3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0.

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1 Universidade Federal de Uerlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: Superfícies, Quádricas, Curvas e Coordenadas Professor Sato 4 a Lista de exercícios. Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera S : x + + x = 0.. Achar as equações das esferas definidas pelas seguintes condições: (a) O segmento que une A(6,, 5) e B( 4, 0, 7) é um diâmetro. () Seu centro é C(,, ) e passa pelo ponto P(, 4, ). (c) Seu centro é C(6,, 4) sendo tangente ao eixo dos x.. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4,, ) e tangente ao plano π : x + 7 = Achar a equação da superfície esférica que passa pelo ponto A (, 6, ) e é tangente ao plano π : 4x = 0 no ponto T (7,, 8). 5. Achar o centro e o raio do círculo interseção da esfera S : x + + 6x = 0 com o plano π : x + + = Achar a equação da esfera que contém os dois círculos λ : { x + = 5 = e λ : { x + = 6 =. 7. Determine o diâmetro da superfície esférica S : x x = 0 que é perpendicular ao plano x = Achar a equação da esfera tangente aos planos π : x 8 = 0 e π : x + 5 = 0 e que tem centro na reta r : x =, = Otenha as equações dos planos contendo a reta r : x = 0, + = 0 e tangentes à esfera S : x + + x + 4 = (a) Verifique se a reta r : x = = é tangente a superfície esférica S : (x ) + + ( ) = 8, se for o caso, determine o ponto de tangência. () Calcule a para que r : x = = a seja exterior a S : x + + x+ = 0.. Achar a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos dados F (0, 0, 4) e F (0, 0, 4) seja a constante 0.. Achar a equação do lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois pontos dados F (0, 5, 0) e F (0, 5, 0) seja a constante 6.

2 . Para cada uma das seguintes quádricas deduir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.em seguida, identificar e esoçar seus gráfico utiliando os seus traços nos planos coordenados e nos planos paralelos aos coordenados: (a) x x + = 5. () x x = 0. (c) 4x x = 0. (x ) (d) 6 (e) x + 4 = 0. (f) x + = =. (g) x =. (h) x + = 4. (i) x + 4 =. 4. Determinar as coordenadas do centro e discutir a naturea de cada uma das seguintes quádricas: (a) x + 4 8x = 0. () x 4 x 6 = 0. (c) 6 9x + 4 6x 64 4 = Discutir e representar graficamente as seguintes superfícies: (a) x + = 9. () = 4x.(c) = 4 x. 6. Identificar, esoçar e dier se é de revolução a quádrica de equação: a) x + = 0; ) x + = ; c) x 4 = 4; d) 9 = x ; e) x = 5; f) x + = ; g) x 4 = 0; h) x = + ; i) x = ; j) 4 = x ; k) 4x + 9 = Determinar a equação da superfície cilíndrica que tem como diretri a curva de equações reduidas C : = x, = 0 e cuja geratri é paralela à reta de equações reduidas r : x = +, =. 8. Achar a equação de um cilindro cuja diretri é dada pelas equações x = x, x++ = 0 e as geratries são perpendiculares ao plano da diretri. 9. Provar que a equação: x 44x 5x + 48x x + x + = 0 representa uma superfície cilíndrica, calculando os parâmetros diretores da geratri e a equação da diretri mais simples. 0. Otenha uma equação que descreva o conjunto Ω, reunião das retas paralelas ao vetor u = (,, ) que são tangentes à superfície esférica S : x + + = 0.. Achar a equação de um cone de vértice S(5, 0, 0) e cujas geratries são tangentes à esfera x + + = 9.. Otenha uma equação que descreva o conjunto Ω, reunião das retas que contém o ponto V = (4, 4, 0) e são tangentes à superfície esférica S : x + + x + = 0.

3 . Demonstrar que a equação = x define um cone de vértice situado na origem dos eixos. Faça um esoço. 4. Determinar a equação de um cone cujo vértice coincide com a origem das coordenadas e cuja diretri é dada pelas equações x + = 0, + = Demonstrar que o hiperolóide de uma folha x + = pode ser otido pela rotação a c da hipérole x =, = 0 em redor do eixo O, seguida de uma compressão uniforme a c do espaço em relação ao plano Ox. 6. Achar a equação de cada uma das superfícies resultantes da revolução das seguintes curvas em torno do eixo indicado. Designar o lugar geométrico. a) Γ : x =, = 0, em torno do eixo dos x. ) Γ : x = 4, = 0, em torno do eixo dos x. c) Γ : x = 0, = 0, em torno do eixo dos x. d) Γ : x + = a, = 0, a é constante, em torno do eixo dos. e) Γ : x + 4 = 6, = 0, em torno do eixo dos. 7. Seja H : x + = o hiperolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser a c escrita como ( x a + )( x c a ( = + c) )( ). e prove que: (a) para cada número real α, a solução do sistema { ( x + ( ) a c) = α + α ( x ) ( ) a c = descreve uma reta r α. () r α esta contida no hiperolóide, para todo α. (c) se P = (h, k, l) é um ponto de H e k, então P pertence a uma das retas r α. (d) H é uma superfície regrada. 8. (a) Sejam r α, s e s como no Exercício resolvido anterior. Mostre que nenhum ponto de s pertence a reunião das retas r α e que cada ponto de s, com exceção de (0,, 0), pertence a alguma delas. () Prove que o hiperolóide de uma folha H : x + = é uma superfície regrada, a c utiliando, no lugar das retas r α do Exercício resolvido anterior, as retas { ( x s + ) ( ) a c = β β β ( ) ( ) x = + a c (c) Prove que a quádrica H : x x + = 0 é uma superfície regrada. 9. Esoce e parametrie a curva C dada pela intersecção das superfícies aaixo e compreendida entre os pontos A e B indicados, nos seguintes casos: (a) x =, = 6 A = (0, 0, 0) e B = (,, 6) (Ver Figura (a)).

