Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
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- João Lucas Antas Vilarinho
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1 1. Funções : Definição Considere dois sub-conjuntos A e B do conjunto dos números reais. Uma função f: A B é uma regra que define uma relação entre os elementos de A e B, de tal forma que a cada elemento de A corresponde um único elemento do conjunto B. Neste caso o conjunto A (de partida) é chamado de Domínio de f e é denotado por D(f); é o conjunto B é chamado de Contradomínio de f. Usamos a notação y = f(x) para indicar que o elemento x D(f) se relaciona com o elemento y no contradomínio de f x. Para indicarmos uma função f, tendo como domínio (conjunto de partida) o conjunto A e como contradomínio (conjunto de chegada) o conjunto B, que é definida pela regra de correspondência y = f(x), usamos as seguintes notações: f: A B ou x f(x) A f B x f(x). Representação pelo Gráfico de Flechas Podemos representar uma função por um gráfico de flechas que indicam o como os elementos do domínio e do contradomínio se relacionam, por meio de flechas que relacionam os dois conjuntos. Se x D(f) e y está contradomínio, e ainda y = f(x), então no diagrama de flechas haverá um flecha que sai de x e chega em y. É necessário que cada elemento x D(f) se relacione com apenas um elemento do contradomínio de f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha. São Exemplos de Funções, as relações ilustradas nos Gráficos de flechas Abaixo:
2 Abaixo temos a representação de relações que não são funções: Não é função pois o elemento 3 pertence ao conjunto de partida A, e ele não está associado a nenhum elemento do conjunto de chegada B, pela relação estabelecida. Não é Função, pois o elemento 1, no conjunto de partida A está associado a mais de um elemento no conjunto de chegada B, pela relação estabelecida. 3. Funções e Lei de Correspondência Como vimos, se f é uma relação de A em B e é uma função, usamos a notação y = f(x) para indicar que o elemento x D f = A se relaciona com o elemento y no contradomínio B. Geralmente, existe uma sentença matemática que expressa a Lei de Correspondência dos pares (x, y) f. Esta lei de correspondência será dada pela própria sentença y = f(x). Exemplos: f: A B x x + 1 É uma função que associa a cada x A, o elemento de valor x + 1 em B. Pode ser expressa pela sentença y = x + 1. Podemos calcular: f 0 = = 1 f() = + 1 = 3 f: A B x x É uma função que associa a cada x A, o elemento de valor x em B. Pode ser expressa pela sentença y = x Podemos calcular: f 0 = 0 = 0 f 1 = ( 1) = 1
3 4. Representação por meio de Gráficos no plano Cartesiano 4.1. O Sistema Cartesiano Ortogonal Podemos considerar os pares ordenados de números reais (resultante do produto cartesiano R R), como coordenadas que identificam pontos num plano, imaginando um sistema de localização que envolve eixos ortogonais. Este sistema de localização será chamado de sistema cartesiano ortogonal. Consideremos os eixo x e y como retas perpendiculares que se cruzam no plano, num ponto que identificamos como origem, onde x = 0 e y = 0. Assim, dado o par ordenado (a,b) que representa o ponto P, ele pode ser localizado no plano como ponto de intercecção da reta paralela ao eixo y que corta o eixo x onde x = a, e a reta paralela ao eixo x que corta o eixo y onde y = b. y b (a,b) a x Nestas condições a coordenada a é chamada de abscissa de P, e a coordenada b é chamada de ordenada de P. O plano cartesiano será o conjunto de todos os pontos de um sistema cartesiano ortogonal. 4.. Representação de uma função no plano cartesiano Se f: A B é uma função, então o gráfico de f será composto pelo conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano cartesiano. O Conjunto A é representado pelo eixo das abscissas (horizontal), e o conjunto B é representado pelo eixo das ordenadas (vertical). Se um ponto (x, y) no plano cartesiano pertence ao conjunto de pares ordenado que compõem a função, então y = f(x), e ainda o ponto (x, y) é um ponto que pertence ao gráfico da função. Por exemplo, se f: R R é definida por f x = x 1, então seu gráfico no plano cartesiano conterá os pontos (0, 1), ( 1, 3), (1,1), (,3). O ponto (3,7) não pertence ao gráfico da função, pois f 3 = 5 7.
