CÁLCULO I. 1 Funções. Objetivos da Aula. Aula n o 01: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função;

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 01: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Denir funções compostas e inversas. 1 Funções Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa cada elemento x A a um único elemento y B. O conjunto A é chamado domínio da função f e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar uma função pela seguinte notação: f : A B Para armarmos que um determinado x A está associado a certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f(x) Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f Im f = {y B y = f(x), x A} Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de echas, como ilustrado a seguir Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de echas Por exemplo, sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e considere que f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 4 f(4) = 5 f(5) = 6 1

2 Note que Im f = {2, 3, 4, 5, 6}. A representação dessa função pelo diagrama de echas é feita da seguinte forma: Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de echas Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte tabela: Dia Valor da Compra 02 2, , , , , , , , , , 2460 Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto D = {02, 03, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 13} em R, uma vez que para cada dia t D, existe um único valor correspondente de V (t) = valor do dólar no dia t. Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela. Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores, não são ecientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráca de uma função é a melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a denição de gráco de uma função. Denição 1. Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f(x)) A B x A} O gráco de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função, pois uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) sobre o gráco, é da forma y = f(x), podemos ler o valor f(x) como sendo a altura do ponto no gráco acima de x. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Figura 3: Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no gráco de f. O gráco também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y. Figura 4: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráco. Assim como no diagrama de echas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano xy é o gráco de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo: Uma curva no plano xy é o gráco de uma função de x se, e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. Como exemplo, temos que o gráco abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto. Figura 5: Ilustração 1 do Teste da Reta Vertical. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 A seguinte curva não é gráco de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um ponto da curva. Figura 6: Ilustração 2 do Teste da Reta Vertical. 1.1 Restrições no domínio Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo, Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) = 1 x 2. Determine o seu domínio. 1 Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja denida. Mas para isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não pode ser 0, pois seria uma indeterminação. Logo, os pontos onde a função não está denida são os valores que zeram a função x 2 1. Dessa forma, fazemos x x 2 1 x 1 e x 1 Logo, o domínio de f é o conjunto A = {x R x 1 e x 1} Exemplo 2. Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g. Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de g devem ser os números reais tais que x 2 2x 0. Logo, x 2 2x 0 x(x 2) 0 Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que Figura 7: Estudo do Sinal de x(x 2). Logo, o domínio de g é o conjunto A = {x R x 0 ou x 2} = (, 0] [2, + ) Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) = 2x 4 x 3 8. Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou que tornam a função x 3 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos x 3 8 > 0 x 3 > 8 x > 3 8 x > 2 Assim, o domínio de h é o conjunto A = {x R x > 2}. Em algumas situações, denotaremos A = D f e B = CD f. Função Inversa Uma função f : A B é chamada injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, para x 1, x 2 A, Se x 1 x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ) Analogamente, temos que Se f(x 1 ) = f(x 2 ) então x 1 = x 2 Uma forma de vericarmos gracamente se uma função é injetora ou não é o chamado teste da reta horizontal: Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráco em mais de um ponto Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que Figura 8: Exemplo de um gráco de função injetora. Figura 9: Exemplo de um gráco de função que não é injetora. Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora se Im f = B. Equivalentemente, para todo elemento y B, existe um x A tal que y = f(x). Um exemplo de função sobrejetora é a função exibida no seguinte exemplo. Exemplo 4. Considere f : R R, denida por f(x) = x 3. f é sobrejetora? Sim, pois para cada número real y R podemos tomar o número x = 3 y R e observar que y = ( 3 y) 3 = x 3 = f(x) Desse modo,im f = R, e portanto, f é sobrejetora. Assim como foi estudado para funções injetoras, existem funções que não são injetoras. Basta observar o seguinte exemplo. Exemplo 5. Considere f : R R, denida por f(x) = x 2. f é sobrejetora? Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Não, pois se tomarmos o número real y = 2, não existe nenhum número real x R tal que f(x) = 2 Dessa forma, Im f R, e portanto, f não é sobrejetora. Observação 1. Uma forma de ultrapassar esse obstáculo é restringirmos o contradomínio à imagem da função. Por exemplo, note que se a função f fosse denida f : R R +, ela seria sobrejetora. Denição 2. Seja f : A B uma função. Dizemos que f é bijetora, se f é injetora e sobrejetora. Note que f(x) = x 3 é bijetora e f(x) = x 2 não é. Seja f : A B uma função bijetora. Denimos a função inversa de f e denotaremos por f 1 como sendo a função f 1 : B A, tal que y = f(x) x = f 1 (y) (1) Um exemplo simples da relação 1 pode ser dada pelo diagrama de echas no exemplo a seguir: Exemplo 6. Considere os conjuntos A = 1, 2, 3 e B = 0, 4, 5 e uma função f : A B, dada por Determine a função f 1. f(1) = 4 f(2) = 5 f(3) = 0 Para determinarmos a função f 1, vamos representar f por um diagrama de echas. Dessa forma, obtemos Figura 10: Diagrama de echas de f. Agora, basta inverter o sentido das echas obtemos a função f 1, desse modo, f 1 : B A, é tal que f 1 (4) = 1, f 1 (5) = 2 e f 1 (0) = 3. Exemplo 7. Das as funções abaixo, determine as suas inversas. (i) f : R R, dada por f(x) = x 3 ; (ii) g : [0, 1] [0, 1], dada por g(x) = 1 x 2 ; (i) Note que f é bijetora. Logo, existe uma função f 1 : R R tal que y = f(x) x = f 1 (y) Para determinar a função f 1, devemos isolar a variável x em função de y. Desse modo, obtemos que y = x 3 x = 3 y Assim, obtemos que a função inversa de f é f 1 : R R, dada por f 1 (y) = 3 y. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 (ii) Como zemos anteriormente, isolaremos a variável x em função de y. Logo, y = 1 x 2 y 2 = 1 x 2 x 2 = 1 y 2 x = 1 y 2 Desse modo, obtemos que a inversa de g é g 1 : [0, 1] [0, 1], dada por g(y) = 1 y 2 Observação 2. Diversas vezes, tentaremos encontrar a inversa de uma função. Muitas delas não possuem função inversa em todo o seu domínio. Sendo assim, podemos determinar a inversa de uma função em subconjuntos do domínio, como é o caso das funções trigonométricas inversas. Um processo para fazer isso é: Encontrar um intervalo onde a função f é injetora; Restringir a função nesse intervalo. Podemos utilizar uma ideia geométrica para identicar uma função f e sua inversa f 1, que é a seguinte: Sejam f e sua inversa f 1. Então os grácos de f e f 1 são simétricos em relação à reta y = x. segue um exemplo dessa propriedade: Figura 11: Graco de f(x) = x 3 e sua inversa. Função Composta Em nosso curso, utilizaremos algumas operações entre funções. Note que podemos escrever y em função de x quando, y = f(u) (y é uma função de u) e u = g(x) (u é uma função de x), a partir da substituição de uma função na outra. A este método, denominamos composição de funções. Segue a denição: Denição 3 (Composição de funções). Dada duas funções f e g, tal que a imagem de f é subconjunto do domínio de g, a função composta de f com g, denotada por g f(x) é denida por; g f : A R, Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 cuja regra é dada por: Simbolicamente: (g f)(x) = g(f(x)). D(g f) = {x D(f) f(x) D(g)}. A gura abaixo mostra como visualizar a composição de duas funções: Figura 12: Composição de Funções Observação 3. É comum usar a notação f 2 para f f, f 3 para f f f. No geral, para um inteiro n 1, denimos f n = f n 1 f e f 0 = I, onde I é a função identidade de A. Exemplo 8. Sejam f(x) = x e g(x) = x 1. Encontre g f. Temos que: g f(x) = g(f(x)) = g( x) = x 1. Como D(f) = [0, + ) e Im(f) = [0, + ) D(g) = R, então D(g f) = D(f) = [0, + ). Exemplo 9. Sejam f(x) = x + 1 x e g(x) = x + 1. Encontre (f g)(x) e seu respectivo domínio. x 4 Temos que: (f g)(x) = f(g(x)) = g(x) + 1 g(x) = x + 1 x 4 + x 4 x + 1 = (x + 1)2 + (x 4) 2 (x 4)(x + 1) = 2x2 6x + 17 (x 4)(x + 1). O domínio de (f g)(x) é R { 1, 4}. Exemplo 10. Sejam as funções: 0, se, x < 0 f(x) = x 2, se, 0 x 1 0, se, x > 1 1, se, x < 0 e g(x) = 2x, se, 0 x 1 1, se, x > 1 Determinar f g. Note que Se x < 0, (f g)(x) = f(g(x)) = f(1) = 1 2 = 1. Se 0 x 1, (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x). Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

9 Para 0 x 1 2, temos 0 2x 1. Logo, neste caso, (f g)(x) = f(2x) = 4x2. Para 1 2 < x 1 temos 2x > 1. Assim, para este caso, (f g)(x) = 0. Se x > 1, (f g)(x) = f(g(x)) = f(1) = 1. Logo: (f g)(x) = 1, se, x < 0 4x 2, se, 0 x , se, 2 < x 1 1, se, x > 1 O domínio de (f g)(x) é R. Uma relação importante entre função inversa e função composta é a seguinte: Proposição 1. Sejam f : A B e g = f 1. Então g(f(a)) = a, a A e f(g(b)) = b, b B Se A = B = R, então g(f(x)) = x x R Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas do livro texto. Dica importante Utilize algum software matemático, como por exemplo o Geogebra, para plotar grácos de funções e vericar os conceitos geométricos apresentados nessa aula, como os testes da reta vertical e horizontal e a relação entre os grácos de uma função e sua inversa. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9