Funções. Aula 9. Ricardo Ferreira Paraizo. e-tec Brasil Matemática Instrumental. Vince Petaccio. Fonte:

Transcrição

1 Funções Aula 9 Ricardo Ferreira Paraizo Vince Petaccio e-tec Brasil Matemática Instrumental Fonte:

2 Meta Apresentar as funções dos 1º e 2º graus. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. reconhecer quando uma relação é uma função; 2. resolver situações-problema envolvendo função do 1º grau; 3. resolver problemas envolvendo a função do 2º grau, principalmente os problemas de máximos e mínimos.

3 A importância do estudo das funções 211 A importância do estudo de uma função não é restrita aos interesses da matemática, mas é colocada em prática por outras ciências, como a Física, a Química, a Biologia, a Economia ou a Sociologia, que procuram saber quais as grandezas representativas dos seus fenômenos e como elas estão relacionadas entre si. Aula 9 Funções Nem sempre percebemos, mas estamos sempre em contato com as funções no nosso dia-a-dia. Por exemplo, quando lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é do que uma relação/comparação de duas grandezas representada graficamente. Para que esse gráfico tome forma, é necessário que essa relação seja representada em uma função na forma algébrica. x Fonte: Thomas Picard Fonte: icm28/func/img/graf9.gif Figura 9.1: Os jornais possuem inúmeros gráficos que correspondem a diferentes relações e funções. Nesta aula, faremos um estudo das relações entre as grandezas que chamamos de funções. As funções são um importante assunto da matemática e estão muito presentes no campo da agropecuária.

4 212 Relações e-tec-brasil - Matemática Instrumental Uma relação é uma correspondência existente entre dois conjuntos não-vazios A e B. Matematicamente, uma relação corresponde a qualquer subconjunto de um produto cartesiano, conforme veremos a seguir. Em termos mais explícitos, definimos uma relação R como sendo um conjunto de pares ordenados (a,b) tais que a pertença ao conjunto A e que b pertença ao conjunto B. Em termos matemáticos, temos: R {(a,b) a A b B} Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B não-vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB (lê-se produto cartesiano de A por B, ou, A cartesiano B), como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a pertence ao primeiro conjunto A e b pertence ao segundo conjunto B. Exemplo: Sejam A {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4 }, obtenha: AXB = { ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 1, 4 ), ( 2, 1 ), ( 2, 2 ), ( 2, 3 ), ( 2, 4 )} Qualquer subconjunto de AXB é uma relação de A em B. Aproveitando os conjuntos A e B acima, podemos verificar que: 1. C = { ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), (1, 4 ) }; C é uma relação de A em B, pois C AXB. corresponde ao símbolo de está contido. 2. D = { ( 1, 1 ), ( 1, 4 ), ( 2, 3 ), (2, 5 ) }; D não é uma relação de A em B, pois D AXB; corresponde ao símbolo de não está contido. 3. E = { ( 2, 1 ), ( 1, 2 ) }; E é uma relação de A em B, pois E AXB.

5 4. F = { ( 2, 3 ), ( 2, 4 ), ( 1, 5 ), (1, 1 ) }; 213 F não é uma relação de A em B, pois F AXB. 5. G = { ( 1, 1 ), ( 2, 2 ), ( 2, 4 ) }; G é uma relação de A em B, pois G AXB. Aula 9 Funções Uma classe de relações especialmente importante é a classe das funções. Funções A função é uma relação de A em B (f de A em B; y=f(x)) e tem como restrição: todo elemento de A (conjunto de partida, ou, domínio da função) tem um único correspondente em B (conjunto de chegada, ou contradomínio da função). Vamos, então, considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define. Sendo o conjunto dos valores possíveis para x, chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função, temos: A = domínio da função f; B = imagem da função f. Figura 9.2: Domínio e imagem de uma função de A em B. Perceba que, nesse caso, o conjunto imagem formado por y é igual ao contradomínio (conjunto de chegada) da função. Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que cada elemento de A esteja associado a um único elemento de B.

