Matemática 2 Módulo 9

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1 Matemática Módulo 9 GEOMETRIA ANALÍTICA VI COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Se duas circunferências são concêntricas, então os seus centros são coincidentes. Temos a circunferência λ : x + y 4x y + = 0. Completando o quadrados, temos: x 4x y y + = (x ) + (y ) = Assim temos: C (, ) e r = Seja λ a circunferência concêntrica a λ e de raio r =. Assim, pela equação (x x 0 ) + (y y 0 ) = r, em que (x 0 ; y 0 ) é o centro e r o raio, temos: C = C = (; ); r = (x ) + (y ) = x 4x y y + = 0 x + y 4x y 0 = 0. Lembrando... Sabemos que a área de um círculo é dada pela relação A = πr, em que r é o raio. 4. Lembrando... Se duas retas r e s são paralelas, então m s = m r. A equação de uma reta pode ser dada pela expressão y y 0 = m(x x 0 ), em que (x 0 ; y 0 ) é um ponto dado e m é o coeficiente angular. I. Da equação λ: x + y 8x 6y + 4 = 0, temos: x + y 4x 8y + = 0 x 4x +4 +y 8y +6 = = (x ) + (y 4) = 8; C( ; 4) e r = 8 r = II. Considere a reta r: 8x + y = 0 r: 4x + y = 0, A mr = = 4. Como r // s, então ms = 4 B III. A reta s passa pelo ponto (; 4) e tem coeficiente angular m s = 4. Assim, (y y 0 ) = m(x x 0 ) y 4 = 4(x ) y 4 = 4x 8 y = 4x 4 4 x y = ( ). Lembrando... Se A, B e C são pontos colineares, então Det(m) = 0. I. λ: x + y + 4x 6y = 0 x + 4x y 6y + 9 = (x + ) + (y ) = ; C( ; ) e r = II. Temos os pontos O(0; 0), B(P; ) e C(; ). Como são colineares, então: I. Seja a circunferência λ: x + y 8x + 6y + = 0. Descobrindo o valor do raio, temos: x 8x y + 6y + 9 = ( ) ( ) ( ) x 4 + y+ = ; C 4; e r = r = II. A = πr A = π ( ) A = π Resposta correta: A. Considere a circunferência abaixo: Det(m) = 0 P = 0 Resposta correta: + + P = COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. Temos a equação λ: x + y + 4x + 0y + 8 = 0. Assim: x + 4x +4 +y + 0y + = (x + ) + (y + ) = ; C( ; ) e r = Localizando no plano temos: Como C é o centro da circunferência, temos que C é ponto médio de AB. Assim: xc = = yc = = 0 C(; 0) 0 A distância de C ao A ou ao B é o raio, então: B,C ( ) ( ) d = = + d = r = Sendo r = e C(; 0), então a equação é: (x ) + (y 0) = 4 (x ) + y = 4 B,C Resposta correta: E PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA

2 . Sabemos que k + > 0, pois não pode ser negativo e nem zero, pois é a medida do raio, então k > k <. Como queremos o maior inteiro, temos k =. Assim temos: (x + 4) + (y ) = 6 x + 8x y 6y = 0 x + y + 8x 6y + 9 = 0 Resposta correta: E. Se P(; k) é o centro da circunferência de raio r =, então (x ) + (y k) = ( ) (x ) + (y k) =. Como o ponto Q (; ), pertence à circunferência, temos: x y ( ) + ( k) = + 4 4k + k = k 4k + = 0 Para a equação temos k' = + e k'' =. Como k >, então k = +. Se k = +, então ( + ) 6 = = = 4 4. Dada a equação λ: x + y 4x 6y = 0, temos: x 4x +4 + y 6y +9 = (x ) + (y ) = 6; C(; ); r = 6 r = 4 Observando a figura temos que CF = r, assim: CF =. 4 = 8 Resposta correta: E x =.cosa. Do sistema, temos: y = a + sena x =.cosa x = 4.cos a + y 9 sena = ( y 9) = 4sen a x + y 9 = 4 sen a+ cos a ( ) ( ) ( ) ( ) x + y 9 = 4; C 0;9 ;r = 4 r = 6. Da equação x + y + 4x 6y + k = 0, podemos completar quadrados, veja: x + 4x +4 + y 6y +9 = k (x + ) + (y ) = k +, assim C( ; ) e r = k + 46 r = k+. 7. I. Como o centro da circunferência está na reta x =, então as coordenadas do centro são C(; 6). II. Assim ficamos com a equação (x ) + (y b) = r. Como a circunferência passa pelos pontos A(0; ) e B(; 4), temos: III. Para A(0; ), temos (0 ) + ( b) = r b = r b IV Para B(; 4), temos ( ) + (4 b) = r 7. 8b = r b V. Igualando (III) e (IV), temos b = 7 8b b = VI. Fazendo b = e substituindo em (III) ou (IV), temos () = r () = r 4 r = VII. Como C(; b) = (; ) e r =, temos a equação: (x ) + (y ) = Resposta correta: (x ) + (y ) = 8. Lembrando. A equação do º grau Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0, só representará uma circunferência se: A = B 0 C = 0 D + E 4AF > 0 Observando a equação: mx + y + nxy + 4x + 6y + k = 0, temos: A B C D E F I. A = B 0 m= II. C = 0 n = 0 n= 0 III. D + E 4AF > k > 0 4k > k < Resposta correta: m = ; n = 0; k < 9. I. A = B 0 a = II. C = 0 b = 0 III. Se a = e b = 0, temos a equação: x + y + 6x + 8y + c = 0 x + 6x +9 + y + 8y +6 = C (x + ) + (y + 4) = C+ IV. Como r = 6 r = 6, assim C + = 6 C = + C = V. Assim a + b + c = + 0 = 0 Resposta correta: 0 r PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA

3 0. Observe a figura: * ** d = d = 6. d d = 8 d = 6 8 d c = c = c c = c = 6 c D ; 6 C( ; 4) e r = s, temos (x + ) + (y 4) = x + 6x +9 + y 8y +6 = x + y + 6x 8y = 0. Considere o triângulo abaixo: Resposta correta: 8 ;4 e ;6 Módulo 0 GEOMETRIA ANALÍTICA VII COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Como a corda está sobre a reta x + y 7 = 0, então os extremos dessa corda são as interseções da reta com a circunferência. Observe a figura: da,c = ( 0 ) + ( y) da,c = + ( y) da,b = ( 7 ) + ( 4 ) da,b = da,b = 40 db,c = ( 0 7) + ( y 4) db,c = 49+ ( y 4) Como (d B, C ) = (d A, B ) + (d A, C ), então: ( 49 (y 4) ) ( 40 ) ( ( y) ) + = y 8y + 6 = y + y 8y + 6 = 4y + 4 4y = 0 y = Como C(0; y) e y =, então C( 0; ) Resposta correta: (0; ). O segmento AB abaixo foi dividido em três partes iguais, assim AC = CD = CB. Veja: λ: x + y = 0 x+ y = 7 Resolvendo o sistema, temos: x + y = x = 7 y (7 y) + y = y 7y + = 0 Para y = 4 x = ; A(; 4). Para y = x = 4; B(4; ). ( ) ( ) d = = A,B Resposta correta: A y = 4 y = AC xc xa yc ya P = = = = CB xb xc yb yc P a 8 * = a = 6 a a = 6 a ** b = b 4 = 8 b b = 4 8 b AD y y x x P = = = DB y y x x P D A D A B D B D = 8 C ; 4. A equação x + y 4 representa um círculo de centro (0, 0) e raio. Enquanto a equação (x ) + y representa os pontos pertencentes e externos a uma circunferência de centro (,0) e raio. Representando no plano cartesiano: A = πr πr A = π. - π. A = π Resposta correta: π PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA

4 . A bissetriz dos quadrantes pares é y = x, para encontrar o centro, que é o ponto de interseção das duas retas, resolveremos o sistema formado por suas equações: y = x x y 6 = 0 x ( x) 6 = 0 x 6 = 0 x = y = COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. Tomemos a primeira desigualdade x + y 9. Representando no plano cartesiano: Temos a segunda desigualdade: y x O centro da circunferência é (, ) e o raio é, portanto sua equação é: (x ) + (y + ) = x 4x y + 4y + 4 = 4 x + y 4x + 4y + 4 = 0 4. Como y = x, então x + y = 6 fica x + x = 6 x = 6 x = 8 x = ± + x y 9 Para resolvermos o sistema, temos que y x pegar a interseção das figuras, o que representa um semi-círculo. Para x = y = e x = y = (; ) ( ; ). Encontrando o centro e o raio da circunferência. x + y + 8x + 4y + 49 = 0 x + 8x + y + 4y + 49 = 0 (x + 8x + 6)(y + 7) = (x + 4) + (y + 7) = 6 Centro ( 4, 7) e R = 4 Calculando a distância entre P(4, 7) e o centro ( 4, 7). d = ( 4 4) + ( 7 7) d= d= 60 Como d > R, então o ponto é exterior à circunferência. Resposta correta: A. Lembrando πr π. 9π A = = = Para que um ponto P(x, y) seja externo a uma circunferência (λ) de raio "R" e centro "C" temos: d P, C > R º Modo Identificar o raio λ: x 4x y y + = m λ: (x ) + (y ) = m + Da equação temos C(; ) e R = m + R = m+ m + > 0 m > m < C, P C, P d = (4 ) + ( ) d = 8 4 PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA

5 d C, P > R 8 > m+, como já consideramos m + > 0, então ( 8) > ( m+ ) 8 > m+ m> º Modo Como A(4; ), então f(4; ) > 0. Assim: (4) + () 4 (4) () + m > 0 m > Pela condição D + E 4AF > 0 e sendo D = 4, E =, A = e F = m, temos: ( 4) + ( ) 4()(m) > 0 0 4m > 0 4m < 0 m < Como m > ou m <, então: {m R / < m < } Resposta correta: {m R / < m < }. Da equação λ: x + y x 4y + = 0 λ:x x+ + y 4y + 4 = + (x ) + (y ) = 4 Observe a figura:. Como o ponto P(a; b) é o ponto da interseção das circunferências, então podemos: I) (a ) + b = 8 a a + + b = 8 a + b a = 7 II) (a ) + (b ) = a 4a b b + = a + b 4a b = Fazendo (I) e (II), temos: + a a + b b a = 7 + 4a b = a + b = 0 ( ) a+ b = 6. Da equação da circunferência λ: x + y 4x 6 = 0, temos: λ: x + y x 8 = 0 λ: x x + + y = 8 + λ: (x ) + y = 9, assim C(; 0) e R = () + (0) d c,r : d c,r =. dc,r = + 7. Observe a figura: * d C, r = () 4() + C + C = = + C = 0 + (4) + C = 0 C = 0 C = C = 0 C = Considerando C = e C =, temos as equações r: x 4y + = 0 e s: x 4y = 0 4. Da equação λ : (x 6) + (y ) = 9, temos C (6; ) e R =. Temos C (6; ) e O(; ) os centros das circunferências C,O C,O d = (6 ) + (+ ) = 6+ 9 d = Sabemos que existem duas hipóteses para a tangência de circunferências: Tangentes exteriormentes: dc,o= r + r' = + r' r' = Assim temos a circunfêrencia λ' = (x ) + (y + ) = 4 Tangentes interiormentes: d = r r" = r" C,O r" = r" = r" = (F) r" = r" = 8 Assim ficarmos com a equação λ": (x ) + (y + ) = 64 Resposta correta: λ': (x ) + (y + ) = 4 λ": (x ) + (y + ) = 64 Temos a equação λ: x + y 6x + 0y + 9 = 0 x 6x y + 0y + = (x ) + (y + ) = C(; ) R = Temos que a reta "s" passa por dois pontos "A" e "C". Assim: s: x + y = 0 A ms = ms = B Pela figura temos r s, então m r. m s =. Assim, se m s =, então mr =. PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA

6 A reta "r" passa pelo ponto A(; ) e tem coeficiente angular m r =. Assim pela relação y y o = m(x x o ), temos: r: y ( ) = (x ) r: y + = x x y 8 = 0 8. r: x y = 0 y = x λ: x + y + x 7y =, como y = x, então: x + (x ) + x 7(x ) = 0 x + 4x 4x + + x 4x + 7 = 0 x x + 6 = 0 Δ = b 4ac Δ = ( ) 4()(6) Δ = 69 0 = x' = = x' = x" = = = x" =. 0 Para x = y =. () y = ; (; ) 6 Para x = y =. y = = ; ; Observe a figura: tgθ = + tgθ = 9 6 tgθ= tg θ=, assim θ= 60 A 0. r: x y = 0; mr = = mr = B Como r s, temos ms = A reta "s" passa pelo ponto M(; ) e tem m s =, então y = (x ) y = x + x + y = ( ) x y x y + = s: + =. Como s: x + y =, então p q 9 p = e q =, assim p+ q = + = o. Temos que "r" passa pelo ponto P(; 0) e Q( ; ). Assim: A, B da, B = + d d 7 4 = = d = A, B A, B 7. 7 da, B = d A, B = r: x + y + = 0 ( ) r: x + y + = 0 A mr = = B Observe o plano cartesiano abaixo: A + 9. r: y x = r: x + y = 0 mr = = mr = B s: y + ( )x = s: ( )x+ y = 0 A + ms = = ms = + B mr ms tgθ= tgθ= + + m.m + ( ).(+ ) r s (+ ) tgθ = tg θ =. (+ ) 6 PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA

7 * Como r s, então, m r. m s = m s = * "s" passa (; ) e tem m s =, então s: y y o = m s (x x o ) s: y = (x ) s: x + y = 0 Considere o ponto "P" como o ponto de encontro das x+ y = retas "r" e "s", ;x = ey =. x + y = Considere o ponto R o ponto simétrico de N em relação à r. Assim P é ponto médio de NR. Assim: xn + xr + a xp = = a = R(; 0) yn + yr + b yp = = b = 0 PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA 7