4 () = x, x + =, A = (0,, 0) e B = (0,, 0) (começando em A e terminando em B = A) (Ver Figura ()) x x (a) () Figura : Curvas dada pela interseção de superfícies x (a) () Figura : Curvas dada pela interseção de superfícies 0. A intersecção da esfera x + + = com o cilindro x +( ) = fornece a união de quatro curvas C, C, C e C 4, contidas nos 4 quadrantes do semi-espaço 0. Ache parametriações que descrevam cada uma dessas curvas. (Ver Figura (a)).. De uma parametriação para a curva representada pelas equações x = 0 x + 8 = 0 e situada no primeiro octante (Ver Figura ()).. Otenha, em cada caso, uma equação cartesiana e equações paramétricas para a superfície cilíndrica cuja diretri é a interseção das superfícies S e S e cujas geratries são paralelas à reta r. (a) S : x + =, S : x + = 0 e r : P = (,, ) + λ(,, ). () S : x x + = 0, S : = 0 e r : x + = =. (c) S : x =, S : x + = 0 e r : x = =. 4

5 . Otenha as equações cartesiana e paramétricas da superfície cônica de vértice V e diretri Γ = S S, nos seguintes casos: (a) V (0, 0, 0), S : x + = 0 e S : + = 0. () V (0, 0, ), S : x + x = 0 e S : = 0. (c) V (0, 0, 0), S : x = e S : =. 4. Otenha, em cada caso, uma equação cartesiana e as equações paramétricas da superfície gerada pela rotação da curva Γ = S S torno do eixo Ox. (a) S : = 0 e S : x + =. () S : = 0 e S : x + =. (c) S : = 0 e S : (x ) + ( ) =. 5. A que condições devem oedecer os números a, e c para que a superfície dada seja uma superfície de rotação em torno de algum eixo coordenados. Especifique o eixo de rotação (a) Elipsóide: x a + + c =. ()Hiperolóide de uma folha: x a + + c =. (c) Hiperolóide de duas folhas: - x a + (d) Paraolóide elíptico: = x a + c. c =. (e) Paraolóide hiperólico: x = + c. (f) Quádrica cilíndrica hiperólica: = x a c. (g) Quádrica cônica: x = c. 6. Localiar os pontos dados em coordenadas polares (a) (, 0 ). () (, 0 ). (c) (5, 70 ). (d) (, 0 ). (e) (, π ). 7. Determinar as distâncias compreendidas pelos pares de pontos seguintes: (a) (4, 45 ) e (8, 90 ). () ( 5, 0 ) e (4, 50 ). (c) (, 50 ) e (, 60 ). 8. Calcular a área de cada um dos triângulos, cujos vértices são os pares de pontos do exercício 6 e o pólo. 9. Escrever a equação polar da reta que passa pelo ponto (4, 0 ) e é perpendicular a OA. 40. Escrever a equação polar da reta que passa pelo ponto (, 0 ) e é paralela a OA. 4. Determinar a equação polar da reta que passa por (4, π ) e é perpendicular ao segmento que liga a origem a esse ponto. 4. Achar a equação polar da reta que passa pelo ponto (, 0 ) e forma um ângulo de π 4 rad com o eixo polar. 4. Achar a equação da circunferência: (a) com centro no pólo e raio 5. () com centro em (4, 0 ) e raio 5. (c) com centro em (, 0 ) e passa no pólo r = 6 cosθ. 44. Determinar o centro e o raio do círculo λ : r 4r cos ( θ π 4) = 0. 5

6 45. Em cada caso, apresente os intervalos de variação das coordenadas polares dos pontos situados na região hachurada. 46. Esoce as regiões nas quais a) 0 r e 0 θ π. ) 0 r e π θ π. c) r e π θ π. 47. Calcular as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos de coordenadas esféricas: (a) (0,, 60 ); () (0,, 45 ). 48. Calcular as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos de coordenadas cilíndricas: (a) (45,, ); () (0,, 4). 49. Calcular as coordenadas esféricas dos seguintes pontos de coordenadas cartesianas: (a) (, 4, 0); () (6,, ). 50. Calcular as coordenadas cilíndricas dos seguintes pontos de coordenadas cartesianas: (a) (, 4, 7); () (5,, 8). 5. Passar as seguintes equações de coordenadas esféricas para cartesianas: a) ρ = 7; ) ϕ = 45 ; c) ρ cosϕ = Passar as seguintes equações de coordenadas cilíndricas para cartesianas: a) θ = 45 ) ρ = cosθ c) ρ =. 5. Passar as seguintes equações cartesianas, respectivamente, para coordenadas esféricas e cilíndricas: a) x + = 9; ) x + 9x = 0; c) x + + 9x = 6. 6

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