Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço:

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1 Posições relativas As figuras planas e espaciais são formadas pela intersecção de retas e planos pertencentes ao espaço. Dentre as posições relativas, podemos destacar: Posição relativa entre duas retas Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço: Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum. Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum. Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano.

2 Retas concorrentes perpendiculares: são retas que possuem ponto em comum formando um ângulo de 90º. Retas reversas: estão presentes em planos distintos. Posição relativa entre reta e plano. Uma reta e um plano poderão ter as seguintes posições relativas: Reta paralela ao plano: considere uma reta t e um plano β, eles serão paralelos se não tiverem nenhum ponto em comum. Reta contida no plano: considerando uma reta t e um plano β. t está contido em β se todos os infinitos pontos de t pertencerem a β.

3 Retas e planos secantes ou concorrentes: a reta t será concorrente ao plano β se possuírem um ponto em comum. Posição entre dois planos Dois planos irão assumir no espaço as seguintes posições relativas entre si: Planos paralelos: dois planos são considerados paralelos se não possuírem pontos em comum ou se uma reta pertencente ao plano α (alfa) for paralela a uma reta pertencente ao plano β (beta). Planos secantes: dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles formar uma reta. Planos coincidentes: planos coincidentes equivalem a um mesmo plano, ou seja, todos os seus infinitos pontos e planos pertencem ao outro.

4 Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva Posição relativa entre ponto e circunferência A compreensão das posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência é feita através da comparação da distância entre o ponto e o centro da circunferência com o seu raio. Neste artigo veremos as possibilidades das posições relativas de uma reta, analisando esses elementos citados.

5 O ponto comparado à circunferência pode assumir três posições diferentes, pode ser: externo à circunferência, interno à circunferência ou pertencer à circunferência. Antes é preciso saber o que é uma circunferência, veja o desenho abaixo que distingue círculo de circunferência: Portanto, circunferência é o contorno de um círculo. E podemos dizer que no círculo e fora dele e na própria circunferência existem infinitos pontos. Ponto externo à circunferência

6 Podemos concluir que nesse caso o raio é menor que a distância do ponto A ao centro da circunferência. Então, como dca > R podemos escrever: (xa a)2 + (ya b) > R2 Ponto interno à circunferência Podemos concluir que nesse caso o raio é maior que a distância do ponto A ao centro da circunferência. Então, como dca < R podemos escrever: (xa a)2 + (ya b) < R2 Ponto pertence à circunferência Podemos concluir que nesse caso o raio é igual à distância do ponto A ao centro da circunferência. Então, como dca = R podemos escrever: (xa a)2 + (ya b) = R2 Exemplo: Verifique qual a posição dos pontos P(0,0); Q(1,-4);

7 R(-2,-5) em relação à circunferência de equação x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 Deve-se transformar essa equação normal em reduzida. x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 x2 + 2x + y2 + 8y = -13 (x2 + 2x + 1) + (y2 + 8y + 16) = (x + 1)2 + (y + 4)2 = 4 Agora, com essa equação reduzida da circunferência, iremos substituir cada ponto os termos de x e y. P(0,0) (0+ 1)2 + (0 + 4)2 = = = 4 17 > 4 Portanto, o ponto P é externo à circunferência Q(1,-4) (1+ 1)2 + ((-4) + 4)2 = = 4 4 = 4 Portanto, o ponto Q pertence à circunferência. R(-2,-5) ((-2)+ 1)2 + ((-5) + 4)2 = 4 (-1)2 + (-1)2 = = 4 2 < 4 Portanto, o ponto R é interno à circunferência.

8 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA Circunferência A circunferência está presente em nosso cotidiano, ela possui alguns elementos: raio, diâmetro, centro, arco, corda, comprimento e área. No cotidiano identificamos objetos e construções que lembram uma circunferência, um contorno ou regiões circulares. A circunferência possui propriedades e definições que precisam ser conhecidas na sua utilização. Ela possui alguns elementos como: raio, diâmetro, centro, arco, corda, comprimento e área. Raio (r): Distância entre o centro e a extremidade da circunferência; Diâmetro (D): corda que vai de uma extremidade a outra passando pelo centro; Corda: qualquer reta traçada de uma extremidade a outra; Ângulo central: ângulo que possui como vértice o centro da circunferência; Comprimento: medida linear da circunferência; Área: determina a superfície delimitada pela circunferência; Arco: parte da circunferência limitada por dois pontos.

9 Um importante número utilizado nos cálculos envolvendo a circunferência é o π (pi), que resulta da divisão entre o comprimento e o diâmetro da figura circular. O π é um número irracional e vale aproximadamente 3,14. Para calcularmos o comprimento e a área da circunferência utilizamos as respectivas fórmulas matemáticas: C = 2πr e A = πr². Exemplo 1 Determine o comprimento de uma praça circular que possui um raio de 10 metros. C = 2*π*r C = 2*3,14*10 C = 62,8 O comprimento da praça é de 62,8 metros. Exemplo 2 Calcule a área da superfície limitada por uma circunferência que possui um raio de 4 metros. A = π * r² A = 3,14 * 4² A = 3,14 * 16 A = 50,24 m² A área é de aproximadamente 50,24 m² Exemplo 3 Calcule a área em negrito da figura a seguir, sabendo que o raio da circunferência maior mede 10 cm e o raio da menor é 3

10 cm. Basta calcularmos a área da circunferência maior e subtrairmos da circunferência menor. Observe: Área total = πr² πr² Área total = 3,14 * 10² 3,14 * 3² Área total = 3,14 * 100 3,14 * 9 Área total = ,26 Área total = 285,74 m² A área da região demarcada equivale a 285,74 m². Por Marcos Noé CIRCUNFERÊNCIA Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência. A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas. Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo é menor ou igual que uma distância r dada. A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da

11 circunferência. A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas. Algumas definições Raio Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Arco é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco. Corda é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro. O diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio. Assim, para medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.

