Geometria Analítica. Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) P( 5, 2 ) B( 3, 2 ) Q( 3, 4 ) d = 5.

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1 Erivaldo UDESC

2 Geometria Analítica Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) B( 3, 2 ) d 2 = ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 d = 5 P( 5, 2 ) Q( 3, 4 ) d 2 = ( 8 ) 2 + ( 6 ) 2 d = 10

3 Geometria Analítica Questão Determine a soma das coordenadas do baricentro do triângulo de vértices nos pontos A(0, 1), B(1, 4) e C(2, 1). C Coordenadas do Baricentro: G(x G, y G ) G B x G = y G = A x G = 1 y G = 2 G( 1, 2 )

4 Geometria Analítica Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r) A(1,2), B(7,-2), P( x, y ) A B P A, B e P são colineares Determinante = zero x y 1 2 = 0

5 Geometria Analítica Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r) 1 7 x 1 = y 2 P B A y + 2x x y = 0 4x + 6y 16 = 0 ( 2) Equação na forma Geral 2x + 3y 8 = 0 ax + by + c = 0

6 Geometria Analítica Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). 2x + 3y 8 = 0 Forma Geral y 3y = 2x + 8 y = 2 3.x Forma Reduzida Coeficiente angular: m = Coeficiente linear: b = 3 8/3 tgα = -2/3 α x

7 Geometria Analítica Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). A( 1, 2 ) B( 7, -2 ) A( 1, 2 ) B( 7, -2 ) -6. y = 4. x y - 4x + 16 = 0 (-2) -16 3y + 2x - 8 = 0

8 Geometria Analítica Equação da reta: Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5 y y 0 = m.(x x 0 ) y 2 = 5.(x +3) 5x y + 17 = 0 A(-3,2) y = a.x + b y = 5.x + b 2 = 5.(-3) + b b = 17 y = 5x + 17

9 Geometria Analítica Retas paralelas: Mesmo coeficiente angular r//s! m r = m s (r) 3x 4y + 2 = 0 (s) 3x 4y + c = 0 Retas perpendiculares: Coeficientes angulares, inversos e opostos r s m r = 1 m s (r) 5x + 2y 3 = 0 (s) 2x 5y + c = 0

10 Geometria Analítica Equação da circunferência: Dados : Centro C(a, b) e Raio r (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Exemplo: C( 3, -2) e r = 5 (x 3)2 + (y + 2) 2 = 25

11 Geometria Analítica Equação da circunferência: x 2 + y 2 6x + 4y 12 = 0 (-2) (-2) C ( 3, -2 ) (3) 2 + (-2) 2 (-12) = r = r 2 r = 5

12 Questão Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x 2) 2 + (y 2) 2 4 e seja P a região definida por x 2 ou y 2. A área da região intersecção entre C e P é: A) π B) 2π C) 3π D) 4π E) 5π Boa Prova Polinômios

13 Resolução: C: (x 2) 2 + (y 2) 2 4 Centro: C(2,2) Raio: r = 2 P: x 2 ou y 2. y 2 Intersecção entre C e P: 2 x Boa Prova Polinômios

14 Resolução: Área da intersecção entre C e P: π.r 2 A = 3. 4 π.2 2 A = 3. 4 A = 3π y 2 2 x Boa Prova Polinômios Gabarito: C

15 Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, = Decimal (Indo-Arábico): 2107 = Número de três algarismos: abc = a b c.10 0 abc = 100a + 10b + c 4 Binário: (10101) 2 = = = (21)

16 Matemática Básica Equação do 1º grau 0.x = 9 Equação impossível S = { } 2x = 10 Equação possível e determinada S = { 5 } 0.x = 0 Equação possível e indeterminada S = R

17 Matemática Básica Equação do Segundo Grau ax 2 + bx + c = 0 Forma parcelada a 0 a. ( x - x 1 ).( x - x 2 ) = 0 Forma fatorada x = b ± 2.a Δ Bhaskara Δ = b 2 4.a.c (discriminante) Δ > 0 : 2 raízes reais e distintas Δ = 0 : 2 raízes reais e iguais Δ < 0 : Não possui raízes reais Equação dada as raízes: x 2 S.x + P = 0 Soma Produto

