A x,y e B x,y, as coordenadas do ponto médio desse segmento serão dadas por:

Transcrição

1 . Plano Cartesiano: é formado por dois eixos perpendiculares, um horizontal (eixo das abscissas) e outro vertical (eixo das ordenadas), dividido em quatro quadrantes contados no sentido anti-horário como mostra a figura.. O Ponto: um ponto é representado por um par ordenado x,y que indica sua localização no plano cartesiano. O primeiro elemento do par ordenado está relacionado com o eixo das abscissas e o segundo elemento está relacionado com o eixo das ordenadas. 3. Distância entre dois pontos: distância d, entre dois pontos x,y e por:, d x x y y x y 4. Condição de alinhamento de três pontos: Será dado em aula. x,y é dada 5. Ponto Médio de um segmento: Dado um segmento de extremidades x,y e x,y, as coordenadas do ponto médio desse segmento serão dadas por: x x y y M,,.

2 6. Coordenadas do baricentro: Dado um triângulo C de vértices x,y, x,y e x x xc y y yc Cx C,y C, as coordenadas do baricentro serão dadas por: G C, Área de um POLÍGONO: Será dado em aula. 8. RET: as retas são representadas por equações do primeiro grau com duas incógnitas. Essas equações podem ser representadas na forma reduzida, geral ou segmentária dependendo da forma com que os termos estão arrumados. Equação reduzida da reta O ângulo é chamado de inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas no sentido antihorário, e a tangente desse ângulo é chamada de coeficiente angular m ( tg m). equação reduzida é: y mx n. Perceba que por esta representação o termo que multiplica x é o coeficiente angular da reta e o termo independente é o ponto em que o gráfico intersecta o eixo das ordenadas. Equação geral da reta: a equação geral da reta é encontrada passando todos os termos da equação reduzida para um só membro, ficando representado como ax by c 0. Equação segmentária: a equação será segmentária quando estiver na forma x y, em q n que q é o ponto em que a reta corta o eixo x (raiz da equação) e n o ponto em que a reta corta o eixo y. Coeficiente ngular da Reta Se forem conhecidos dois pontos de uma reta obtido por y y y. m x x x x,y e x,y, o coeficiente angular pode ser

3 Forma Ponto - Inclinação Se for conhecido o coeficiente angular m de uma reta e um ponto 0 0 a equação da reta pode ser obtida por: y y mx x. 0 0 P x,y pertencente a ela, 9. Posições relativas das retas: as retas são paralelas se seus coeficientes angulares forem iguais e os seus coeficientes forem distintos. Retas com coeficientes angulares iguais e coeficientes lineares, também, iguais são ditas coincidentes. Retas com coeficientes angulares distintos são ditas concorrentes. 0. Condição de perpendicularidade: duas retas r : mrx nr e s : msx ns são perpendiculares quando mr ms.. Interseção entre retas: a interseção de duas retas r : arx bry cr 0 e s : asx bsy cs 0 será a solução do sistema formado pelas duas equações, pois o ponto de interseção é comum às duas retas.. Ângulos agudos entre retas: a) nenhuma das retas é perpendicular ao eixo x: tangente do ângulo agudo θ formado entre duas retas r : mrx nr e s : msx ns é dado por tg m m m m r s. r s b) Uma das retas é perpendicular ao eixo x: tangente do ângulo agudo θ formado por uma reta s perpendicular ao eixo x e outra r de equação yr mrx n é dada por tg. m 3. Distância entre ponto e reta: dado um ponto P x,y e uma reta r : a x b y c 0, a dis- r r r tância d P,r entre o ponto P e a reta r é dada por: r d P,r P P axp byp c. a b 4. Distância entre duas retas paralelas: Dadas duas retas r : ax by cr 0 e s : ax by c 0, a distância d s r,s é dada por d r,s c r a c s b. 3

4 5. Circunferência: C x,y e raio R. equação que representa a circun- Considere uma circunferência de centro C C ferência dada é x x y y R C C, chamado de equação reduzida da circunferência. equação geral da circunferência é obtida desenvolvendo a equação reduzida ficando assim: x y x x y y x y R 0 C C C C 4