12 Tangente é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Secante é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contem uma corda. Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ. Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ. Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo. O Comprimento da circunferência Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu comprimento. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro. No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto

13 marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada. Círculo Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. É uma figura geométrica bastante comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, a mesa de refeição Agora pense, o que faríamos para: * riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda? * desenhar um círculo no seu caderno? * marcar o limite das escavações de um poço no chão? Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar. A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo. Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências. O compasso possui duas pernas, uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência, a outra ponta,

14 com a grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência. Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso. À distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência. Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz podem-se riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma corda e duas estacas. Equação reduzida da circunferência Uma circunferência é determinada quando conhecemos a posição do seu centro e o valor do seu raio. Imaginando no plano cartesiano uma circunferência de centro no ponto C = (a, b) e com raio R, vamos representar por P = (x, y) um ponto qualquer que pertence a essa circunferência. Que propriedade tem o ponto P? Se P pertence à circunferência, sua distância até o centro é igual ao raio. Como a distância do ponto C = (a, b) ao ponto P = (x, y) é igual a R, usando a fórmula da distância entre dois pontos temos: (x a)2 + (y b)2 = R Elevando ao quadrado os dois membros, a expressão obtida é a equação da circunferência de centro (a, b) e raio R.

15 Portanto, (x a)² + (y b)² = r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r². Exemplo: Seja uma circunferência cuja equação é: (x 2) ² + (y 3)² = 100 Verificar se a circunferência passa pela origem,quais as coordenadas do centro e quanto vale o raio: Pela expressão temos que: R = 10 e C(2,3) Fazendo x=0 e y=0, temos que: (-2) ² + (-3) ² = 13 Como 13 é diferente de 100, logo a circunferência não passa pela origem. Equação geral da circunferência Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

16 Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é: (x 2)² +(y + 3) ² = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos: Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência. Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições: * os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1; * não deve existir o termo xy. Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + y² 6x + 2y 6 = 0. Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim: * 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x² 6x + _ + y² + 2y + _ = 6 * 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes * 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

17 (x 3) ² + (y + 1) ² = 16 * 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio Posição de um ponto em relação a uma circunferência Em relação à circunferência de equação (x a) ² + (y b) ² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições: a) P é exterior à circunferência b) P pertence à circunferência

18 c) P é interior à circunferência Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x a) ² + (y b) ² r²: * se (m a) ² + (n b) ² r² > 0, então P é exterior à circunferência; * se (m a) ² + (n b) ² r² = 0, então P pertence à circunferência; * se (m a) ² + (n b) ² r² < 0, então P é interior à circunferência. Posição de uma reta em relação a uma circunferência Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência? de equação (x a) ² + (y b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e? :

19 Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência?: (x a) ² + ( y b ) ² = r², temos: Assim: Condições de tangência entre reta e circunferência Dados uma circunferência? e um ponto P(x, y) do plano, temos: a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P

20 b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P. Posições Relativas entre Ponto e Circunferência * Externo: d > r ; d r > 0 * Interno: d < r d r < 0

21 * Pertence à Circunferência: d = r d r = 0 Posições Relativas entre Reta e Circunferência * Tangente: A reta tem um só ponto A comum com a circunferência, e os outros pontos da reta são exteriores à circunferência. A tangente a um círculo, num ponto, é a perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto. d = r * Secante: A reta tem dois pontos distintos A e B comuns com a circunferência. d < r * Externo: A reta não tem ponto comum com a circunferência. Todos os pontos da reta são exteriores à circunferência d > r

22 Posições Relativas entre duas Circunferências Obs: (d = distância entre os Centros) 1 Não se interceptam: * Externamente: A duas circunferências não têm ponto em comum. d > r1 + r2 * Internamente: As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos de uma delas são interiores à outra. d < r1 r2 2 São Tangentes: * Externamente: As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de tangência. d = r1 + r2 * Internamente: As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da tangência.

23 d = r1 r2 3 São Secantes: As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum. São denominadas circunferências SECANTES. r1 r2 < d < r1 + r2 4 Caso particular: Concêntricas: As duas circunferências são interiores e os centros das duas são coincidentes. d = 0 Conclusão Nosso trabalho consiste em falar sobre circunferência. Nesta ação, conseguimos compreender o que é circunferência; é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Por: Daiane Fernandes Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência. />

24 Binômio de Newton O Binômio de Newton, evidentemente desenvolvido pelo célebre Isaac Newton, serve para calcularmos o valor de um número binomial do tipo (a + b)n. Quando o expoente n for 2, fica simples, apenas decorando o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Porém quando o expoente for um número maior, fica mais complicado, do que aplicar o método da distributiva ( chuveirinho ). A fórmula que Newton criou é a seguinte: O numero de termos da nova expressão será o expoente n + 1. Exemplo de utilização do binômio de Newton Para saber rapidamente quais são os valores dos números binomiais, basta pesquisarmos o Triângulo de Pascal: Então obtemos a expressão: x x Caso em uma questão de vestibular seja pedido a soma dos coeficientes numérico do desenvolvimento de um binômio, não é necessário fazer todo o desenvolvimento pelo binômio de newton, basta saber a seguinte dica: troque qualquer letra do binômio por 1 calcule o valor que ficará dentro dos parênteses, e pronto, basta elevá-lo à n. No desenvolvimento que mostramos anteriormente, a soma dos coeficientes é 81 ( ), agora utilizando a dica dada: (2x+1)4 ( )4 = 34 = 81