Processo Seletivo Estendido 2016 LISTA FUNÇÕES - 2

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1 Processo Seletivo Estendido 06 LISTA FUNÇÕES - Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR Esta lista foi inicialmente elaborada pelo professor Alexandre Trovon UFPR) A presente versão possui também algumas alterações feitas pelo professor Lucas Pedroso UFPR) Nesta lista de exercícios há problemas algébricos e também de modelagem matemática Em ambas situações o objetivo é recordar e aprofundar o que foi visto no ensino médio a respeito de funções Alguns tópicos mais diretamente relacionados ao assunto serão também trabalhados Quando julgar necessário, utilize uma calculadora, um computador, ou mesmo uma planilha, para fazer estimativas que deem a você uma ideia numérica Matemática é algo que também se aprende junto com outras pessoas Por isso, discuta em grupo, pesquise e debata suas ideias com os colegas Mais importante que conseguir resolver uma questão é pensar e reetir sobre ela Observe como fazemos para completar os quadrados das funções px) = x +x+0 e qx) = x x px) = x + x + 0 px) = x x px) = x + x px) = x ) x + ) ) px) = x + ) + 9 px) = x x + px) = x ) Utilize essa idéia para completar os quadrados das funções: a) px) = x + 5x + b) px) = x + x + c) pt) = t 5t + d) pt) = t t e) px) = x + x f) px) = x + x g) px) = x + x + 0 i) px) = x + bx + c h) px) = 6x + 6x j) px) = ax + ax + b k) px) = πx x) l) px) = x x + ) Resolva as seguintes equações completando os quadrados: a) x + 6x = 0 b) xx ) = 6x 5 c) y 5y = 0 d) 6u + 7u = 0 e) x x + 9 = 0 f) z z = 0 g) pp ) = 5 h) x ) + x 5 = 0 i) x ) + x + ) = 0 j) 5y 5y + 9 = 0

2 Deduza a fórmula para a solução da equação quadrática ax + bx + c = 0 Use a fórmula para a solução da equação quadrática para resolver as seguintes equações: a) 5x + 6x = 0 b) x = 8x + 5 c) xx ) = x 6 d) 6x 7x + = 0 e) x = x ) + f) x 6x = 0 g) 00y = 0y + h) x + bx c = 0 i) x 6ax + a = 0 j) πu + π )u π = 0 k) xx + ) = x + ) l) x = 5x ) 5 Resolva a expressão x 5x + 5) x 9x+0 = 6 Em cada item, encontre o conjunto S das soluções reais da equação ou inequação dada a) x 5x b) x + 5x + = c) x + 5x + = d) x x e) x 5 x + 6 = 0 f) x + x + 5 > g) x 5x + 6 = 0 h) x x + = i) x 6 = x 7 Determine os valores de K para os quais as equações terão raízes reais e iguais a) 5x x 5 + K) = 0 b) K + )x + x + K + ) = 0 c) x + Kx ) = 0 d) K + )x + 5Kx = 0 e) x x + K) + 7 = 0 f) K )x + x + K + ) = 0 8 Fatore as seguintes expressões quadráticas a) x x e x + x b) πx + π e 7x + 5x c) x + x e πx π d) x 9 e x 9 e) x e x g) x x + e x x + f) x e x π h) x + x + e x + x 6 i) x 6x e x x 0 j) x 5x e 8x + x k) x 5bx b e x x l) x x + e x 6 x 9 Prove as relações de Girard para equações do segundo grau: se ax + bx + c = 0 possui raízes x e x, então x + x = b a e x x = c a 0 Mostre que uma equação do segundo grau que tem x e x como raízes é a equação x Sx+P = 0, onde S = x + x e P = x x Obtenha uma equação do segundo grau que possua as raízes: a) e b) e c) 0, e 5 d) e e) + e Resolva as inequações, expressando a solução em forma de intervalo quando possível)

