n. 17 ESTUDO DA RETA: equações Uma direção e um ponto determinam uma reta Dois pontos determinam uma reta

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1 n. 17 ESTUDO DA RETA: equações Uma direção e um ponto determinam uma reta Dois pontos determinam uma reta Equação geral de uma reta Para determinar a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. A equação geral é da forma: ax + by + c = 0 Aplicando a regra de Sarrus para obter o discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, temos que ter no mínimo pares ordenados (x, y) dos possíveis pontos alinhados. Exemplo: Sejam os pontos A = (1, ) e B = (3, 8) obtenha a equação da reta. x y 1 = x 1 y 1 1 = 0 = 1 1 = 0 x y 1 x y = ( 8) x (1 3) y + (8 6) 1 = 0 6 x + y + = 0 3 x + y + 1 = 0 3 x y = 1 x 3x y = 1 y - 3(-)-y = (-1)-y = (0)-y = (1)-y = 1 3()-y = 1 5

2 Exercícios: 1. Determine a equação geral das retas que passam pelos pontos: a. A = (- 1, ) e B (-, 5) b. A = (5, -1 ) e B ( 3, 4) Resoluções: a. A = (- 1, ) e B (-, 5) R: 3 x y 1 = 0 x y 1 = x 1 y 1 1 = 0 = 1 1 = 0 x y 1 x y ( 5)x ( 1 + )y + ( 5 + 4)1 = 0 3x y 1 = 0 3x + y + 1 = 0 3x + y = 1

3 b. A = (5, -1 ) e B ( 3, 4) R: 5 x + y 3 = 0 x y 1 = x 1 y 1 1 = 0 = = 0 x y 1 x y ( 1 4)x (5 3)y + (0 + 3)1 = 0 5x y + 3 = 0 5x + y 3 = 0

4 Equação da reta na forma vetorial: Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo v. Para que um ponto P do espaço pertença à reta r é necessário e suficiente que os vetores AP e v sejam colineares. Obs.: para que dois vetores sejam colineares, eles devem ter a mesma direção. Para verificar se os pontos são colineares, o determinante da matriz deve ser igual à zero: = 0. Monte a matriz com as coordenadas dos pontos e calcule o determinante. AP = t v ou P A = t v v é quem dá a direção da reta P = A + t v ou (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t (a, b, c) As duas equações acima são denominadas equações vetoriais da reta, sendo P (x, y, z), A (x1, y1, z1) e v = (a, b, c). Exemplo: 1. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto A (3, 0, -5) e tem a direção do vetor v = i + j k AP = t v AP = P A = (x 3, y 0, z + 5)

5 v = (,, 1) x 3 y 0 z + 5 = x 3 y = 0 (x 3) y + [(z + 5) ] [ (z + 5) ] [ ( x 3) -1] [y ()] = 0 x 6 y + z + 10 z 10 + x 3 y = 0 3 x 3 y 9 = 0 x y = 3 ou: AP = t v AP = P A = (x 3, y 0, z + 5) v = (,, 1) (x 3, y 0, z + 5) = t (,, 1) Logo, x 3 x 3 = t { y = t z + 5 = t = y = z x 3 = z+5 x+3 10 x + 3 = z + 10 z = z = x 7 1 (1) E, y = z+5 1 y = z + 10 y = z 10 ()

6 Portanto, de (1) em (): y = ( x 7 ) 10 y = x x y = 3 Como t pode variar de + a, para encontrarmos um ponto da reta fazemos: P = A + t v Se t =, por exemplo: (x, y, z) = (3, 0, -5) + (,, -1) (x, y, z) = (3, 0, -5) + (4, 4, -) (x, y, z) = (7, 4, -7) Logo, P (7, 4, -7) é um ponto da reta r.

