Resposta de alguns exercícios pares do Simmons - Capítulo 1

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Cíntia de Paiva Borja
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1 Seção 2 Ex. 2a x < 0 ou x > 1. Ex. 2b. -1 < x < 0 ou 0 < x < 1. Ex. 2c. -2 < x < 1. Ex. 2d. x -1 ou x 2. Ex. 2e. x = 0 ou x 1. Ex. 2f. x = -1/2 ou x -1. Ex. 2g. x < -7 ou x > 3. Ex. 2h. -3/2 < x < 1. Ex. 2i. x -1 ou x ½. Ex. 2j. -3 < x < ½. Ex. 2k. x < -1. Ex. 2l. Para todo x, - < x <. Ex. 4a. x > 0. Ex. 4b. -2 < x < 0 ou x > 2. Ex. 4c. x < -1 ou x > 3. Ex. 4d. x < -1 ou 0 < x < 1 ou x > 3. Ex. 6. Dica: escreva as desigualdades na forma de produto ao invés de quociente. Por exemplo, a hipótese é equivalente a a.d < b.c. Some a.b (ou c.d) a ambos os lados para obter a prova. Ex. 8. Dica: a prova de que a < b pode ser feita por absurdo. Considere que a b e veja que isto contradiz a hipótese de que 0 < a < b. Ex. 10. Dica: use o fato que ( a b) 2 0. Seção 3 Ex. 2 Dica/Plano: mostre que d(a, B) + d(b,c) = d(a, C), sendo A, B=(2,2) e C os pontos dados. Observe que se os pontos não estivessem na mesma reta, então formariam um triângulo e a igualdade acima não seria válida (devido a desigualdade triangular). Ex. 4 Dica/Plano: mostre que a distância entre quaisquer dois pares de pontos dados são iguais. Ex. 6 Pontos (2,2) e (10, 10). Ex. 8 Dica: desenhe um diagrama. Ex. 10.a - Observação inicial: os vértices do paralelogramo não são independentes; as coordenadas de 3 vértices determinam as coordenadas do quarto vértice. Plano: calcule os pontos médio das diagonais do paralelogramo e verifique que eles são iguais. Ex. 10c Plano: calcule o ponto médio da hipotenusa e depois calcule as distâncias dele a cada um dos vértices. Ex. 12 Resolva um problema mais geral: dados os pontos A e B, foi determinado um ponto P no segmento AB tal que a d(p,a) = t.d(a,b), onde t é um parâmetro fixo. Dica: construa um diagrama com os pontos A, B e P e use semelhança de triângulos para obter as coordenadas de P. Seção 4 Ex. 2a Não colineares. 2b Colineares. Pertencem a reta 2y = x c - Colineares. Pertencem a reta 6y = 11x 26. 2d Não colineares Ex. 4a. y = - (2/7)x + 1/7. 4b. Y = (8/3)x + 5/3. 4c. Y = (1/6) x + 2/3 Ex. 8. Mediatriz é a reta y = - 3x + 4. Ex. 10a. Ponto (1,0). 10b. Ponto (1,2). 10c. Retas paralelas, não tem intersecção. Ex. 12a. k = 3. 12b. K = 2. 12c. k = 1 ou k = 6. Ex. 14. Veja observação inicial do exercício 10.a da Seção 1.3. Elabore um roteiro/plano.