3 a) x + x + < 0 b) x ) > 0 c) x x + > 0 e x x + < 0 d) x > 0 e) x + x + 9 > f) x > 0 g) x + > 0 e x + < 0 h) x < 5 i) x < j) x x) < k) x < x + l) x x + < m) x x > x n) x x + < x + x Obtenha um número δ > 0, tal que se x < δ então x < 0 Nos itens a seguir, determine para quais valores de x o trinômio é maior que zero, e para quais valores de x é menor que zero através da fatoração do trinômio completar quadrados) e expresse a resposta na notação de intervalo Veja o seguinte exemplo: x + x + = x + x + + completamos o quadrado) = x + ) + Assim, x +x+ > 0 se, e somente se, x + ) + > 0, isto é, x + ) > Como x + ) 0 para todo x IR, a expressão x + ) > é válida para todo x IR Portanto, x + x + > 0 para x ], + [ Por outro lado, x + ) < não tem solução, já que o membro esquerdo da desigualdade é um número positivo Logo a solução para x + x + < 0 é, o conjunto vazio a) x x b) x + x c) x x d) x 9 e) 6x x f) x + x g) x + x + h) x + i) x j) x + x k) x + x + l) x + x + m) x + x 5 Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível

4 a) xx )6 x) < 0 b) x + )x ) x + 5 c) 5x > d) x e) x x ) x > 0 f) x > x + g) x + )x + ) x x + )x 6 > 0 h) x x + 6) i) 0 6 x x x + x + )x + )x 6) 0 j) x 5x + )x + ) x 0 + )x + ) 6 Seja gx) = x +, calcule: ) a) g b) c) ga ) d) [ga)] e) g a) f) fx) = ga) a ga) 7 Calcular a seguir: fx) fa), fazendo as simplicações possíveis, supondo que x a, em cada um dos itens x a a) fx) = x b) fx) = x c) fx) = x d) fx) = x 8 Classique as funções seguintes como injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora a) f : IR IR tal que fx) = x b) g : IR IR + tal que gx) = x c) h : IR IR + tal que hx) = x d) m : IN IN tal que mx) = x + e) p : IR IR tal que px) = x onde IR = IR {0}) f) q : IR IR tal que qx) = x g) r : IR IR tal que rx) = x x ) 9 Determine o domínio das seguintes funções a) fx) = x + 5 b) fx) = x x + 8x + c) fx) = d) fx) = x + x + 5 e) fx) = 5 + x x f) fx) = x x g) fx) = x + x x + h) x x + 0 Seja f : A IR + Determine o domínio A para as seguintes funções: a) fx) = x + b) fx) = x 5x + 6 c) fx) = x 5 d) fx) = x x x e) fx) = x f) fx) = 0

5 As funções são iguais? Explique f : IR IR x x + e f : IR {} IR x x x Determinar os valores de m para que a função quadrática fx) = m )x + m + )x + m tenha dois zeros reais e distintos Determinar os valores de m para que a equação do segundo grau m+)x + m)x+m ) = 0 tenha raízes reais Determinar os valores de m para que a função fx) = mx + m + )x + m + ) tenha um zero real duplo 5 Determinar os valores de m para que a equação mx + m )x + m ) = 0 não tenha raízes reais 6 Determine m na função fx) = x x + m de modo que se tenha Imf) = [, + [ 7 Construir o gráco e determinar o conjunto imagem das seguintes funções: { x se x a) fx) = se x < ou x > x se x b) fx) = x + se x = x se 0 x < c) fx) = x + 9 se x se x < 0 ou x > x + se x 0 d) fx) = x x + se 0 < x se x < x + se 0 x e) fx) = x x se x < 0 se x < ou x > 8 Determinar os vértices e a imagem das parábolas a) y = x b) y = x + x c) y = x 5x + d) y = x + x + e) y = x + x 9 f) y = x 7 x 9 Para as seguintes funções f, encontre o discriminante de fx) = 0 e determine se as raízes são reais e diferentes, reais e iguais, ou não existem Esboce o gráco de fx) sem desenhar mais de quatro pontos 5