5 QUESTÕES DE GEOMETRI NLÍTIC DO PROCESSO SELETIVO D ESCOL DE FORMÇÃO DE OFICIIS D MRINH MERCNTE (EFOMM) 0. (EFOMM) s circunferências C e C de equações x x y y são tais que: ) C é tangente interior a C ) C e C são tangentes exteriores C) C e C são concêntricas D) C e C são secantes E) C é interior a C x x y y e x y ax by r a r a b 0. (EFOMM) Considere uma circunferência de equação e um ponto exterior (c,d). O comprimento das tangentes tiradas do ponto à circunferência é: ) a c b d r a c b d r ) C) a b c d r a b c d r D) E) r a b c d 03. (EFOMM) Sabendo-se que P r :x y 0 e Q s :3x 4 0 e R(3,0) é o ponto médio do segmento PQ, então, podemos afirmar que a distância entre os pontos P e Q vale: ) 7 ) C) 3 D) 37 E) (EFOMM) área do quadrilátero de vértices (0,), (,0), C(,4) e D(3,) é: ) / ) 3/ C) 5/4 D) 7/4 E) 9/4 5

6 05. (EFOMM) Determine o coeficiente angular da reta cujas equações são dadas por x t e y t, sendo t. ) ) / C) /5 D) / E) 06. (EFOMM) interseção da reta y + x = 0 com a circunferência x² + y² + x + y 3 = 0 determina uma corda cujo comprimento é: ) 7 ) C) 3 D) 5 E) (EFOMM) Dadas as seguintes retas u: y 0 e v : y 4x. ) t e u são paralelas ) r e v são paralelas C) t e v são perpendiculares D) r e s são perpendiculares E) s e v são perpendiculares x r : y 5; s :3x y 0 ; t: x5 0 ; (EFOMM) Uma equação que representa a reta da figura abaixo com inclinação é: ) y cos x sen k cos 0 ) y cos x cos k sen 0 C) y cos x sen k cos 0 D) y sen x cos k sen 0 E) y sen x cos k sen 0 6

7 09. (EFOMM) O ângulo agudo que a reta x y = 5 faz com o eixo Ox é: ) 75 ) 60 C) 45 D) 30 E) 5 0. (EFOMM) O centro da circunferência de equação cartesiana ponto de coordenadas: 8, ) ) 6,4 C) 8, D) 4, E) 6, é. (EFOMM) Uma embarcação destinada à pesca deparou-se com a situação de homem ao mar (DHM), iniciando rapidamente uma manobra de resgate, cuja trajetória é dada pela função x y 4x 6y 4 0. razão da área varrida e o comprimento da manobra é: ),0 ),5 C),0 D),5 E) 3,0. (EFOMM) Sabendo-se que duas circunferências secantes são ortogonais quando as respectivas retas tangentes nos seus pontos de interseção são perpendiculares, qual é a equação da circunferência centrada em (3,5) que é ortogonal à circunferência x y 6x 7 0? ) ) C) D) E) (EFOMM) Dois dos lados de um hexágono regular estão contidos nas retas definidas pelas equações 4x + 3y + 8 = 0 e 8x + 6y + 5 = 0, respectivamente. área desse hexágono é um número entre: ) 3 e 4 ) 4 e 5 C) 5 e 6 D) 6 e 7 E) 7 e 8 7

8 4. (EFOMM) Dada a equação x y 4x 0y 5 0, assinale a opção que apresenta a distância do centro da curva à origem do sistema de coordenadas. ) 5 ) 6 C) 8 D) 4 E) 9 5. (EFOMM) circunferência de equação x y 4 4 intercepta o eixo das abscissas em dois pontos e. Sabendo que o segmento é lado de um polígono regular convexo que possui centro coincidente com o centro da circunferência, calcule o perímetro desse polígono. ) 4 ) 6 C) 5 D) 6 E) 6 6. (EFOMM) Se é o menor ângulo formado pelas retas tangentes à circunferência 3 3 x y 9 nos pontos P, e Q, então o valor de, em radianos, é: ) ) 6 C) 4 D) 5 E) 7 8