Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo

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1 Gênesis Soares Jaboatão, de de Estudante: PAR ORDENADO: Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, em substituição às chaves, indicam que a ordem deve ser considerada. Dessa forma o símbolo (x, y) representa um par ordenado, em que o primeiro elemento é um número real x, chama- do abscissa, e o segundo, é um número real y denominado ordenada. Para x y, temos (x, y) (y, x). Representação de um par ordenado no plano cartesiano: Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano. Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado. Coordenadas Cartesianas: Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplo: No par ordenado (1; 2) a abscissa é igual a 1 e a ordenada é 2; e no par ordenado (2; 1) a abscissa é 2 e a ordenada é 1. Esses dois pares ordenados são diferentes. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s. Exemplo: Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim: Determine a e b para que se verifique a igualdade (a 1; b + 2) = (3; 4). Resolução: PLANO CARTESIANO: Geralmente representamos um par ordenado em um plano cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.

2 A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x). A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0). C) (-2, -3) FUNÇÕES: Introdução: Localização de um ponto: Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a sequencia prática: O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Localize os seguintes pontos no plano cartesiano abaixo: A) (4,3) B) (-1, +2) A ideia de função é de fundamental importância e de caráter unificador, praticamente, toda matemática constrói-se em torno do conceito de função. Os fenômenos da natureza não ocorrem de forma isolada, e sim em função da ocorrência de outros fenômenos. Encontramos a presença das funções nos mais variados assuntos, observe alguns exemplos: O preço a ser pago numa conta de luz depende da quantidade de energia consumida. Para cada quantidade de energia temos um único preço. O preço é função do consumo. Na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um único preço. O preço é função do produto. O número de bactérias de certa cultura se reproduz em função do tempo decorrido.

3 Podemos afirmar que o conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo: A relação acima é uma função, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento do conjunto B. Definição: A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum elemento do conjunto B. Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, denomina-se função de A em B, a uma relação f de A em B, em que cada elemento x A tem em correspondência um único elemento y B, com (x; y) pertencente à relação f. Funções são geralmente indicadas por letras minúsculas como f, g, h etc. Notação: Quando temos uma função de A em B, podemos representa-la da seguinte forma: A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B. Agora preste atenção no próximo exemplo: f : A B (lê-se: função f de A em B) xy (lê-se: a cada valor de x A associase um só valor y B). As letras x e y são muito utilizadas para representar as variáveis de uma função, mas é claro que podemos utilizar outras letras. Seja f uma função de A em B. Se x é um elemento de A, então o único y de B associado a x denomina-se imagem de x pela função f e indica-se pela notação f(x), (lê-se f de x ). O símbolo f(x), tem o mesmo significado do y e pode simplificar a linguagem.

4 y = f(x) Resolução: O conjunto A denomina-se domínio de f, e indica-se pela notação D(f). O conjunto B denomina-se contradomínio de f, e indica-se pela notação CD(f). O conjunto formado por todos os elementos de B que são imagem de algum elemento de A chama-se conjunto imagem de f, e indica-se pela notação Im(f). Observação: O conjunto imagem de f é um subconjunto do contradomínio de f, isto é, Im(f) CD(f). Considere a função f{0; 1; 2; 3} {1;2;3;4;5;6;7;8}, definida pela sentença matemática f(x) = 2x+1. Determine: a) O domínio de f; b) O contradomínio de f; c) O conjunto imagem de f. Exemplo: Considere a função ilustrada pelo diagrama de flechas a seguir: Função real: Uma função é chamada de função real, quando o domínio e o contradomínio são subconjuntos, não vazios, do conjunto dos números reais. Determine: a) O domínio de f; b) O contradomínio de f; c) O conjunto imagem de f. PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO: Função sobrejetora: Uma função f : A B é sobrejetora ou uma sobrejeção se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao seu contradomínio, isto é, Im = B.

5 f é sobrejetora (não sobra elemento em B) Função bijetora: Dizemos que uma função f : A B é bijetora quando ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Função injetora: Dizemos que uma função f : A B é injetora ou uma injeção se, e somente se, elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas. f é bijetora(todos os elementos de B são flechados uma só vez)

6 Observação: Uma função f: A B pode não ser sobrejetora nem injetora. Exemplo: Dada a função f: R R, definida por f(x) = x² + 2x +1, determine: RAÍZES DE UMA FUNÇÃO: Dada uma função y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados raízes de uma função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. FUNÇÃO CONSTANTE: Uma aplicação f de R em R recebe o nome de função constante quando a cada elemento xr associa sempre o mesmo elemento cr. Isto é: No gráfico acima temos: f(x 1 )=0, f(x 2 )=0 e f(x 3 )=0. Portanto x 1, x 2 e x 3 são raízes da função. f : R R x c O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, c). A imagem é o conjunto Im =c. VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO: Para encontrar a imagem de um determinado valor do domínio, basta substituir x por esse valor na lei da função. FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR: Função Par: Seja f uma de A B para a qual se xa, então - xa. Dizemos que f é uma função par se: f(-x) =f(x), para todo xa.

