III-1 Comprimento de Arco

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1 Nesta aula vamos iniciar com o tratamento de integral que não calcula apenas área sob uma curva. Especificamente, o processo ainda é unidimensional, mas envolve conceitos de geometria (especificamente trigonometria) e possibilita a realização do cálculo de comprimento de uma curva. Esta prática permite determinar-se perímetro de terrenos que não possuem traçados regulares, mas podem ser definidos por uma função. Além disso, na prática, acena para o cálculo de momento de inércia e centróide de objetos do tipo arame, fio, etc. que não possuem geometria bem definida. O comprimento de um arco AB de uma curva, por definição, é o limite da soma dos comprimentos consecutivos de corda, AP 1, P 1 P 2, P 2 P 3... P n-1, P n, ligando os pontos no arco, quando o número de pontos cresce indefinidamente de tal modo que o comprimento de cada corda tenda a zero. P 3 P n-1 B A P 3 P 2 P 1 P 2 Observe na figura que o comprimento P 3, portanto: é a hipotenusa do triângulo que une os pontos P 2 e Se A(a,c), e B(b,d) são dois pontos da curva, onde e sua derivada são contínuas no intervalo [a,b], o comprimento de arco AB é dado por: Analogamente, se A (a,c) e B (b,d) são dois pontos da curva, onde e são continuas e [c,d] o comprimento de arco AB é dado por:

2 Se A (u=u 1 ) e B(u=u 2 ) são dois pontos de uma curva definida pelas equações paramétricas e se as condições de continuidade são satisfeitas, o comprimento de arco AB é dado por: Eemplo 1: Achar o comprimento da reta no intervalo [0,1]. O gráfico da reta é: Y= A derivada da função: Aplicando na equação para. Neste mesmo eemplo pode-se calcular o comprimento da curva em relação a. Nesse caso o intervalo deve ser [2,4] e a função pode ser invertida, ou seja: Daí,

3 Outra maneira de se encontrar a derivada é diferenciando-se a função e, portanto: Aplicando a equação do comprimento de arco. Portanto: Outro caminho é fazer os cálculos através das curvas paramétricas. Vamos resolver o problema criando duas funções paramétricas a partir da função Para isto pode-se fazer o seguinte: O intervalo em é: Calculando as derivadas:

4 Aplicando a equação para as curvas paramétricas. Observa-se, que geometricamente o comprimento da curva é como é destacado na figura e, portanto: pois é um triângulo retângulo Vejamos alguns eemplos mais compleos. Eemplo 2: Ache o comprimento do arco de curva: O intervalo é: Substituindo na fórmula paramétrica: Substituindo os limites de integração tem-se:

5 Eemplo 3: Dado um círculo de raio R, determine o seu comprimento duas formas. a) Utilizando a função. b) Parametrizando as funções Onde é o ângulo formado com o eio. R a) Inicialmente deve-se criar a função. Olhando para o circulo, pode-se determinar o comprimento do raio. Isolando temos: Derivando-se em relação a. O intervalo de integração será de até, que deve dar o comprimento do semicírculo. Para o comprimento total, basta multiplicar este resultado por 2 (dois). Portanto.

6 Esta integral deve ser resolvida por substituição trigonométrica. Observando o círculo define-se: Para: Substituindo na integral: Observe que o resultado é o correspondente ao comprimento da circunferência conhecido. b) Neste caso vamos parametrizar e à variável. No gráfico do circulo vê-se. Então: Para o comprimento do circulo deve variar de 0 a 2 e portanto:

7 , relação trigonométrica fundamental. Observe que parametrizando e, a resolução fica mais simples e sem muita substituição. A matemática (o cálculo) tem disso, é necessário possuir eperiência e desenvolver o raciocínio logico para resolver problemas com eficiência e eficácia. Nesse sentido, além de aprender cálculo, o aluno desenvolve habilidades e competências que serão positivas na vida profissional.