4 4..1. Construção do Gráfico de uma Função Para construir o gráfico de uma função numérica f a partir da expressão que a define (Lei de Correspondência), basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y, montando uma tabela. Depois basta plotar os pontos obtidos no plano cartesiano. Exemplo: Suponha que temos uma função f: R R, definida pela regra de correspondência y = f x = x 1. A figura abaixo mostra o gráfico desta função no plano cartesiano, para o qual destacamos alguns pontos na tabela ao lado da figura: x y = x Quando uma relação tem seus pares ordenados no plano cartesiano, também conseguimos identificar, pelo gráfico, se temos uma função ou não. Para termos uma função, a reta que passa pelo ponto x no eixo das abscissas (x A) e é paralela ao eixo y, deve encontrar o gráfico da função em um e só um ponto. Exemplos: Seja R uma relação definida de A em B onde A = x R 1 x 3}, cujo gráfico é dado abaixo: Neste caso R é uma função.
5 Seja S uma relação definida de A em B onde A = x R x }, cujo gráfico é dado abaixo: Neste caso S é não uma função, pois um mesmo elemento x A, está associado a dois pontos distintos em B pelo gráfico da relação Gráficos e Raízes das Funções Os pontos do gráfico que cortam o eixo x (eixo das abscissas), indicam os valores de x para os quais a função se anula, ou seja, onde f(x) = 0. Estes valores de x para o qual a função se anula são chamados de raízes da função. 5. Domínio e Contradomínio e Conjunto Imagem de uma Função Já definimos que se f: A B, então do domínio de f,denotado por D(f), é sempre o próprio conjunto de partida A. Sendo assim, para todo elemento do domínio de f, deve existir um elemento y em B, tal que y = f(x). Também definimos que o contradomínio de f será justamente o conjunto de chegada B, onde podemos encontrar todos os valores de y, tais que y = f(x) para algum x D(f).
6 Por exemplo, seja f: A B dada pelo seguinte gráfico de flechas A B Neste caso: D(f) = {, 1,0,1,} Contra domínio de f = {0,1,,3,4} 5.1. Determinação do Domínio de funções definidas em R No caso de funções numéricas, o domínio é o subconjunto de R, no qual todas as operações indicadas em y = f(x) são possíveis. Por exemplo, i. se f x = x, então o domínio de f será composto por todos os números Reais maiores ou iguais a zero, pois não é possível extrairmos a raiz quadrada de números negativos. Então D f = x R x 0}. ii. Se f x = 1 x 1, então o valor x = 1 deve ser excluído do domínio já que para x = 1 o denominador se anula e não há divisão por zero. D f = x R x 1} 5.. Conjunto Imagem de uma função Se um elemento x D(f), estiver associado a um elemento y no contradomínio de f, dizemos que y é uma imagem de x através da f. Numa função f: A B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto Imagem de f, que é denotado por Im(f). Sendo assim Im(f) B, mas, ao necessariamente Im f = B. Por exemplo, seja f: A B dada pelo seguinte gráfico de flechas A B Neste caso: Im(f) = {0,1,4}
7 Num diagrama de flechas, podemos representar esquematicamente o domínio, contradomínio e imagem de uma função esquematicamente conforme abaixo: A Im(f) B Domínio Contra-domínio Na representação cartesiana do gráfico de uma função f, o domínio D(f) será o conjunto de todos os pontos do eixo das abscissas, tais que as retas verticais que passam por este ponto interceptam o gráfico da função f. Já, a imagem Im(f) será composta por todos os pontos do eixo das ordenadas tais que as retas horizontais que passam por estes pontos interceptam o gráfico de f. Por exemplo: D f = x R x 1} Im f = y R 0 y 4} D f = x R x 3} Im f = y R 1 y 4} D f = x R x 0} Im f = y R < y < 0 ou 1 < y < }
8 D f = x R < y < } Im(f) = {1,}
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