Função de uma variável real

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1 Função de uma variável real Laura Goulart UESB 30 de Janeiro de 2019 Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

2 1-Denição de função Desde dos primórdios, com o desenvolvimento de outras ciências, tais como Física e Química, sentiu-se a necessidade de um instrumento matemático relacionando as leis de maneira quantitativa. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

3 1-Denição de função Desde dos primórdios, com o desenvolvimento de outras ciências, tais como Física e Química, sentiu-se a necessidade de um instrumento matemático relacionando as leis de maneira quantitativa. Por exemplo, para cada tipo de alimento está associado a uma porcentagem de proteína bruta, conforme o quadro abaixo: Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

4 1-Denição de função Desde dos primórdios, com o desenvolvimento de outras ciências, tais como Física e Química, sentiu-se a necessidade de um instrumento matemático relacionando as leis de maneira quantitativa. Por exemplo, para cada tipo de alimento está associado a uma porcentagem de proteína bruta, conforme o quadro abaixo: Alimento Proteína bruta(%) Milho grão 10 Farelo de soja 45 Farelo de trigo 18 Feno de gramínea 10 Sal mineral 0 Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

5 Assim, a relação possui uma propriedade marcante: a cada alimento "x"está associada exatamente a um único percentual "y"de proteína bruta. Tal relação é chamada de uma aplicação ou uma função. Observemos que o alimento é uma variável qualitativa enquanto que o percentual é uma variável quantitativa. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

6 Assim, a relação possui uma propriedade marcante: a cada alimento "x"está associada exatamente a um único percentual "y"de proteína bruta. Tal relação é chamada de uma aplicação ou uma função. Observemos que o alimento é uma variável qualitativa enquanto que o percentual é uma variável quantitativa. Denição Uma função f é uma relação de um conjunto A em um conjunto B obedecendo a seguinte regra: "Todo elemento de A(domínio) tem que estar relacionado com apenas um elemento de B(contradomínio)." Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

7 Exemplo 1.1 Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

8 Observação Em Matemática utilizamos letras para representar grandezas variáveis. Numa função temos sempre duas variáveis: chamamos de x a variável do domínio e y a variável que depende do valor da primeira. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

9 Observação Em Matemática utilizamos letras para representar grandezas variáveis. Numa função temos sempre duas variáveis: chamamos de x a variável do domínio e y a variável que depende do valor da primeira. Assim, em geral existe uma sentença aberta f (x) = y que expressa a regra matemática da função. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

10 Observação Em Matemática utilizamos letras para representar grandezas variáveis. Numa função temos sempre duas variáveis: chamamos de x a variável do domínio e y a variável que depende do valor da primeira. Assim, em geral existe uma sentença aberta f (x) = y que expressa a regra matemática da função. f é uma função de A em B ( x A,!y B tal que f (x) = y Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

11 Observação Em Matemática utilizamos letras para representar grandezas variáveis. Numa função temos sempre duas variáveis: chamamos de x a variável do domínio e y a variável que depende do valor da primeira. Assim, em geral existe uma sentença aberta f (x) = y que expressa a regra matemática da função. f é uma função de A em B ( x A,!y B tal que f (x) = y As funções de nosso maior interesse são as funções reais a valores reais, ie, são aquelas em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

12 Exercício de Fixação Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

13 1.1-Domínio de uma função Em muitos casos, é comum que a função seja dada apenas pela sua lei de correspondência. Assim, vamos supor que a função denida tenha o domínio o conjunto de todos os números reais que possam signicamente ser substituídos por x em f(x). Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

14 1.1-Domínio de uma função Em muitos casos, é comum que a função seja dada apenas pela sua lei de correspondência. Assim, vamos supor que a função denida tenha o domínio o conjunto de todos os números reais que possam signicamente ser substituídos por x em f(x). Em todos os casos, vamos considerar que o contradomínio é R. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

15 1o. caso: f (x) = 1 g(x) D f = {x R/g(x) 0} Exemplo (1.2) f (x) = 1 2x 4 Exemplo (1.3) f (x) = 1 x 2 + 2x 3 Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

16 2o. caso: f (x) = g(x) D f = {x R/g(x) 0} Exemplo (1.4) f (x) = 2x + 6 Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

17 Caso especial: f (x) = 1 g(x) D f = {x R/g(x) > 0} Exemplo (1.5) f (x) = 1 3x 1 Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

18 1.2-Imagem de uma função O conjunto formado pelos elementos do contradomínio que estão relacionados com algum elemento do domínio é chamado de conjunto imagem da função e denotado por Imf. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

19 1.3-Gráco de uma função Para construir o gráco de uma função, basta atribuir valores do domínio para a variável x e, usando a sentença matemática que dene a função, calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos construir o gráco da função f : R + R/f (x) = x 2. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

20 1.3-Gráco de uma função Para construir o gráco de uma função, basta atribuir valores do domínio para a variável x e, usando a sentença matemática que dene a função, calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos construir o gráco da função f : R + R/f (x) = x 2. Escolhidos os valores para x, montamos a seguinte tabela: x y Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

21 1.3-Gráco de uma função Para construir o gráco de uma função, basta atribuir valores do domínio para a variável x e, usando a sentença matemática que dene a função, calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos construir o gráco da função f : R + R/f (x) = x 2. Escolhidos os valores para x, montamos a seguinte tabela: x y Identicando os pontos encontrados no plano cartesiano, obtemos: Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

22 1.3-Gráco de uma função Para construir o gráco de uma função, basta atribuir valores do domínio para a variável x e, usando a sentença matemática que dene a função, calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos construir o gráco da função f : R + R/f (x) = x 2. Escolhidos os valores para x, montamos a seguinte tabela: x y Identicando os pontos encontrados no plano cartesiano, obtemos: O gráco da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta e o gráco estará construído. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

23 1.4-Raízes de uma função O que também nos interessa são os valores do domínio que anularão a função chamados de raízes(ou zeros) da função. Observemos que são exatamente estes pontos que cortam o eixo das abcissas, conforme ilustra a gura abaixo: Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

24 1.5-Função crescente e decrescente Seja f : D R R uma função. Considere a, b D tq a < b. Diremos que: f é crescente(ou estritamente crescente) se f (a) < f (b). Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

25 1.5-Função crescente e decrescente Seja f : D R R uma função. Considere a, b D tq a < b. Diremos que: f f é crescente(ou estritamente crescente) se f (a) < f (b). é não-crescente se f (a) f (b). Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

26 1.5-Função crescente e decrescente Seja f : D R R uma função. Considere a, b D tq a < b. Diremos que: f f f é crescente(ou estritamente crescente) se f (a) < f (b). é não-crescente se f (a) f (b). é decrescente(ou estritamente decrescente) se f (a) > f (b). Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

27 1.5-Função crescente e decrescente Seja f : D R R uma função. Considere a, b D tq a < b. Diremos que: f f f f é crescente(ou estritamente crescente) se f (a) < f (b). é não-crescente se f (a) f (b). é decrescente(ou estritamente decrescente) se f (a) > f (b). é não-decrescente se f (a) f (b). Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

28 1.6-Função par e ímpar Seja f : D R R uma função. Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

29 1.6-Função par e ímpar Seja f : D R R uma função. Diremos que f é par qdo f ( x) = f (x). Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15

30 1.6-Função par e ímpar Seja f : D R R uma função. Diremos que f Diremos que f é par qdo f ( x) = f (x). é ímpar qdo f ( x) = f (x). Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de / 15