7 Isto significa que valores simétricos do domínio possuem a mesma imagem. I) a função f: R R, definida por f(x) = x², é par, pois para valores simétricos de x temos f(x) = x² = (-x)² = f(-x) Observe o gráfico cartesiano desta função: Função Ímpar: Seja f uma de A B para a qual se xa, então - xa. Dizemos que f é uma função ímpar se, e somente se, f(-x) = - f(x), para todo xa. Isto significa que valores simétricos do domínio possuem também imagens simétricas. Perceba que, no gráfico, existe uma simetria em relação ao eixo vertical, isto é, para cada ponto do gráfico existe outro ponto posicionado nesse mesmo gráfico, de tal modo que ambos estão à mesma distância do eixo vertical e na mesma perpendicular a este eixo. I) a função f: R R, definida por f(x) = x³, é ímpar, pois para valores simétricos de x temos f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x). Observe o gráfico cartesiano desta função: II) a função f(x) = x é uma função par, pois f(-x) = x = x =f(x) para todo xr. Observe que o gráfico cartesiano desta função é simétrico em relação ao eixo Oy: Note que, no gráfico existe uma simetria em relação à origem O, ou seja, para cada ponto do gráfico existe outro ponto no mesmo gráfico posicionado de tal modo que

8 ambos estão à mesma distância de O e alinhados com ele. II) A função f(x) = x é uma função ímpar, pois f(-x) =(-x) = - x = -f(x), para todo xr. Observe que o gráfico cartesiano desta função é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES: Sejam f : A B uma função numérica e I um conjunto tal que I A. Dizemos que a função f é: 1. Crescente em I se, e somente se, para dois valores quaisquer x 1 e x 2 pertencentes a I, onde x 1 x 2, tivermos f(x 1 ) f(x 2 ). Em símbolos, temos: x 1, x 2 I, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Observações: 2. Decrescente em I se, e somente se, para dois valores quaisquer x 1 e x2 pertencentes a I, onde x 1 x 2, tivermos f(x 1 ) f(x 2 ). Em símbolos, temos: x 1, x 2 I, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) 3. Constante em I se, e somente se, para dois valores quaisquer x 1 e x 2 pertencentes a I, onde x 1 x 2, tivermos f(x 1 ) = f(x 2 ). Em símbolos, temos:

9 x 1, x 2 I, x 1 x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) Observe que a composta de g e f só está definida se CD(f) = D(g). Observações: I) Consideremos os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B={-2, 1, 4, 7, 10} e C = {3, 0, 15, 48, 99}, e as funções f : A B definida por f(x) = 3x - 4 e g: B C definida por g(y) = y²-1. FUNÇÃO COMPOSTA: Dados três conjuntos A, B e C e as funções f:a B e g:b C, chama-se função composta de g e f à função h, se A em C, definida por h(x) = g[f(x)], para todo x A. A função h pode ser indicada por g o f (lemos: g composta com f ), portanto, podemos escrever (g o f) (x) = g[f(x)], para todo x A. Podemos visualizar essa função composta pelo esquema abaixo: Como nos mostra o diagrama acima, para todo x A temos um único y B tal que y = 3x 4, e para todo y B existe um único z C tal que z = y²-1, então concluímos que existe uma função h de A em C, definida por h(x) = z. Logo: h(x) =(3x - 4)² - 1 = (3x)²- 2.3x.4 + 4² -1 h(x) = 9x² - 24 x = 9x²- 24x A função h(x) é chamada função composta de g em f. Podemos indicá-la por g[f(x)] ou g o f.

10 II) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f(x) = x+1 e g(x) = 2x² - 3. Determine: a) f[g(x)] e g[f(x)] Consideremos os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 7, 9} e a função f:a B definida por y = x + 1. A função f está representada no diagrama abaixo: Temos que: f[g(x)] = f(2x²-3) = 2x² = 2x²- 2 g[f(x)] = g(x+1) = 2(x+1)² - 3 = 2(x²+2x+1)-3 g[f(x)] = 2x² + 4x - 1 b) os valores de x para que se tenha f[g(x)] = g[f(x)]. f[g(x)] = g[f(x)] 2x² - 2 = 2x² + 4x 1-2 = 4x = 4x - 1 = 4x Observe que f é uma função bijetora, pois a cada elemento x de A, está associado um único elemento y de B, de modo que y = x + 1. Como f é bijetora, a cada elemento y de B está associado um único elemento x de A, de modo que x = y 1; portanto temos outra função g:b A, de modo que x = y 1 ou g(y)=y 1. Essa função está representada no diagrama abaixo: 1 x = 4 Observações: Pelo que acabamos de observar, a função f leva x até y enquanto a função g leva y até x. A função g:b A recebe o nome de função inversa de f e é indicada por f -1. Função Inversível: Dizemos que uma função f de A em B é inversível se, e somente se, a relação inversa de f, indica-se por f -1, é uma função de B em A. FUNÇÃO INVERSA: Se a função f de A em B é inversível, então a função f -1 de B em A é denominada de função inversa de f.

11 Propriedades: Observe o seguinte diagrama: Exemplo: Concluímos que: O domínio da função f -1 é a imagem da função f, isto é, D(f -1 ) = Im(f). A imagem da função f -1 é o domínio da função f, isto é, Im(f -1 ) = D(f). Propriedade geométrica da função inversa: Seja f uma função real de variável real e bijetora. Se (a, b) f, então (b, a) f -1. Representando esses pontos num sistema cartesiano, temos: A função inversa da função f -1 é a própria função f, isto é, (f -1 ) -1 = f. Determinação da função inversa: Quando queremos, a partir da sentença y = f(x), obter a sentença de f -1 (x), podemos seguir os passos abaixo: 1.º) Isolamos x na sentença y = f(x) 2.º) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x. Se repetirmos o mesmo raciocínio para todos os pares ordenados de f, concluímos que: os gráficos da função f e de sua inversa f -1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

12 Observações:

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