18 Potênciação Propriedades: P 1 ) a m.a n = a m+n P 2 ) a m a n = a m n P 3 ) (a m ) n = a m.n P 4 ) (a.b) n = a n.b n P 5 ) (a b) n = a n b n P 6 ) n a m m = n a Importante: ( 5 2 ) N o de Algarismos algarismos

19 Radiciação n a n : índice a : radicando = b b : raiz : radical Classifique em Verdadeiro ou Falso, cada item: a) ( V ) 64 = 4 d)( V ) 2. 4 = 2 b)( V ) x 2 = x c)( V ) x ( ) 2 = x 6 e)( V ) 6 6 f )( F ) 64 R = ( 2) 6 6 = 2

20 Fatoração Fator comum em evidência Agrupamento Diferença de dois quadrados Trinômio quadrado perfeito Trinômio do segundo grau Diferença de dois cubos Soma de dois cubos

21 Análise Combinatória Uma equipe de saúde tem 4 médicos e 6 enfermeiras. O número de comissões de cinco profissionais, médicos e enfermeiras, que podem ser formadas contendo, no máximo, dois médicos, é: Resolução: (2M e 3E) ou (1M e 4E) ou (5E) C 4 2 x C 6 3 C 4 1 C x + C 6 5 4! 2!.2! x 6! 3!.3! + 4! 1!.3! x 6! 4!.2! + 6! 5!.1! 6 x x = 186

22 Análise Combinatória O Número de soluções naturais da equação x + y + z = 5 é: Resolução: x y z x+y+z Solução Representação ( 1, 2, 2 ) 1 / 1 1 / ( 2, 1, 2 ) 1 1 / 1 / 1 1 Cada solução é composta de: P n α,β, ( 3, 0, 2 ) / / 1 1 = cinco 1 e duas barras n! α!.β!... P 5,2 7 = 7! 5!.2! P 5,2 7 = 7.6.5! 5!.2.1 = 21

23 Conjuntos Numéricos Naturais: N = { 0, 1, 2, 3,... } Inteiros: Z = {..., -2,-1,0, 1, 2,... } N * = { 1, 2, 3,... } Z + = { 0,1, 2, 3,... } Racionais: Q = x / x = p, p Z e q Z* q Q Inteiros Decimais finitos Dízimas periódicas Irracionais: ( R Q ) { dízimas não-periódicas } π = 3, e = 2, Φ = 1,

24 Conjuntos Numéricos R Reais: R = (Racionais)U(Irracionais) R Q = Irracionais Q Z N R Q Assinale V ou F: x Z x N x < 0 (Verdadeiro) x Z x N x 5 (Verdadeiro) x Q y (R Q) x.y (R Q) (Falso) x Q y (R Q) x + y (R Q) (Verdadeiro)

25 Probabilidade Questão Considere uma urna contendo 10 bolas idênticas. Em cada bola foi gravado um único número do conjunto 1, 1, 2, 0, 3 2, 5, 4, 5 4, 3, 7 3 Qual é a probabilidade de se retirar dessa urna, ao acaso, uma bola em que está gravado um número racional? Resolução: Números Racionais: 1,1, 0, 3 2, 5, 4, 5 4, 7 3 Probabilidade: P = 8 10 P = 80%

26 Função Afim f(x) = a.x + b y y y b b (x,0) x b (x,0) x x a < 0 b > 0 x: raiz ou zero da função a > 0 b < 0 x: raiz ou zero da função a = 0 b > 0

27 Função Quadrática y c f(x) = a.x 2 + b.x + c Sinal do a: a > 0 Parábola côncava para cima Sinal do b: b < 0 Parábola passa por y descendo (x 1,0) (x 2,0) x 1 e x 2 : zeros da função ou raízes x Sinal do c: c > 0 Parábola toca y no positivo Sinal do Δ: Δ > 0 Parábola toca x em dois pontos

28 Função Quadrática y y V f(x) = a.x 2 + b.x + c vértice x V = b 2.a y V = Δ 4.a x V x 1 x 2 x V = x 1 + x 2 2 x O Vértice da parábola será: - O ponto máximo ( a<0 ) - O ponto mínimo ( a>0 )

29 Que Deus o acompanhe!!!

30 Erivaldo FIM