6 214 Vamos representar alguns exemplos das relações anteriores por meio de diagramas e-tec-brasil - Matemática Instrumental para comprovar se elas realmente são funções: 1. C = {( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), (1, 4 )} C não é função de A em B. Justificativa: C não é função de A em B, por dois motivos: o primeiro é que nem todos os elementos do conjunto de partida (A) têm correspondentes no conjunto de chegada (B), e o segundo é que existe um elemento do conjunto de partida com vários correspondentes no conjunto de chegada. 2. E = { ( 1, 2 ), ( 2, 1 ), } E é função de A em B. Justificativa: Todos os elementos do conjunto de partida têm somente um correspondente no conjunto de chegada. Domínio = {1,2}; Imagem = {1,2}; Contradomínio = {1, 2, 3, 4}.

7 Aula 9 Funções G = { ( 1, 1 ), ( 2, 2 ), ( 2, 4 ) } G não é uma função de A em B. Justificativa: Existe elemento no domínio com dois correspondentes no contradomínio. Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Assinale a única relação que é uma função de A ={1, 7, 9} em B= { 2, 4, 6, 8, 10, 12}. Justifique sua resposta. a. R 1 = { (1, 2), (1, 10), (7, 2), (7, 8), (7, 10) }; b. R 2 = { (1, 10), (7, 10), (9, 10) }; c. R 3 = { (9, 2), (9, 4), (9, 6), (9, 8), (9, 10), (9,12) }; d. R 4 = { (1, 2), (7, 4), (9, 6), (1, 4)}; e. R 5 = { (1, 4), (9, 10) }.

8 216 Algumas aplicações do conceito de função e-tec-brasil - Matemática Instrumental Vamos, agora, mostrar algumas situações do cotidiano para aplicar o conceito de função. Exemplos: 1. Supondo que, numa churrascaria, o rodízio por pessoa custa R$ 30,00 e você come churrasco à vontade. Veja a tabela e a representação gráfica dessa situação. Ricardo Ferreira Paraizo Figura 9.3: Nada como se alimentar bem numa churrascaria self-service à vontade! Função P = 30 m(g) P(R$) , , , , ,00 Observe que o preço pelo churrasco é constante. Você pode comer a quantidade que quiser e pagará sempre o mesmo valor (neste caso R$ 30,00). Mas, cuidado para não explodir!

9 40 30 P(R$) Aula 9 Funções m(g) Figura 9.4: Gráfico de uma função constante, onde P significa preço e m (g) significa possíveis massas em gramas que podem ser colocadas nos pratos. P= 30 Função constante Significado desta função: Preço constante igual a 30. Isso quer dizer que, para qualquer massa de churrasco, você vai pagar R$ 30, Um agricultor está vendendo 1 muda de laranja por R$ 1,00. Veja a tabela e o gráfico representativo dessa situação. Ricardo Ferreira Paraizo Figura 9.5: Uma muda de laranja sendo vendida por um real. Um caso de função identidade. Aqui R(x) = x.

10 218 Função R(x) = x e-tec-brasil - Matemática Instrumental x R(R$) 1 1,00 2 2,00 3 3,00 4 4,00 5 5,00 Observe que o valor que o agricultor vai arrecadar dependerá do número de mudas de laranja que vender. R(R$) X Figura 9.6: Gráfico da função identidade. A imagem identifica-se com o domínio, onde R significa Receita e x representa o número de mudas de laranjas. Veja, a seguir, mais comentários sobre a função identidade: R(x) = x Significado: Receita (R) do agricultor é função do número de mudas que vender. R(1) = 1 Significado: Receita, ao vender 1 muda de laranja, é igual a R$ 1,00. R(2) = 2 Significado: Receita, ao vender 2 mudas de laranja, é igual a R$ 2,00. R(3) = 3 Significado: Receita, ao vender 3 mudas de laranja, é igual a R$ 3,00. E assim por diante... Se vender mudas, a receita será de R$ 1.000,00.