7 Equação paramétrica da reta: A partir da equação (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c) temos: (x, y, z) = (x1 + a t, y1 + b t, z1 + c t) ou ainda: x = x 1 + a t y = y 1 + b t (a, b, c) é o vetor diretor (x1, y1, z1) é o ponto { z = z 1 + c t Essas são as equações paramétricas da reta: x = x 1 + a t y = y 1 + b t { z = z 1 + c t A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas equações paramétricas quando t varia de a +. Exemplo: Determine as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A (3, -1, ) e é paralela ao vetor v = (-3, -, 1). { x = 3 3t y = 1 t z = + t Para se obter um ponto da reta basta atribuir um valor qualquer para t, por exemplo, para t = 3: x = - 6 y = - 7 z = 5

8 Logo, (- 6, - 7, 5 ) é um ponto da reta. Reta definida por dois pontos: A reta definida pelos pontos A (x1, y1, z1) e B (x, y, z) é a reta que passa pelo ponto A (ou pelo ponto B) e tem direção do vetor v : v = AB = B A = (x x1, y y1, z z1) Exemplo: 1. A reta r é determinada pelos pontos A (1, -, - 3) e B (3, 1, - 4), escreva as equações paramétricas dessa reta. Primeiro temos que achar a direção do vetor: v = AB = B A = (, 3, - 1) Logo, as equações paramétricas que passam ponto A são: x = 1 + t y = + 3t { z = 3 1t Analogamente, as equações paramétricas que passam ponto B são: x = 3 + t y = 1 + 3t { z = 4 1t

9 Equações simétricas da reta: Das equações paramétricas e supondo (a, b, c) 0, temos: x = x 1 + a t t = x x 1 a y = y 1 + b t t = y y 1 b (a, b, c) é o vetor diretor (x1, y1, z1) é o ponto { z = z 1 + c t t = z z 1 c Logo, x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c Essas são as equações simétricas ou normais de uma reta que passam por um ponto A (x 1, y 1, z 1 ) e tem a direção do v = (a, b, c). Exemplo 1: Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (3, 0, - 5) e tem a direção do vetor v = i + j - k x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c x 3 = y = z Exemplo : Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (, 1, - 3) e B (4, 0, - ) Primeiro temos que saber a direção do vetor v : v = AB = B A = (, -1, 1) Equações simétricas da reta que passa pelo ponto A:

10 x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c x = y 1 1 = z Equações simétricas da reta que passa pelo ponto B: x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c x 4 = y = z Exercício: Ache as equações na forma vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, 0). Primeiro temos que achar a direção do vetor: v = AB = B A = (0, 1, 0) (1, 0, 1) = (-1, 1, - 1) Equação vetorial: (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t (a, b, c) (x, y, z) = (1, 0, 1 ) + t ( 1, 1, 1) Equações paramétricas: x = x 1 + a t x = 1 + ( 1) t x = 1 t y = y 1 + b t y = 0 + (1) t y = t { z = z 1 + c t { z = 1 + ( 1) t { z = 1 t Equações simétricas: x 1 1 = y 1 = z 1 1 Equação geral:

11 x 1 1 = z 1 1 1(x 1) = 1(z 1) x + 1 = z + 1 z = x y 1 = z 1 1 y = z 1 z = y + 1 Logo, x = y + 1 x + y 1 = 0 Condição de colinearidade de três pontos: Para que três pontos A1 (x1, y1, z1), A (x, y, z) e A3 (x3, y3, z3) estejam em linha reta a condição é que os vetores A 1 e A 1 3 sejam colineares, isto é: A 1 = m A 1 3 para algum m Є R

12 Logo, x x 1 x 3 x 1 = y y 1 y 3 y 1 = z z 1 z 3 z 1 Calculando de outra maneira: Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se pertencem a uma mesma reta. Se os pontos A, B e C estão alinhados, então o triângulo ABC não existe, e podemos pois considerar que sua área é nula (S = 0). Fazendo S = 0 na fórmula de área do triângulo, concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante seja nulo, ou seja: = 0 Exercício: Verifique se os pontos A1 (5,, - 6 ), A (- 1, - 4, - 3 ) e A3 (7, 4, - 7 ) são colineares. x x 1 x 3 x 1 = y y 1 y 3 y 1 = z z 1 z 3 z = 4 4 = = 6 = = 3 = 3 Logo, os pontos estão em linha reta, portanto, são colineares.

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14 Equação da reta na forma reduzida: As equações simétricas da reta: x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c podem ter outra forma, isolando-se y e z e expressando-as em função de x. y y 1 b = x x 1 a z z 1 c = x x 1 a y y 1 = b a (x x 1) z z 1 = c a (x x 1) y y 1 = b a x b a x 1 z z 1 = c a x c a x 1 y = b a x b a x 1 + y 1 z = c a x c a x 1 + z 1 Fazendo: b = m e b x a a 1 + y 1 = n Temos: y = m x + n Fazendo: c = p e c x a a 1 + z 1 = q Temos: z = p x + q Estas são as equações reduzidas da reta. Retomada das equações da reta: Equação geral de uma reta A equação geral é da forma: ax + by + c = 0 Aplicando a regra de Sarrus para obter o discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, temos que ter no mínimo pares ordenados (x, y) dos possíveis pontos alinhados.