2 Seção 5 Ex. 2. Notação x^2 = x 2. Elabore um plano/roteiro para resolver cada exercício antes de efetuar os cálculos. 2a. (x 2)^2 + (y 3)^2 = 34. 2b. (x 1)^2 + (y + 3)^2 = 41. 2c. (x 4)^2 + (y 5)^2 = 25. 2d. (x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 49. 2e. (x + 2)^2 + (y 3)^2 = 16. 2f. (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4. 2g. (x 1)^2 + (y 3 )^2 = 5. Ex. 4. Dedução da fórmula para as raízes da equação do segundo grau completando o quadrado em x. Observe que x 2 + (b/a)x = (x + b/2a) 2 (b/2a) 2. Ex. 6a. (4 ± 3 3, 0). 6b. (0, 3 ± 2 5). 6c. (-2, 3) e (4, -3). Dica para o esboço: a circunferência tem Centro em (4, 3) e raio 6 (este resultado podem ser obtidos completando os quadrados em x e em y). Ex. 8a. Eixo da Parábola = eixo x; Vértice (0,0); Foco (3,0) e a Diretriz é a reta x = -3. 8c. Eixo da Parábola = eixo y; Vértice (0,0); Foco (0, - 5/8) e a Diretriz é a reta y = 5/8. 8i. Eixo da Parábola // eixo x; Vértice (-2, -4); Foco (2, -4) e a Diretriz é a reta x = -6. 8j. Eixo da Parábola // eixo y; Vértice (-1, 4); Foco (-1, 23/4) e a Diretriz é a reta y = 9/4. Ex. 10. Em todos os itens, o eixo da parábola é paralelo ao eixo y. Assim, a diretriz é uma reta horizontal (y = cte) e a primeira coordenada do Foco é igual a primeira coordenada do Vértice. 10a.Vértice (0,1); Distância focal = ¼; Foco (0, 5/4) e a Diretriz é a reta y = 3/4. 10b. Vértice (1, 0); Distância focal = ¼; Foco (1, ¼) e a Diretriz é a reta y = - ¼. 10c. Vértice (1, 1); Distância focal = ¼; Foco (1, 5/4 ) e a Diretriz é a reta y = 3/4. 10d. Vértice (½, - ¼ ); Distância focal = ¼; Foco (½, 0) e a Diretriz é a reta y = - ½. Ex. 12. Represente a reta por y = mx + k e a parábola por y = (1/4p) x 2. Determine k em função de m e p. Utilize o fato de que o ponto de tangência é um ponto de intersecção da reta tangente e da parábola e também o fato de que esta intersecção é única. Seção 6 Ex. 2. f(1) = 2, f(3) = 8, f(5) = 32, f(0) = 1, f(-2) = ¼. Ex. 4. dom f = R {8}; dom g = R; h(x) = f(x 3 ) = 1/(x 3 8); dom h = R {-2, 2}. Ex. 8. Dica: observe inicialmente que f ( f (x)) = a.f ( x) + b f (x) a = a. ( ax+b x a ) + b ( ax+b x a ) a e simplifique esta expressão para obter f(f(x)) = x (faça os cálculos com cuidado). Ex. 12. f(x 1. x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ). Ex. 14. g(x) = x/a - b/a.

3 Seção 7 Para quase todos os exercícios desta seção, desenhe um diagrama para auxiliar na compreensão, defina novas variáveis (que não constam do enunciado do problema) conforme necessário e estude a relação entre as variáveis. Ex. 2. y = - x ± (3 x 2 ). Dica: complete o quadrado em y e resolva para y em função de x. Ex. 4. Desenhe um diagrama e determine altura em função da base. A(x) = (¼).x. (16 x 2 ). Ex. 6. Desenhe um diagrama e estude a relação entre os lados do retângulo. A(x) = x. (4a 2 x 2 ). Ex. 8.a Sim, é função. A(C) = C 2 /4π, sendo C o perímetro e A a área do círculo. 8.b Sim, é função. A(p) = p 2 /16, sendo p o perímetro e A a área do quadrado. 8.c Não, não é função. Para um mesmo perímetro é possível construir dois triângulos com áreas diferentes. Por exemplo, o triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 tem perímetro p=12 e Área A=6. Agora, o triângulo isocéles de base 5 e lados iguais 7/2 também tem perímetro p=12 mas tem Área A= (5/2) Ex. 10. Relação entre r e h: h 2 = 4a 2 4r 2. V(r) = 2π r 2 (a 2 r 2 ); A(r) = 2π r 2 + 4π r (a 2 r 2 ). Ex. 12. A(r) = 2π r 2 + 2V/r. Observe que V = π r 2 h estabelece uma relação entre r e h. Ex. 14.a Desenhe um diagrama. Se a base é x a altura deve ser 50 x (perímetro = 100). Assim, A(x) = (50 x).x. Complete o quadrado para obter a expressão A(x) = 625 (x 25) 2. A área máxima é obtida quando o termo (x 25) 2 for mínimo, ou seja, x = 25. Portanto, o galinheiro deve ter o formato de um quadrado e a área máxima é A(25) = b Desenhe um diagrama. A(x) = 100x 2 x 2 = (x 25) 2. A maior área é obtida quando x = 25, e neste caso, a área máxima é A(25) = O lado paralelo à parede é y = 50. Observe que 2x + y = 100 que é o comprimento da cerca disponível.

4 Seção 8 Exercício 2 a, b, c Seção 8 Exercício 2 d, e, f Seção 8 Exercício 2 g, h, i Seção 8 Exercício 2 j, k, l

5 Seção 8 Exercício 4 a, b, c

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