11 219 Atenção! O Domínio de uma função é o conjunto de partida. Nesse caso, o número de mudas (x). Aula 9 Funções A Imagem de uma função é o conjunto de chegada. Nesse caso, é a receita (R). Atividade 2 Atende ao Objetivo 1 Resolva: a. A relação de massa de uma pessoa é uma função de sua idade? b. A relação de idade de uma pessoa é uma função de sua massa?

12 220 e-tec-brasil - Matemática Instrumental Atividade 3 Atende ao Objetivo 2 Em uma empresa agropecuária, o salário mensal de um certo vendedor é de R$ 1.000,00. Além disso, ele ganha R$ 2,00 por unidade vendida. Expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de unidades vendidas. Quantas unidades ele deve vender para receber um salário R$ 1.800,00? Função do 1º grau ou função afim Uma função do 1º grau pode ser também chamada de função afim. Para que uma função seja considerada afim, ela terá de assumir certas características, como, por exemplo: Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax + b, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e b deve pertencer ao conjunto dos reais. Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é: f: R R definida por f(x) = ax + b, com a R* e b R. Veja alguns exemplos de função afim. f(x) = 3x + 1 ; a = 3 e b = 1; f(x) = - 4x 1 ; a = -4 e b = -1; f(x) = x ; a = 1 e b = 0; f(x) = - 3 x + 5/2 ; a = -3 e b = 5/2. Toda função do 1º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.

13 Coeficientes da função afim (y = ax + b) 221 Os elementos a e b são chamados de coeficientes da função afim. O coeficiente a determina a inclinação do gráfico e é denominado coeficiente angular da reta; a constante b determina a translação vertical do gráfico e recebe o nome de coeficiente linear da reta. Aula 9 Funções Exemplos: 1. f(x) = 2x f(x) = -3x +1 2 coeficiente angular da reta -3 coeficiente angular da reta 1 coeficiente linear da reta 1 coeficiente linear da reta O número que acompanha o x (coeficiente de x ) é chamado de coeficiente angular, pois é ele que vai dizer se a reta é mais inclinada ou menos inclinada. E, analisando esse coeficiente, iremos dizer se a função é crescente ou decrescente, ou seja, se o a for positivo, nossa reta é crescente; se o a for negativo, nossa reta é decrescente. Tabela 9.1: Função crescente, decrescente e constante de acordo com seu coeficiente angular f(x)=2x+3 Esse exemplo tem o coeficiente angular a = 2; então, a reta é crescente f(x)= + x 4 2 Esse exemplo tem o coeficiente angular a = -1/2; então, a reta é decrescente

14 222 e-tec-brasil - Matemática Instrumental f(x)=5/ Esse exemplo tem o coeficiente angular a = 0; então, a função é constante. O coeficiente linear é o número sozinho que fica no final da função, quando a função está no formato geral (y=ax+b). Esse coeficiente é muito útil quando queremos desenhar o gráfico de uma função do primeiro grau. Ele nos diz exatamente o ponto em que a reta corta o eixo Y (eixo vertical). Tabela 9.2: O coeficiente linear indica o ponto que a função corta o eixo y f(x)=2x+3 Esse exemplo tem o coeficiente linear b = 3; então, a reta irá cortar o eixo Y no ponto (0,3) f(x)= + x 4 2 Esse exemplo tem o coeficiente linear b = 4/2, ou seja, b=2; então, a reta irá cortar o eixo Y no ponto (0,2)

15 f(x)=5/2 Esse exemplo tem o coeficiente linear b = 5/2; então, a reta irá cortar o eixo Y no ponto (0,5/2). Aula 9 Funções f(x)= 3 x 4 3 Esse exemplo tem o coeficiente linear b = -4/3; então, a reta irá cortar o eixo Y no ponto (0,-4/3) Curiosidade Fonte: Figura 9.7: Leonhard Paul Euler foi um dos melhores e mais produtivos matemáticos da história da humanidade. Leonhard Paul Euler foi um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Euler fez importantes

16 224 descobertas em campos variados nos Cálculos e Grafos (veja Teoria dos Grafos). e-tec-brasil - Matemática Instrumental Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática. Foi ele quem inventou o símbolo para dizer y é uma função de x : y = f(x), que se lê y é igual a f de x. Essa notação permite dar diferentes nomes a diferentes funções trocando as letras usadas. Função crescente Conforme vimos no item anterior, uma função é dita crescente quando possui o coeficiente angular positivo. Vejamos o exemplo a seguir: O gráfico de f(x) = x 1. x Y y x Figura 9.8: Gráfico de uma função crescente.

