando em Sala de Aula (PSA) de 13 a 17, 0, 1, 5, 9, 31 e 33. GABARITO 1.1. A e B 1.. x a) x 1 1 e b) x x 3 16 e y 11 e x d) x 1 e 1.4. x 1.5. C, 3 e R x , y a) P interior a b) P exterior a P.. p 1 15 x a) secante b) secante exterior d) tangente k 5 3 r é secante a.4. k 5 3 r é exterior a k 5 3 r é tangente a a) y x 4 4 Página 5