Tecnologia em Construções de Edifícios

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1 1 Tecnologia em Construções de Edifícios Aula 9 Geometria Analítica Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre

2 2 GEOMETRIA ANALÍTICA INTRODUÇÃO A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até a Idade Média. René Descartes, em 1637, revolucionou a MATEMÁTICA ao criar uma conexão entre a GEOMETRIA e a ÁLGEBRA, ele demonstrou como aplicar os métodos de uma disciplina na outra. Este é o fundamento da geometria analítica, na qual representam-se as figuras através de expressões algébricas. x 2 = 4py

3 3 COORDENADAS CARTESIANAS x < 0 y > 0 2º Quadrante Q(x, y) x < 0 y < 0 R(x, y) 3º Quadrante y Eixo das ordenadas 1º Quadrante P(x, y) x > 0 y > 0 S(x, y) x > 0 y < 0 4º Quadrante x Eixo das abscissas Todo ponto possui uma coordenada dada por um par ordenado (x, y). Vejamos o comportamento das coordenadas em cada quadrante:

4 4 COORDENADAS CARTESIANAS Dados os pontos A( 3, 2), C(2, 2), E(4, 2), G(2, 5), I(0, 3), J( 1, 4) e L( 5, 3). a) Marque no plano cartesiano abaixo os pontos supra citados. b) Determine as coordenadas dos pontos B, D, F, H, K e M. c) Ligue os pontos na ordem alfabética. Feche a figura, ligando os pontos M e A.

5 5 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS y C(7, 5) A(3, 2) B(7, 2) Qual a distância entre os pontos: x a) A e B? b) B e C? c) A e C? 5

6 6 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS y B(x B, y B ) A(x A, y A ) C(x C, y C ) =C(x B, y A ) x Generalizando: Sempre é possível pegarmos um ponto C, de tal maneira que o triângulo ABC seja um triângulo retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras: (d AB )² = (d AC )² + (d BC )² (d AB )² = (x C x A )² + (y B y C )² (d AB )² = (x B x A )² + (y B y A )² d AB = (x B x A )² + (y B y A )²

7 7 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Um ponto P (a, 2) é equidistante dos pontos A (3, 1) e B (2, 4). Qual o valor de a?

8 8 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA Considere o segmento de reta com extremos A (x A, y A ) e B (x B, y B ), e o ponto médio M (x m, y m ). Sendo assim, temos: Pelo teorema de Tales: AM = MB AD = CD x m x A = x B x m M 2x m = x A + x B D x m = x A + x B 2 Analogamente, fica como exercício que vocês mostrem que y m = y A + y B 2

9 9 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA Determine o comprimento da mediana AM do triângulo cujos vértices são os pontos A (2, 3), B (4, 2) e C (0, 6) Dado o ponto A ( 1, 1), determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M ( 1, 1) é o ponto médio do segmento AB.

10 10 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Observe o gráfico: y y B y C y A C A D B E Os triângulos ABE e ACD são semelhantes, pois possuem os mesmos ângulos. Segue que: AE = BE AD CD x B x A = y B y A x C x A y C y A (x B x A )(y C y A ) = (y B y A )(x C x A ) (x B x A )(y C y A ) (y B y A )(x C x A ) = 0 Vamos guardar esse resultado! x A x C x B x

11 11 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Desenvolvendo o seguinte determinante: x A y A 1 Repetimos as duas 1ª s colunas: x x B y B 1 = 0 C.y B +y C.x A +x B.y A x C y C 1 x A y A 1 x A y A x B y B 1 x B y B = 0 x C y C 1 x C y C (continuação) Daí, temos que: x A.y B +y A.x C +x B.y DP DS = 0 C x A.y B + y A.x C + x B.y C (x B x A )(y C y A ) (y B y A )(x C x A ) = 0 x C.y B y C.x A x B.y A = 0 Vamos guardar esse resultado! Ora, desenvolvendo a expressão guardada,obtemos o mesmo resultado. Podemos concluir que: x A y A 1 x B y B 1 = 0 x C y C 1 Condição de alinhamento de três pontos

12 12 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Determine os valores de k para que os pontos A (k, 7), B (2, 3) e C (k, 1) sejam os vértices de um triângulo. Determine dois pontos que estejam alinhados com os pontos A (1, 4) e B (0, 3)

13 13 y A(x A, y A ) EQUAÇÃO DA RETA B(x B, y B ) (continuação) Daí, temos que: DP DS = 0 x A.y B + y A.x + x B.y x.y B y.x A x B.y A = 0 (y A y B ).x + (x B x A ).y + (x A.y B -x B.y A ) = 0 x Pegando um terceiro ponto, um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta, temos pela condição de alinhamento de três pontos que: x A y A 1 Resolvendo o determinante, temos: x B y B 1 = 0 x.y B +y. x A +x B.y A x y 1 x A y A 1 x A y A x B y B 1 x B y B = 0 x y 1 x y x A.y B +y A.x +x B.y Ax+By+ C = 0

14 14 EQUAÇÃO DA RETA Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(-1, 3) e B(3, 2). Considere uma reta r que passa pelos pontos (-1, -2) e (4, 2) e intercepta o eixo das ordenadas no ponto P. Determine as coordenadas do ponto P.

15 15 EQUAÇÃO DA RETA INCLINAÇÃO DA RETA A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de uma reta é dado por: y tg y x 1 0 y 1 1 y x 0 Passando o denominador para o outro lado e fazendo tg Θ = m, temos: y 1 y 0 = m.(x 1 x 0 ) y 0 Θ x 0 x 1 x

16 16 EQUAÇÃO DA RETA Sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A (k, 2) e B ( 1, 3) é de 45º. Determine o valor de k, a equação da reta e as coordenadas do ponto em que a reta intercepta o eixo das abscissas.

17 17 EQUAÇÃO DA RETA Sabendo que a equação da reta pode ser obtida por: y y P = m.(x x P ) Ela intercepta o eixo y no ponto P (0, n). Daí, temos: y n = m.(x 0) y n = m.x y = m.x n EQUAÇÃO reduzida DA RETA POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS m 1 = m 2 e n 1 n 2 COINCIDENTES m 1 = m 2 e n 1 = n 2 CONCORRENTES m 1 m 2 PERPENDICULARES m 1. m 2 = 1

18 18 EQUAÇÃO DA RETA Dado o ponto A (3, 5) e a reta r de equação x + y 2 = 0, determine a equação da reta s que passa por A e é perpendicular a reta r.

19 19 DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E A RETA Vejamos SEM a fórmula: Considere o ponto P (4, 6) e a reta r de equação x + y 1 = 0, determine a distância entre o ponto P e a reta r. Para isso, faça o que se pede em cada item, determine: a) o coeficiente angular da reta r; b) o coeficiente angular de uma reta perpendicular a reta r; c) a equação de uma reta s perpendicular a reta r e que passe pelo ponto P; d) a interseção entre as retas s e r ; e) a distância entre o ponto P e a reta r. f) Agora, utilize a fórmula

20 20 EQUAÇÃO DA RETA Qual a distância do ponto P ( 2, 3) à reta r de equação 3x + 4y 8 = 0? Qual a distância entre as retas de equações 4x 3y + 9 = 0 e 4x 3y 6 = 0?

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