17 Podemos notar, tanto no gráfico quanto na tabela, que, à medida que x aumenta, y também aumenta. Devido a isso, chamamos essa função de função crescente. Função decrescente Conforme vimos, uma função é dita decrescente quando possui o coeficiente angular negativo. Vejamos o exemplo a seguir: Aula 9 Funções 225 O gráfico de f(x) = -x +3 x y y x Figura 9.9: Gráfico de uma função decrescente. Podemos notar que, à medida que x cresce, y decresce. Devido a esse decrescimento, chamamos essa função de função decrescente.

18 226 Zero da função afim (zerar o y) e-tec-brasil - Matemática Instrumental Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b, o valor de x para o qual f(x) = 0. Exemplos: Vamos calcular o zero das funções a seguir: a. y= 2x + 4 2x + 4 = 0 2x = -4 x = 4 2 = - 2 b. y = 3x 3 3x 3 = 0 3x = 3 x = 3 3 = 1 c. y = x - 2 x - 2 = 0 x = 2 Já que y é função de x, podemos representar y por f(x). Você pode verificar se seu cálculo está correto. Sabe como fazer isso? É simples! Basta substituir o zero da função no lugar de x. O mesmo precisa zerar a função, é claro. Vejamos a seguir: a. f(x)= 2x + 4 f(-2) = 2.(-2) + 4 f(-2) = = 0

19 b. f(x) = 3x f(1) = f(1) = 3 3 = 0 c. f(x) = x - 2 Aula 9 Funções ( ) = 2-2 = 0 f 2 Função quadrática Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2º grau qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadrática: 1. f(x) = 2x 2-5x + 1, onde a = 2, b = - 5 e c = 1; 2. f(x) = 3x 2-1, onde a = 3, b = 0 e c = -1 ; 3. f(x) = 4x 2 + 3x + 5, onde a = 4, b = 3 e c = 5; 4. f(x) = - 2x 2 + 8x, onde a = -2, b = 8 e c = 0; 5. f(x) = - 6x 2, onde a = - 6, b = 0 e c = 0. Vamos, agora, fazer o cálculo do zero da função quadrática, conforme o exemplo a seguir: f(x) = -x 2 + 6x 8-1x 2 + 6x - 8=0 a b c = b 2 4.a.c = (6) 2-4(-1).(-8) = 36 32= 4

20 228 e-tec-brasil - Matemática Instrumental b Fórmula de Baskara: x = ± = 6 ± 4 = 6 ± 2 2a 2( 1) 2 x = = = 2 (2, 0) x = 6 2 = = 4 (4, 0) Obtenção do f(0): f(x)= -x 2 + 6x 8 f(0)= = - 8 Gráfico da função quadrática O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Exemplo: Montagem da tabela da função f(x) = -x 2 + 6x - 8 x y f(0) 0-8 x 2 0 x 4 0 Vértice 3 1 Montagem do gráfico y 1 V x -8 Figura 9.10: Gráfico de uma função quadrática.

21 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos sempre que: se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Problemas de máximos e mínimos Aula 9 Funções 229 Conceitos básicos Para resolvermos problemas de máximos e mínimos, utilizamos conhecimentos de função do 2º grau. A função de 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c tem como gráfico uma parábola que pode ter concavidade para cima ou para baixo, dependendo do sinal de a. Se a>0, a parábola é para cima; se a<0, a parábola é para baixo. Máximo Mínimo a<0 a>0 Figura 9.11: Concavidades de uma função do 2º grau. A parábola passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são conforme figura a seguir: y v = 4a Y V V x v = b 2a X V Figura 9.12: Fórmulas do x v e y v de uma função do 2º grau. Quando se pede para obter o valor máximo ou valor mínimo da função, calculamos pela fórmula de y v (y vértice). Quando se pede para obter o valor de x para se ter um valor máximo ou um valor mínimo, calculamos esse valor de x pela fórmula de x v.

