Função: parte 1. Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio. 26 de março de 2018 FAMAT/UFU

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Isabella Almeida Rico
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1 Função: parte 1 Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio FAMAT/UFU 26 de março de 2018

2 Denição Sejam os conjuntos A, B (conjunto vazio). Uma função de A em B é uma relação que associa a cada elemento a A um único elemento b B.

3 Exemplo 1 de função Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 7, 70, 700, 954}, as seguintes relações, entre os elementos dos conjuntos A e B, representam uma função de A em B: 1) {(1, 7), (2, 70), (3, 700), (4, 954)} A B Figura: Representação de função num diagrama de setas.

4 2) {(1, 1), (2, 700), (3, 70), (4, 954)} A B Figura: Representação de função num diagrama de setas.

5 3) {(1, 954), (2, 954), (3, 954), (4, 954)} A B Figura: Representação de função num diagrama de setas.

6 Exemplo 2 de função A= Conjunto formado pelos brasileiros. B= Conjunto dos números naturais de 11 digitos. A relação que associa a cada brasileiro o seu número de CPF é uma função.

7 Toda função recebe um nome. Este nome é maiormente uma letra. Assim, podemos dar os seguintes nomes aos exemplos de funções dados no exemplo 1, acima: f = {(1, 7), (2, 70), (3, 700), (4, 954)} g = {(1, 1), (2, 700), (3, 70), (4, 954)} h = {(1, 954), (2, 954), (3, 954), (4, 954)}

8 Notação Sejam A e B dos conjuntos não vazios, e f uma função de A em B. 1. A seguinte expressão representa a função f de A em B: f : A B x f (x) 2. A expressão y = f (x) é conhecida como regra de correspondência.

9 3. O conjunto A é denominado de Domínio da função f e é denotado por D(f ) ou Dom(f ). 4. O conjunto B é denominado de contra-domínio ou campo de valores de f. 5. O conjunto Imagem é o conjunto formado por todos os valores associados ao domínio da função.

10 Funções reais de variável real É quando A e B são subconjuntos dos números reais, isto é, Exemplo 1. A R e B R f : ], [ ], [ x y = x 2 Neste caso: A = R e B = R. Dom f =], [= R. Im f = [0, [

11 Observação Quando a função é dada unicamente pela sua expressão analítica, o domínio dessa função é o maior subconjunto de R onde a função está denida. Matematicamente: Dom(f ) = {x R/f (x) está denida} Exemplo 1. Considere as funções denidas por: f (x) = x 2 g(x) = 1 x 2 Determine os domínio da função f e g Calcule os zeros de f e g, isto é, os valores de x onde cada uma das funções se anula (igual a zero). Determine, caso existam,f (0) e g(0).

12 Operações com funções Sejam f : Dom f R x f (x) e g : Dom g R x g(x)

13 1) Soma de f e g é a função denida por: f + g : Dom(f + g) R x (f + g)(x) = f (x) + g(x) onde Dom(f + g) = Dom f Dom g.

14 2) Diferença de f e g é a função denida por: f g : Dom(f g) R x (f g)(x) = f (x) g(x) onde Dom(f g) = Dom f Dom g.

15 3) Produto de f e g é a função denida por: fg : Dom(fg) R x (fg)(x) = f (x)g(x) onde Dom(fg) = Dom f Dom g.

16 4) Quociente de f e g é a função denida por: f /g : Dom(fg) R x ( f f (x) )(x) = g g(x) onde Dom(fg) = Dom f Dom g {x /g(x) = 0}.

17 Exemplo. Dada as regras de correspondência da função f e g, respectivamente: f (x) = x 2, g(x) = x 2 2x + 1. Determinar as funções f ± g, fg e f g.

18 Gráco de uma função Denição. Seja f uma função. O gráco de uma função é o seguinte conjunto: Graf (f ) = {(x, f (x)) R 2 / x Dom(f )}

19 Plano cartesiano É o ambiente onde o gráco será construído. Ele é estabelecido pelo encontro dos eixos cartesianos x e y, conhecidos como eixo das abcissas e eixo das ordenadas, respectivamente

20 Determinação do gráco de uma função 1. No ponto que estamos, ainda não temos ferramentas matemáticas para poder determinar o gráco de uma função. 2. Podemos ter uma idéia do esboço do gráco de uma função, fazendo: 2.1 Escolher valores para x Dom(f ). Esses valores serão substituídos na lei de formação da função (regra de correspondência da função) para que o valor correspondente de y seja determinado, bem como o par ordenado. 2.2 Localizar os pares ordenados no plano cartesiano.

21 Exemplo. Determine o gráco da função y = x 2. Solução. Dom(f ) = R

22 Funções especiais de Rem R

23 Função constante Regra de correspondência: onde C = cte Dom f = R Im f = C y = f (x) = C, Figura: Exemplo de função constante: y = f (x) = 3.

24 Função identidade Regra de correspondência: y = x, Neste caso, Dom f = R e Im f = R Figura: Esboço do gráco da função identidade no intervalo [ 2, 2].

25 Função quadrática Expressão geral: onde a, b e c são constantes Neste caso, Dom f = R y = ax 2 + bx + c, Figura: Exemplo de uma função quadrática. Caso a=1, b=0 e c=0 (Parábola), isto é, y = x 2.

26 Função cúbica Expressão geral: onde a, b, c e d são constantes. Neste caso, Dom f = R y = f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, Figura: Exemplo de função cúbica. Caso a=1, b=0, c=0 e d=0, isto é, y = x 3.

27 Função módulo Regra de correspondência: { x, se x 0 y = f (x) = x = x se x < 0 Neste caso, Dom f = R e Im f = [0, [. Figura: Esboço do gráco da função y = x no intervalo [ 2, 2].

28 Função denida por partes ou por ramos É uma função da forma: f 1 (x), x Dom 1 f 2 (x), x Dom 2 y =.. f n (x), x Dom n

29 Exemplo. Esboçar o gráco da seguinte função: { x 2, x 0 y = x, x > 0

30 Tarefa Resolver os exercícios da seção 2.10 do livro Cálculo A

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