Equação de 2 grau. Assim: Øx² - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

Transcrição

1 Rumo ao

2 EQUAÇÃO DE 2 GRAU

3 Equação de 2 grau A equação de 2 grau é a equação na forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e x é a variável (incógnita). O valor da incógnita x é determinado pela fórmula de Bháskara. Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. ü a é sempre o coeficiente de x²; ü b é sempre o coeficiente de x, ü c é o coeficiente ou termo independente.

4 Equação de 2 grau Assim: Øx² - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. Ø6x² - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c =-1 Ø7x² - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. Øx² - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

5 COMPLETAS Para solucionar equações do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bháskara. Onde a, b e c são os coeficientes (números) encontrados na equação.

6 Exemplo Resolução a equação 7x² + 13x -2 = 0.

7 Vale ressaltar que de acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: ü1º Caso: O discriminante é positivo, > 0, então a equação tem duas raízes reais diferentes. ü2º Caso: O discriminante é nulo, =0, então a equação tem duas raízes reais e iguais. ü 3º Caso: O discriminante é negativo, <0, então não há raízes reias.

8 Atenção! A raiz (ou zero da função) é(são) o(s) valor(es) da incógnita x que zeram a equação. Exemplos I) As raízes de x² - 6x + 8 = 0 são x 1 = 2 e x 2 = 4 pois (2)² - 6(2) +8 =0 e (4)² - 6(4) +8 =0 II) As raízes de x² + 6x + 9 = 0 são x 1 = x 2 = -3 pois (-3)² +6(-3) +9 =0

9 INCOMPLETAS Na resolução das incompletas não é necessário resolver por Bháskara, basta usar os métodos específicos que variam de acordo com o tipo de incompleta: incompleta sem o termo com x ou a incompleta sem o termo independente.

10 2. Encontre as raízes das equações abaixo: a) x² - 4x = 0

11 b) x² - 36 = 0

12 SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:

13 FUNÇÕES

14 FUNÇÕES É uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por apenas um e único elemento y, denotado por ƒ(x).

15 Vale ressaltar que todo valor de x que pode ser escolhido e utilizado na função compõe o que chamamos de DOMÍNIO e todo y obtido como resposta é a famosa IMAGEM da função. Resumindo: Domínio são os valores de x que podemos usar e Imagem são os valores de Y que obtemos como resposta.

16 Função de 1 Grau Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma : onde a e b são números reais dados e a 0. f(x) = ax + b Seu gráfico é sempre uma reta. a Coeficiente angular, Parâmetro angular, Inclinação ou Declividade. b Coeficiente linear, Parâmetro linear ou Termo Independente.

17 Função de 1 Grau ATENÇÃO ØO coeficiente linear b é o ponto de intersecção do eixo y. ØO coeficiente angular a não é o ponto de intersecção do eixo x.

18 Função de 1 Grau COEFICIENTE ANGULAR a > 0 a < 0 Reta CRESCENTE Reta DECRESCENTE

19 Função de 1 Grau COEFICIENTE LINEAR b > 0 b < 0 b = 0

20 FUNÇÃO de 2 GRAU

21 Função de 2 Grau Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. f(x) = ax² + bx + c O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola.

22 Função de 2 Grau Exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = -4 e c = 1 f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x², onde a = -4, b = 0 e c = 0

23 Representação gráfica Função de 2 Grau Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos sempre que: concavidade voltada para cima concavidade voltada para baixo

24 Função de 2 Grau Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o corta.

25 Função de 2 Grau A análise do coeficiente "b" pode ser orientada pela analise de uma reta imaginária que passa pelo c e pelo vértice. Assim: Nos exemplos acima se a reta imaginária for crescente, b > 0 caso contrário b < 0 e no caso em que o vértice e o c coincidem, teremos b = 0 e uma simetria em relação ao eixo Y.

26 Função de 2 Grau Atenção! A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante: Se Δ > 0, Se Δ = 0, Se Δ < 0, há duas raízes há duas raízes reais não há raiz real. reais e distintas; e iguais;

27 1. Complete as lacunas: Função de 2 Grau

28 Função de 2 Grau

29 Função de 2 Grau Zero ou Raiz da Função Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Para determinar as raízes, aplica-se a chamada fórmula de Bhaskara: - b ± b² - 4.a.c x =, sendo D = b² - 4.a.c 2a

30 Função de 2 Grau VÉRTICE da PARÁBOLA O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:

31 Função de 2 Grau Para determinar o ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de mínimo (quando a > 0). COORDENADAS DO VÉRTICE V( x, y v v ) x = - v b 2a y v = - D 4a Atenção: Xv é o ponto médio das raízes reais.