15 Exemplo: Dado um ponto e o vetor diretor da reta. AP = t v AP = P A = (x x 1, y y 1, z z 1 ) v = (a, b, c) x x 1 y y 1 z z 1 a b c Vetorial: P = A + t v (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t (a, b, c) x = x 1 + a t Paramétricas: y = y 1 + b t { z = z 1 + c t Simétricas: x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c Reduzidas: 1º achar as equações simétricas, depois deixar y em função de x e z, ou, de acordo com a variável independente indicada. Colinearidade entre três pontos: A 1 = m A 1 3

16 x 1 y 1 z 1 m = x x 1 = y y 1 = z z 1 ou = 0 x y z = 0 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 x 3 y 3 z 3 Exercícios: 1. Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A (, 1, - 3) e B ( 4, 0, - ). R: x = z + 8 y = - z -. Achar as equações reduzidas da reta r: variável independente x) R: y = 3 x x = y 3 3 = z + 3 e z = x + (com x = 3 + t 3. Determine o ponto da reta r:{ y = 1 + t que tenha ordenada 5 e z = 4 t o mesmo vetor diretor. R: P(7, 5, 0) e v (1, 1, 1) 4. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A ( -, 3, - ) e tem a direção do vetor v = 3 i + k 5. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A (0, 3, - ) e tem a direção do vetor v = i Resoluções 1. Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A (, 1, - 3) e B ( 4, 0, - ). AB = B A = ( 4, 0, - ) - (, 1, - 3) = (, - 1, 1) Logo, o vetor diretor é: (, - 1, 1)

17 Simétricas que passam pelo ponto A: x = y 1 1 = z Reduzidas com variável livre z: x = (z + 3) y 1 = - 1 ( z + 3) x = z y = - z x = z + 8 y = - z - R: x = z + 8 e y = - z - Equação geral: x = z + 8 z = x 8 y = z z = y Logo, x 8 = y x 8 = ( y ) x + y = 4

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19 . Achar as equações reduzidas da reta r: variável independente x) x = y 3 3 = z (com x = y 3 = z 3 x = y 3 3 x = z 3x = (y 3) 3x = y 6 y = 3x+6 x = ( z ) x = z 4 z = x+4 R: y = 3 x + 3 e z = x + x = 3 + t 3. Determine o ponto da reta r:{ y = 1 + t z = 4 t o mesmo vetor diretor. que tenha ordenada 5 e

20 Lembrando que: abscissa = x, ordenada = y, cota = z x = 3 + t Paramétricas: { 5 = 1 + t z = 4 t logo, t = 4. Assim, x = = 7 e z = 4 4 = 0 R: P (7, 5, 0) e v (1, 1, 1) 4. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A ( -, 3, - ) e tem a direção do vetor v = 3 i + k Podem ser as simétricas, reduzidas ou as paramétricas. Vetor diretor: v = (3, 0, ) Ponto A (-, 3, - ) Vetorial: (x, y, z) = ( -, 3, -) + t (3, 0, ) x = + 3 t Paramétricas: { y = 3 z = + t Simétricas: x+ 3 = z+ e y = 3 Como b = 0 essa reta se encontra num plano paralelo a xoz Equação geral: AP = t v AP = P A = (x, y, z) (, 3, ) = (x +, y 3, z + )

21 v = (3, 0, ) x + y 3 z + = 3 0 = (0 ). (x + ) (3 )(y 3) + (3 0)(z + ) = 0 ( )(x + ) 1(y 3) + 3(z + ) = 0 x 4 y z + 6 = 0 x y + 3z + 5 = 0

22 5. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A (0, 3, - ) e tem a direção do vetor v = i Podem ser as simétricas, reduzidas ou as paramétricas. Vetor diretor: (, 0, 0) Ponto A (0, 3, - ) x = t Paramétricas: { y = 3 z = v = (, 0, 0) (x, y, z) = ( 0, 3, -) + t (, 0, 0) x = t { y = 3 z = y = 3 z = - Como b = 0 e c = 0 essa reta se encontra num plano paralelo a Ox

23 Referências Bibliográficas

24 BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 010. VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.