6 a) fx) = x x + b) fx) = x + x + c) fx) = x x 5 d) fx) = 7x 5x e) fx) = x x + f) fx) = x ax g) fx) = x + πx + h) fx) = x ax + a i) fx) = x x j) fx) = 9x x + 0 Em cada item, encontre o conjunto S das soluções reais da equação ou inequação dada a) x + = b) x + = x c) x + = x d) x e) x > 5 f) x > 8x g) x = x + h) x x + = x i) x + 7 > x + 8 Encontre as soluções reais das inequações abaixo a) x x 0 b) > c) x )x + )5x + ) 0 x x d) x + x + )x ) x + )x + ) x > 0 e) 0 f) 5 x + x + )x + ) < 0 g) x + x 0 h) x + x Escreva cada uma das funções abaixo como uma função am por partes a) fx) = x + x b) gx) = x + x c) hx) = x + x d) ix) = x + x + x + Encontre as soluções reais das inequações abaixo a) x x < 0 b) x + x x x + x > 0 c) x x x + 0 x + 5 d) x + 5x + 0 e) x + 5x 6 x 0 f) x x 6 < 0 + x x 8 g) x + x x + > h) x + x x + x i) x + x x x Sabe-se que um triângulo inscrito na semi-circunferência de diâmetro a é retângulo Se os catetos são x e y, expresse y como função de x Expresse a área desse triângulo como função de x 5 Um retângulo inscrito na semi-circunferência de diâmetro a tem lados x e y, sendo que y está sobre o diâmetro a Expresse y em função de x Expresse a área do retângulo em função de x 6 Expresse o lado do quadrado inscrito em um triângulo retângulo ABC, em função da base a e da altura h 7 Determine o menor valor de b em B = {y IR y b} de modo que a função f : IR B denida por fx) = x x + 6 seja sobrejetora 8 Determine o maior valor de a em A = {x IR x a} de modo que a função f : A IR denida por fx) = x x + seja injetora 9 Qual deve ser o valor de c para que o vértice da parábola y = x 8x + c esteja sobre o eixo dos x? 0 Qual deve ser o valor de k para que y = x kx + 8 tenha duas raízes reais e iguais? 6

7 Dentre todos os números reais x e z tais que x + z = 8 determine aqueles cujo produto é máximo Dentre todos os números de soma 6, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e o vértice que está fora dos eixos pertencente à reta y = x + 5 Um arame de comprimento l deve ser cortado em dois pedaços Um pedaço será usado para formar um círculo, e outro, um quadrado Onde se deve cortar o arame, para que a soma das áreas das guras seja a menor possível? 5 Prove que somando-se ao produto de quatro números naturais consecutivos o resultado será sempre um quadrado perfeito 6 Se a distância de frenagem d em metros) de um carro a velocidade de c km/h é dada, aproximadamente, por d = v + v, para quais velocidades o espaço de frenagem é inferior a 0m? 0 7 Considerando que a resistência elétrica R em Ohms) para um o de metal puro está relacionado com a temperatura T em o C) pela fórmula R = R 0 + αt ) onde α, R 0 são constantes positivas, pede-se: a) Para que temperatura tem-se que R = R 0? b) Se a resistência é considerada 0 para T = 7 C, determine o valor de α c) Se a prata tem resistência, 5 ohms a 0 C a que temperatura sua resistência atinge, 0 ohms? 8 As dosagens para adultos e para crianças devem ser especicadas nos produtos farmacêuticos Duas das fórmulas para se especicar as dosagens para crianças a partir das dosagens para adultos são a de Cowling, dada por y= t + )α e a de Friend, dada por y = tα onde α representa a dosagem 5 para adulto, em mg, e t representa a idade da criança, em anos a) Se α = 00mg, represente gracamente as expressões das dosagens infantis usando as fórmulas de Cowling e de Friend b) Para que idade as duas fórmulas especicam a mesma dosagem? Respostas: a) x + 5 ) 7 b) x + ) 5 [ c) t + 5 ) ] d) t ) e) x + ) 9 f) x + ) 7 g) x + ) + h) x ) i) x + b) + c b [ j) a x + ) ] + b a k) πx ) π [ l) x + ) ] a) ± b) ± i c) 5 ± d) ou e) ± i 7

8 f) ± g) ± h) ± 5 i) ± i j) 5 ± 5 0 a) ± 5 b) 9 ± 9 c) 5 ± i d) ou e) ± 89 f) ± g) 0 ou 0 h) b ± b + c i) a ± 6) j) π ou π k) ou l) 5 ± 5 5 x =, x = ou x = 5 6 a) S = [, 0] [5, 6] b) S = { 5 },,, 0 c) S = d) S =, + ] e) S = {,,, } [ + ), f) S =, ), ) +, ) g) S = {,,, 6} { h) S = }, i) S = { }, 7 a) K = 9 5 b) K = 5± 0 c) K = e k = d) K e) K = ± 7 f) K = ± 8 a) xx ) e xx + ) b) πx + ) e 7xx + ) c) xx + ) e πx π) d) x )x + ) e x 7)x + 7) e) x )x + ) e x )x + ) f) x )x + ) e x π)x + π) g) x ) e x ) h) j) x + ) e x )x + ) i) x 7 ) e x + 5)x 8) x + ) x ) e 8 x + k) x b)x + b) e x + )x 7) l) x ) e x + )x 7) ) x ) a) x 5x + 6 = 0 b) x + x c) Não há uma equação do segundo grau que possua raízes d) x )x e) x x a) b) R {} c) d) R {0} e) f) g), 5 ) ), +, ) ), + 8