32 COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

33 Cada j = 0, 1,, 11 representa um mês do ano de 2017, isto é, j = 0 = janeiro, j = 1 = fevereiro, e assim sucessivamente. Se o mês j tem d dias, então j + 1/d representa o dia 1.º do mês j; j + 2/d representa o dia 2 do mês j, e assim sucessivamente, j + d/d = j + 1 representa o dia d do mês j. Dessa forma, cada dia do ano de 2017 pode ser representado por um número x do intervalo [0, 12]. Considere que, nessa representação, em cada dia x do ano de 2017, a porcentagem de água acumulada em relação à capacidade máxima do reservatório de determinada represa seja expressa pelo valor da função ƒ(x) = x² - 10x A partir dessas informações, julgue o item que se segue. Em 2017, a quantidade de água acumulada no reservatório ficou acima de 51% de sua capacidade máxima em dias de exatamente 4 meses. Certo Errado

34 Cada j = 0, 1,, 11 representa um mês do ano de 2017, isto é, j = 0 = janeiro, j = 1 = fevereiro, e assim sucessivamente. Se o mês j tem d dias, então j + 1/d representa o dia 1.º do mês j; j + 2/d representa o dia 2 do mês j, e assim sucessivamente, j + d/d = j + 1 representa o dia d do mês j. Dessa forma, cada dia do ano de 2017 pode ser representado por um número x do intervalo [0, 12]. Considere que, nessa representação, em cada dia x do ano de 2017, a porcentagem de água acumulada em relação à capacidade máxima do reservatório de determinada represa seja expressa pelo valor da função ƒ(x) = x² - 10x A partir dessas informações, julgue o item que se segue. Considere que a função ƒ(x) esteja definida para todos os números reais do intervalo [0, 12]. Nesse caso, é correto afirmar que para cada y0 [0, 100], existe x0 [0, 12] tal que y0 = ƒ(x0). Certo Errado

35 Cada j = 0, 1,, 11 representa um mês do ano de 2017, isto é, j = 0 = janeiro, j = 1 = fevereiro, e assim sucessivamente. Se o mês j tem d dias, então j + 1/d representa o dia 1.º do mês j; j + 2/d representa o dia 2 do mês j, e assim sucessivamente, j + d/d = j + 1 representa o dia d do mês j. Dessa forma, cada dia do ano de 2017 pode ser representado por um número x do intervalo [0, 12]. Considere que, nessa representação, em cada dia x do ano de 2017, a porcentagem de água acumulada em relação à capacidade máxima do reservatório de determinada represa seja expressa pelo valor da função ƒ(x) = x² - 10x A partir dessas informações, julgue o item que se segue. A diferença entre os percentuais de água contida na represa em 31/12/2017 e 1.º/1/2017 é superior a 20%. Certo Errado

36 Em determinado dia, a quantidade Q de serviços administrativos demandados por usuários de determinado departamento da UnB, às t horas, pôde ser modelada pela função quadrática Q(t) = at 2 + bt + c, em que a, b e c são constantes reais e a 0. Nesse departamento, o expediente inicia-se às 8 horas da manhã e, nesse dia, a demanda máxima ocorreu às 11 horas da manhã, com o atendimento de Q máx = 54 usuários. Com referência a esse modelo, julgue o próximo item. De acordo com o modelo, se, nesse dia, no início do expediente não havia nenhuma demanda de usuários por serviços administrativos nesse departamento, então às 13 horas também não havia nenhum serviço administrativo sendo demandado. Certo Errado

37 FUNÇÃO EXPONENCIAL

38 DEFINIÇÃO Chamamos de função exponencial qualquer função de R em R, definida por: f(x) = a x Onde :

39 Exemplos

40 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA FUNÇÃO CRESCENTE FUNÇÃO DECRESCENTE

41 LOGARITMOS

42 Na Matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = = 10 3 ). De maneira geral, para quaisquer dois números reais a e b, onde b >0 e b 1, temos: a é o logaritmando b é a base c é o logaritmo DEFINIÇÃO log a = c Þ b = b c a

43 Exemplos : a) log 3 9 = 2 b) log 2 0,25 = -2 c) log 2 8 = 3

44 CASOS ESPECIAIS Exemplos a) log 3 1 = 0 b) log 2 2 = 1 c) log 2 1 = 0

45 PROPRIEDADES ØPropriedade do Produto Exemplo: a) log log 3 5 = log = log 3 60

46 PROPRIEDADES ØPropriedade do Quociente Exemplo: a) log log 3 12 = log 3 72/12 = log 3 6

47 PROPRIEDADES ØPropriedade da Potência Exemplo: a) log = 2. log 3 7

48 PROPRIEDADES ØPropriedade da da mudança de base Exemplo: a) log 3 7 = log 10 7 / log 10 3

49 FUNÇÃO LOGARÍTMICA

50 DEFINIÇÃO Toda função definida pela lei de formação f(x) = log a x, com a 1 e a > 0 e também x > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

51 Exemplos f(x) = log 2 x f(x) = log 3 x f(x) = log 1/2 x f(x) = log 10 x f(x) = log 1/3 x

52 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Ao construir o gráfico de uma função Logarítmica, temos: FUNÇÃO CRESCENTE FUNÇÃO DECRESCENTE

53 COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

54 O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função ƒ(x) = ln x = log e x tem inúmeras aplicações científicas. A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. A função exponencial g(x) = e x, função inversa de ln x, é uma função crescente. Certo Errado

55 O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função ƒ(x) = ln x = logex tem inúmeras aplicações científicas. A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. A equação ln x = -4 tem uma única solução. Certo Errado

56 A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. Se h(x) = x é a função módulo, então o domínio da função composta (ƒoh)(x) = ln x é o conjunto dos números reais. Certo Errado

57 A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. Se a > 0 e ln a [10, 20), então ln a² [100, + ). Certo Errado