A distância de C a P é o raio (r) dessa circunferência. Então, a equação reduzida da

Transcrição

1 Entende-se por circunferência o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo desse mesmo plano (P(x,y)), denominado centro da circunferência (C(x1,y1)): A distância de C a P é o raio (r) dessa circunferência. Então, a equação reduzida da circunferência cu c é dada por: Ex1: Vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4. Aplicando a equação geral da circunferência no ex1, temos como resposta:

2 Resolução do exemplo 1 através do Geogebra: 1. Define-se o ponto C(2,-3); 2. Seleciona-se a ferramenta Círculo dados centro e raio ; 3. Clica-se no centro (ponto C); 4. Digita-se o raio (neste exemplo, 4). O gráfico gerado será idêntico ao da figura abaixo:

3 Encontrar o centro e o raio à partir da equação reduzida da circunferência: Ex2: Dada a equação reduzida da circunferência: encontrar o seu centro e o raio. R: A determinação do centro da circunferência é obtido diretamente dos pontos a e b da equação reduzida. Assim: Já o raio, obtêm-se da raiz quadrada do valor do termo independente da equação reduzida. da Assim: Portando, o centro da circunferência é C(3,-1) e o seu raio é r = 4.

4 Resolução do exemplo 2 através do Geogebra: 1. Segue-se os mesmos passos do exemplo 1, obtendo-se o gráfico abaixo:

5 Determinando a posição de um ponto P em relação a uma circunferência: para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a) 2 +(y - b) 2 - r 2 : se ( m - a) 2 + ( n - b) 2 - r 2 > 0, então P é exterior à circunferência; se ( m - a) 2 +(n - b) 2 - r 2 = 0, então P pertence à circunferência; se ( m - a) 2 + (n- b) 2 - r 2 < 0, então P é interior à circunferência.

6 Ex3: Dados o centro da circunferência C(4.57,7.3), um ponto P(6.17,0.8), encontre o raio e a equação dessa circunferência, determinando que o ponto P pertença a essa circunferência. Plote o gráfico através dos pontos, encontre, por dedução da fórmula, o raio e, depois, demonstre como encontrar matematicamente esse mesmo raio. R: 1. Digita-se os pontos C e P; 2. Como é dito, no enunciado dessa questão, que o ponto P pertence à circunferência, utilizamos a ferramenta Círculo definido pelo centro e um de seus pontos ; 3. Clica-se no ponto C e, posteriormente no P; 4. O círculo é formado, bem como a equação da reta também; 5. Como o raio é a raiz quadrada d do termo independente d da equação da reta, r = 6.694; 6. Para encontrarmos graficamente o raio, basta digitarmos, na linha de comando: r = segmento[c, P], o que dará (com arredondamento de 3 casas decimais). Calculando o raio, baseado nos pontos C e P: Aplicando-se a equação reduzida da circunferência:, e tendose C(a,b) e P(x,y), então: r = (6,17 4,57) + (0,8 7,3) => r 2 = 44,81 => 44,81 = 6,694

7 Ex3 Gráfico e resultados gerados pelo Geogebra:

8 Cálculo do comprimento (perímetro) de uma circunferência A fórmula do comprimento da circunferência é dada por: C=2 π r Cálculo da área da circunferência A fórmula da área da circunferência é dada por: S = π r 2 Ex4: Baseado no exercício 3, encontre o perímetro e a área da circunferência. R: Como r = 6, unidades: 1. O perímetro de sua circunferência é: C=2 π 6,694 => C = 42,06 unidades 2. A área da circunferência é: S = π (6,694) 2 => S =140,774 unidades 3. Aproveitando o gráfico do exercício 3, para encontrarmos o comprimento da circunferência, no Geogebra, utilizamos a ferramenta Distância, comprimento ou perímetro e clicamos no círculo. 4. A área pode ser obtida através da escolha da ferramenta Área e clicando-se, posteriormente, no círculo. O gráfico atualizado da circunferência ficará, portanto, igual ao visto ao lado:

9 1 Baseado nos pontos dos itens, de A a G, da questão 1 do exercício 6, encontre a equação da circunferência, o raio, o perímetro e a área, onde o primeiro par de pontos representa o ponto C (centro) e o segundo par, um ponto pertencente à Cirucunferência (P) de cada um dos pares de pontos. Após plote, através do Geogebra, a circunferência de cada um dos itens. OBS: só serão consideradas válidas as respostas que apresentarem os cálculos das equações das circunferências e os gráficos. 2 Para cada uma das equações das circunferências e do pares de três pontos abaixo: A) c1 = (x - 8)² + (y - 6)² = 9 Pontos: P1c1(8.24,8.99), P2c1(5.76, 6.59), P3c1(3.24,4.7) B) c2 = (x + 5)² + (y + 4)² = 16 Pontos: P1c2(-6.16, -9.08), P2,c2(-7.64, -5.57), P3,c2(-4.88,0) C) c3 = (x + 6)² + (y - 6)² = 4 Pontos: P1c3(-5.75, 5.11), P2c3(-5.4,4.09), P3c3(-5.21,3.09) D) c4 =(x - 9)² + (y + 5)² = 36 Pontos: P1c4(3.03,-5.61), P2c4(8.32,2.55), 2 P3c4(11.9,-2.97) 97) Calcule: I As coordenadas do Centro das circunferências II O raio III O perímetro IV A área V Categorize os três pares de pontos de cada item como sendo exteriores, pertencentes ou interiores à cada circunferência. Justifique sua resposta, baseado nos conceitos VI Plote, separadamente, os gráficos correspondentes, com os valores encontrados, matematicamente. OBS: Só serão válidas as questões que apresentarem os cálculos solicitados e os gráficos correspondentes.

10 UNIDADE II O Plano FIM