9 ) h), 0) 5, + ) i), ), + ) 9 j), ), + k), ) 0, + ) l), ) 5 m), ), + ) n), ) 0, + ) a) x x = x + ) x ) O trinômio é negativo para x, ) b) x + x = x + 7) x 6) O trinômio é negativo para x 7, 6) c) x x = x + ) x ) O trinômio é negativo para x ), d) x 9 = x + ) x ) O trinômio é negativo para x, ) e) 6x x = x 8x ) O trinômio é negativo para x 0, ) 8 f) x + x = x x + ) O trinômio é negativo para x, 0) g) x + x + = x + ) + O trinômio nunca é negativo h) x + O trinômio nunca é negativo i) x O trinômio é negativo para x R j) x + x = x ) O trinômio é negativo para x R k) x + x + = x + ) + O trinômio nunca é negativo l) x + x + = x + ) + 7 O trinômio nunca é negativo 8 m) x + x = x + ) 5 O trinômio é negativo para x + 5, ) 5 5 a) x 0, ) 6, + ) [ ) b) x 5, ], + c) x, ) ) 5 5, + d) x, ), + ) e) x [, ) [, + ) f) x, ) g) x R h) x, 5 ] [ ) 7, + i) x, ) [, ] j) x, ] ], [, + ) 6 a) a + a b) a + c) a + d) a + 8a + 6 e) a + f) a + 9

10 7 a) x + a b) x + ax + a c) ax d) x + a)x + a ) 8 a) Bijetora b) Nem injetora nem sobrejetora c) Injetora d) Bijetora e) Bijetora f) Bijetora g) Nem injetora nem sobrejetora 9 a) [ 5, + ) c), ] e) [, 5] g), 0] b) [, ] d) 5, ] f), ] [0, ] h) [, ) [, + ) 0 a) [, + ) b) 0, ] [, + ) c), 5 ] d), ), + ) e), ] [, + ) f) [0, + ) Não, pois possuem domínios diferentes m > 9 6 m 7 6 m = e m = 5 m < 6 m = 0 8 a) v = 0, ) e If) = [, + ) b) v =, 9 ) e If) =, 9 ] 5 c) v =, 9 ) e If) = [ 98 ) 8, + d) v =, 5 ) e If) = 6 e) v =, ) e If) = 6 ) 7 f) v = 6, e If) = 6, 5 6, 6 ] ] [ 6, + ) 9 a) = 0, raízes reais e iguais b) =, não possui raízes reais c) = 8, raízes reais e diferentes d) = 8, raízes reais e diferentes e) =, raízes reais e diferentes f) = a +, raízes reais e diferentes g) = π 8, não possui raízes reais h) = 0, raízes reais e iguais i) = 6, raízes reais e diferentes j) = 0, raízes reais e iguais 0 0

11 { a) S = 7 }, b) S = c) S = {, } d) S = [ ], ) e) S =, ), f) S =, ) g) S = { 7, } 6 h) S = i) S = { }, 5 ) a) x, ] ), ) b) x, c) x, d) x ] [ 5, ] ) ) 5, 5, x se x < a) fx) = 7x se x < x se x 5x se x b) gx) = 8 x se < x < 5x se x a) x, ), ) b) x, ) c) x, ), ] d) x, 5 ] ), e) x, ) ], [, ) f) x, ), ) { g) x } 0, ) h) x 0, ] 6x se x < c) hx) = se x < 6x se x x se x < x se x < 0 d) ix) = x + se 0 x < x se x e) x, ), ] [, ) f) x, 7) + 7, ) g) x, ), ) h) x, ) [, ) [ i) x 5, + ] 5 ), y = a x, A = x a x 5 y = a x, A = x a x 6 L = ah a + h 7 b = 8 a = 9 c = 6

12 0 k = ±8 x = e z = x = y = Retângulo com vértices 0, 0), A uma distância de l + π 6 v = 0 ± 5) =, 6km/h ) 5 5 8, 0, ) πl ou + π 8, 5 ), 0, 5 ) da extremidade 7 a) T = 0 b) α = 7 c) T = 6, 8 C 8 b) t = 5 anos