22 230 Vamos resolver um problema envolvendo a função do 2º grau: e-tec-brasil - Matemática Instrumental Calcular o valor máximo da função y= -x 2 + 6x 13. Se precisamos calcular o valor máximo da função, é evidente que estamos querendo calcular o valor máximo de y (já que y é função de x). A parábola aqui tem concavidade para baixo, pois a<0 (a é menor que zero). Como queremos o valor máximo de y, precisamos calcular o y do vértice da parábola. y v = 4. a Vamos calcular, então, o valor de para substituir na fórmula apresentada. y= -1x 2 + 6x 13 a b c = b 2 4ac = 36 4.(-1).(-13) =36 52=-16 y v y v = 4. a ( = 16) 16 = = 4 4.( 1) 4 O valor máximo da função é 4. y x Figura 9.13: O valor máximo da função y= -x 2 + 6x 13.

23 231 Atividade 4 Atende ao Objetivo 3 Você dispõe de tijolos suficientes para fazer um muro de 36 metros de comprimento e quer construir um galpão de forma retangular utilizando os tijolos de que dispõe. Deseja que a área do galpão seja máxima. Quais devem ser as medidas de comprimento e largura desse galpão? Aula 9 Funções Peter Hellebrand Fonte: Lembre-se de que os tijolos do muro poderão ser aproveitados para fazer um galpão retangular. A altura não será alterada.

24 232 e-tec-brasil - Matemática Instrumental Atividade 5 Atende ao Objetivo 3 Qual é o valor mínimo da função y = x 2 + 6x - 13? Resumindo... Estamos sempre em contato com as funções no nosso dia-a-dia. Por exemplo, quando lemos um jornal ou queremos equacionar os dados de uma pesquisa. Para entendermos a função, precisamos saber o que é uma relação: RELAÇÃO: dados dois conjuntos, A e B, denomina-se relação R de A em B qualquer subconjunto de AXB (lê-se: A cartesiano B). FUNÇÃO: dados dois conjuntos, A e B, denomina-se função f de A em B toda relação em que cada elemento de A associa um, e um só elemento de B. DOMÍNIO DA FUNÇÃO: conjunto de partida da função. IMAGEM DA FUNÇÃO: conjunto formado pelos elementos de chegada de cada par da função. Veja um exemplo:

25 Domínio da função, representado por D(f) D(f) = {1, 2, 3} Imagem da função, representado por Im(f) Im(f) = {2, 4, 6} Aula 9 Funções 233 FUNÇÃO CONSTANTE. f(x)= K. Exemplo de função constante: f(x) = 2 Gráfico da f(x) = 2 Y 2 X FUNÇÃO DO 1º GRAU: f(x) = ax + b, com a, b IR e a 0 Se a>0 a função é crescente Se a< 0 a função é decrescente FUNÇÃO DO 2º GRAU: f(x) = ax² + bx +c com a 0 Para calcular as raízes (ou zeros da função do 2º grau), usamos a b Fórmula de Baskara: x = ± 2. a onde: = b 2 4.a.c GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Se a>0, temos um valor mínimo para a função; se a<0, temos o valor máximo para a função. A parábola passa por um ponto V chamado vértice, cujas coordenadas são: Yv = 4a Yv V Xv = b 2a Xv

26 234 e-tec-brasil - Matemática Instrumental Quando se pede para obter o valor máximo ou valor mínimo da função, calculamos pela fórmula de y v (y vértice). Quando se pede para obter o valor de x para se ter um valor máximo ou um valor mínimo, calculamos esse valor de x pela fórmula de x v. Informação sobre a próxima aula Na próxima aula, vamos estudar as Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas. Respostas das Atividades Atividade 1 A alternativa b é a correta. R 2 é única relação que atende à condição de função, ou seja, para todos os elementos do conjunto de partida (domínio) há somente um correspondente no conjunto de chegada (imagem). Veja:

27 Atividade a. Sim. A massa é função da idade (veja os diagramas a seguir). Idade Massa 1 a 8 kg 2 a 15 kg 6 a 25 kg 18 a Aula 9 Funções 20 a 60 kg 21 a Notemos que, se fixamos uma idade qualquer, temos, evidentemente, uma e somente uma massa correspondente. Veja que para todos os elementos do conjunto de partida existe somente um correspondente no conjunto de chegada. Ninguém que tem 21 anos, por exemplo, vai à balança e encontra duas massas. b. Não, a idade não é função da massa. Idade Massa Aqui, ao fixarmos uma massa (60 kg), temos várias idades em correspondência. Veja que existe elemento do conjunto de partida (60 kg) com vários correspondentes no conjunto de chegada.

28 236 Atividade 3 e-tec-brasil - Matemática Instrumental Fixo = 1.000,00 Se ele ganha R$ 2,00 por unidade vendida, por uma regra de três simples, podemos saber quanto vai ganhar vendendo x unidades. 1 unidade 2,00 reais x unidades K reais K = 2x 2x comissão do revendedor Salário (y) = Fixo + comissão y = x Quantas unidades ele deve vender para receber um salário R$ 1.800,00? Se o salário é de R$ 1.800,00, vamos substituir y (que representa, neste problema, o salário) por Teremos, então: y = x 1800 = x Resolvendo essa equação, temos: x = 400. Sua resposta termina aqui, mas, como vimos na Aula 6 (Porcentagem) que a equação funciona como uma balança de 2 pratos, temos: 1800 = x (se A=B B=A) x = 1800 (vamos subtrair 1000 nos dois lados da equação) x = x = 800 (vamos dividir ambos os membros por 2) 2x = x = 400

29 Atividade Como você quer fazer um galpão retangular aproveitando 36 metros de um muro, o retângulo deve ficar assim: Y Aula 9 Funções X X Y Primeiramente, vamos calcular o perímetro: 2x + 2y = 36 Já que estamos querendo calcular as dimensões do retângulo para se ter a área máxima, vamos, então, calcular a área S= x.y. S = área; 2x + 2y = 36 vamos simplificar por 2; x + y = 18 Isolando y, teremos y = 18 x; substituindo y= 18 x na área, teremos: S= x.y S = x(18 x) S = 18x - x² S = - x² + 18x função do 2º grau (o gráfico é uma parábola de concavidade para baixo) b 18 xv = = = 9 2. a 2 A dimensão x para se ter área máxima é 9. Substituindo x = 9 em y = 18 x, teremos: Y = 18 9 = 9 O melhor retângulo é um quadrado de lado 9.

30 238 Atividade 5 e-tec-brasil - Matemática Instrumental O enunciado pede para calcular o valor mínimo da função y= x 2 + 6x 13. Como pode ver, a questão é bem clara: precisamos calcular o menor valor que y vai assumir no gráfico, e esse valor vai estar no vértice, ou melhor, no y v. Para calcular, precisamos utilizar a seguinte fórmula: y v = 4. a Vamos calcular usando os coeficientes da equação y= x 2 + 6x 13 Onde a= 1 b= 6 c = -13 = b 2 4ac = 36 4.(1).(-13) =36 +52= 88 y v = 4. a ( 88) y v = = 88 = 22 4.( 1) 4 Então, o valor mínimo dessa função é Sua resposta termina aqui. Só para verificar, faça o gráfico dessa função para confirmar se o menor valor que y vai assumir é -22. Referências bibliográficas DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto & aplicações. São Paulo: Ática v.1. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, Roberto. Uma nova abordagem. São Paulo: FTD v.1. IEZZI Gelson. et al. Matemática: ciência e aplicação. São Paulo: Atual, ed. v. 1. PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Editora Moderna, v. 1. SETANI Vitor. Ensino Médio. São Paulo. Ática, v. 1.